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- 2021-06-12 发布
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第35课 等比数列及其前n项和
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
等比数列
√
1.等比数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N+,q为非零常数).
(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:
Sn=
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N+).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N+),则am·an=ap·aq=a;
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列;
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N+,q为常数)的数列{an}为等比数列.( )
(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( )
(3)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )
(4)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.已知等比数列{an}的公比为-,则的值是____________.
-2 [==-2.]
3.(2017·扬州期末)已知等比数列{an}满足a2+2a1=4,a=a5,则该数列的前5项和为____________.
31 [∵{an}是等比数列,
由得解得
∴S5===31.]
4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为__________.
27,81 [设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×q3,q3=27,∴q=3.
∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]
5.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=__________.
6 [∵a1=2,an+1=2an,
∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
又∵Sn=126,∴=126,解得n=6.]
等比数列的基本运算
(1)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和,a2·a4=16,S3=7,则a8=____________.
(2)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于__________.
(1)128 (2)2n-1 [(1)∵{an}为等比数列,a2·a4=16,∴a3=4,∵a3=a1q2=4,S3=7,∴S2==3,∴(1-q2)=3(1-q),即3q2-4q-4=0,
∴q=-或q=2.∵an>0,∴q=2,则a1=1,∴a8=27=128.
(2)设等比数列的公比为q,则有
解得或
又{an}为递增数列,∴∴Sn==2n-1.]
[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,体现了方程思想的应用.
2.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,在运算过程中,应善于运用整体代换思想简化运算.
[变式训练1] (1)在等比数列{an}中,a3=7,前3项和S3=21,则公比q的值为____________.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=__________.
【导学号:62172190】
(1)1或- (2)28 [(1)根据已知条件得
②÷①得=3.
整理得2q2-q-1=0,
解得q=1或q=-.
(2)由题可知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3=a1q2,a6=
a1q5,所以27a1q2=a1q5,所以q=3,由Sn=,得S6=,S3=,所以=·=28.]
等比数列的判定与证明
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
[解] (1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,
有a1+a2=S2=4a1+2,
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
又
①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).
∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),
故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴-=,
故是首项为,公差为的等差数列.
∴=+(n-1)·=,
故an=(3n-1)·2n-2.
[规律方法] 等比数列的判定方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N+),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0,且a=an·an+2(n∈N+),则数列{an
}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N+),则{an}是等比数列.
说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后者常用于客观题中的判定.
[变式训练2] (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
[解] (1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,故a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan.
由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
于是an=n-1.
(2)由(1)得Sn=1-n.
由S5=得1-5=,即5=.
解得λ=-1.
等比数列的性质及应用
(1)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则=____________.
(2)(2017·苏州模拟)数列{an}的首项为a1=1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10b11=2 017,则a21=____________. 【导学号:62172191】
(1) (2)2 017 [∵{an}是等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4也成等比数列.
由=3得S4=3S2,设S2=x,则S4=3x,即x,2x,S6-3x成等比数列,∴S6=7x,
∴==.
(2)∵bn=,∴a21=···…··a1
=b20·b19·b18·…·b1·a1,
又{bn}成等比数列,∴b1·b20=b2·b19=…=b10·b11=2 017,
∴a21=(b10b11)10=10=2 017.]
[规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
2.等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
[变式训练3] (1)在正项等比数列{an}中,a1 008·a1 009=,则lg a1+lg a2+…+lg a2 016=____________.
(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数,前4项的和为9,积为,则前4项倒数的和为____________.
(1)-2 016 (2)2 [(1)lg a1+lg a2+…+lg a2 016=lg a1a2…a2 016=
lg(a1 008·a1 009)1 008=lg1 008=lg1 008=-2 016.
(2)由题意得S4==9,所以=.由a1·a1q·a1q2·a1q3=(aq3)2=得
aq3=.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为==·==2.]
[思想与方法]
1.方程的思想.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.
2.函数的思想.通项公式an =a1qn-1可化为an=qn,因此an是关于n的函数,即{an}中的各项所表示的点(n,an)在曲线y=qx上,是一群孤立的点.
3.分类讨论思想.当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是常考易错点.
[易错与防范]
1.特别注意q=1时,Sn=na1这一特殊情况.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽视q=1这一特殊情形而导致解题失误.
4.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n未必成等比数列(例如:当公比q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不成等比数列;当q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列).
课时分层训练(三十五)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、填空题
1.若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=________. 【导学号:62172192】
1 [∵a,b,c成等比数列,∴b2=a·c=(5+2)(5-2)=1.又b>0,∴b=1.]
2.(2017·苏州模拟)等比数列{an}的公比大于1,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=____________.
4 [由得
得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去),
把q=2代入①得a1=1.
