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- 2021-06-12 发布
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北京市通州区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
一、选择题
1.函数是( )
A. 上的增函数 B. 上的减函数
C. R上的增函数 D. R上的减函数
【答案】A
【解析】的定义域为,
又,故在上为增函数,
故选:A
2.下列函数中,既是周期函数又是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A中不是周期函数,故排除A;
选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;
故选:C.
3.函数f(x)=lnx+3x-4的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数在其定义域上单调递增,
(2),(1),
(2)(1).
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是,
故选B.
4.在范围内,与角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】与角终边相同的角的集合是:,,
当时,,
在范围内,与角终边相同的角是,
故选:D.
5.若角的终边经过点,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】】角的终边经过点,
,
,
故选:C.
6.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,则函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意,将函数的图象向右平移个单位长度,
可得.
故选C.
7.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得,
由,得到或,,不能得到,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选A.
8.已知函数 若,,互不相等,且,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】画出的图像如下图所示:
因为(a)(b)(c),且,不妨设,
结合函数图象可知,,,
且即,
,
故选:C.
二、填空题
9.函数的最小正周期为 .
【答案】
【解析】的周期为
10.函数的最小值是_________.
【答案】
【解析】,
的最小值是,
故答案为:.
11.三个数,,按由小到大的顺序排列是________.
【答案】
【解析】,,,
三个数,,按由小到大的顺序排列为:,
故答案为:.
12.已知函数在上的最大值与最小值的和是2,则的值为________.
【答案】
【解析】①当时,在上为增函数,
所以在,上最大值为,最小值为;
②当,时,在上为减函数,
所以在,上最大值为,最小值为.
故有,即,解得,
又,所以,
故答案为:2.
13.能说明“若是奇函数,则的图象一定过原点”是假命题的函数是 ________.
【答案】
【解析】依题意,所求函数只需满足是奇函数,同时不过原点即可,
显然,函数满足条件.
故答案为:.
14.已知函数,(其中,,为常数,且)有且仅有3个零点,则的值为_______,的取值范围是_______.
【答案】 (1). (2).
【解析】函数在,上为偶函数,且函数有且仅有3个零点,
故必有一个零点为,
,
;
所以函数,,的零点个数,
等价于函数与直线的图象在,上交点的个数,
而函数相当于函数纵坐标不变,横坐标扩大(或缩小)为原来的倍,
当时,函数与直线在,上仅有一个交点,则;
当时,函数与直线在,上恰有3个零点,如下图所示,故;
当时,函数与直线在,上恰有5个零点,如下图所示,故;
综上所述,的取值范围是,.
故答案为:;,.
三、解答题
15.已知函数.
(Ⅰ)设集合,,,分别指出2,3,4是,,中哪个集合的元素;
(Ⅱ)若,,当时,都有,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)函数,
若,解得或,
则或,或,;
所以,,;
(Ⅱ)因为二次函数的图象是开口朝上的抛物线,且对称轴是,
所以在上单调递减,在上单调递增,
因为,,当时,都有,
所以函数在上单调递增,
所以,
所以,即的取值范围是.
16.已知函数,
(Ⅰ)求函数的定义域;
(Ⅱ)若,求的值(精确到0.01).
解:(Ⅰ)函数,
则有,解得,
即函数的定义域是;
(Ⅱ)因为的定义域是,关于原点对称,
且,
所以是偶函数,
所以.
17.已知是第二象限角,且,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求值.
解:(Ⅰ)因为是第二象限角,且,
所以,
所以;
(Ⅱ).
18.已知函数的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在上的单调区间;
(Ⅲ)若对任意都有,求实数m的取值范围.
解:(Ⅰ)设函数最小正周期为,
由图可知,,所以,
又,,所以;
又,所以,
因为,所以,
所以,即;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
因为当时,,
所以当,即时,单调递增;
当,即
时,单调递减;
当,即时,单调递增.
所以函数单调递增区间为和,单调递减区间为;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,函数在的最大值为,最小值为,
所以对任意,都有,
且当,时,取到最大值,
又因为对任意,都有成立,
所以,即的取值范围是.
19.下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位:元/立方米).
阶梯
户年用水量
(立方米)
水价
其中
自来水费
水资源费
污水处理费
第一阶梯
0-180(含)
5.00
2.07
1.57
1.36
第二阶梯
181-260(含)
7.00
4.07
第三阶梯
260以上
9.00
6.07
(Ⅰ)试写出水费(元)与用水量(立方米)之间的函数关系式;
(Ⅱ)若某户居