∴a3=q2=4.]
3.在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于____________.
3 [两式相减得a4-a3=2a3,从而求得=3,即q=3.]
4.数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N+,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值等于____________.
2 [由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ.由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.]
5.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=____________.
3n-1 [因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3.化简,得=3,即等比数列{an}的公比q=3,故an=1×3n-1
=3n-1.]
6.在各项均为正数的等比数列{an}中,若am+1·am-1=2am(m≥2),数列{an}的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为____________. 【导学号:62172193】
5 [由等比数列的性质可知am+1·am-1=a=2am(m≥2),所以am=2,即数列{an}为常数列,an=2,所以T2m-1=22m-1=512=29,即2m-1=9,所以m=5.]
7.(2016·常州期末)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1+a2=,a3+a4+a5+a6=40,则的值为________.
117 [∵{an}是等比数列,设公比为q,则
a3+a4=(a1+a2)q2,
a5+a6=(a1+a2)q4,
∴a3+a4+a5+a6=(a1+a2)(q2+q4)=40,
即(q2+q4)=40,解得q2=9.
又q>0,∴q=3,
由a1+a2=得a1=,
∴===117.]
8.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,则对任意的n∈N+,都有an+2+an+1-2an=0,则S5=____________.
11 [∵{an}是等比数列,
∴an+2+an+1-2an=an(q2+q-2)=0,
又an≠0,故q2+q-2=0,即q=-2或q=1(舍去),
∴S5===11.]
9.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=____________.
14 [由=(q3)3=3得q3=,
∴an-1anan+1=(a1a2a3)q3n-6=4×n-2
由4×n-2=324,得=4,即n=14.]
10.(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则a1=________,S5=________.
1 121 [∵an+1=2Sn+1,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,
∴Sn+1=3Sn+1,∴Sn+1+=3,
∴数列是公比为3的等比数列,
∴=3.
又S2=4,∴S1=1,∴a1=1,
∴S5+=×34=×34=,
∴S5=121.]
二、解答题
11.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a1+a3+…+a2n+1. 【导学号:62172194】
[解] (1)∵S1=a1=1,
且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,
∴Sn=2n-1,
又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2.
当n=1时a1=1,不适合上式.
∴an=
(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列,
∴a3+a5+…+a2n+1==.
∴a1+a3+…+a2n+1=1+=.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N+).
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N+),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.
[解] (1)证明:依题意Sn=4an-3(n∈N+),
n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.
因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n≥2),
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理得an=an-1.
又a1=1≠0,所以{an}是首项为1,公比为的等比数列.
(2)由(1)知an=n-1,
由bn+1=an+bn(n∈N+),
得bn+1-bn=n-1.
可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=2+
=3·n-1-1(n≥2).
当n=1时也满足,
所以数列{bn}的通项公式为bn=3·n-1-1(n∈N+).
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.”如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则Sn=__________尺.
2n-+1 [依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项,2为公比的等比数列,所以前n天大老鼠打洞的距离共为=2n-1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为=2-,所以Sn=2n-1+2-=2n-+1.]
2.(2017·南京一模)设Sn是等比数列{an}的前n项和,an>0,若S6-2S3=5,则S9-S6的最小值为________.
20 [设等比数列的公比为q,则q>0且q≠1.
由S6-2S3=5可知,
-=5,
∴=5,∴q>1.
则S9-S6=-
==
=5+10
≥5×2+10
=20,
当且仅当q3=2,即q=时取等号.
∴S9-S6的最小值为20.]
3.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).
(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
[解] (1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2),
∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).
∵a1=5,a2=5,
∴a2+2a1=15,
∴an+2an-1≠0(n≥2),
∴=3(n≥2),
∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,
则an+1=-2an+5×3n,
∴an+1-3n+1=-2(an-3n).
又∵a1-3=2,∴an-3n≠0,
∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.
∴an-3n=2×(-2)n-1,
即an=2×(-2)n-1+3n.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数n,是否存在k∈R,使得k≤Sn恒成立?若存在,求实数k的最大值;若不存在,请说明理由.
[解] (1)因为3an+1+2Sn=3,①
所以n≥2时,3an+2Sn-1=3,②
由①-②得3an+1-3an+2an=0,所以an+1=an(n≥2).
又a1=1,3a2+2a1=3,得a2=,所以a2=a1,故数列{an}是首项为1,公比q=的等比数列,
所以an=a1·qn-1=n-1.
(2)假设存在满足题设条件的实数k,使得k≤Sn恒成立.
由(1)知Sn===,
由题意知,对任意正整数n恒有k≤,
又数列单调递增,所以当n=1时数列中的最小项为,则必有k≤1,即实数k最大值为1.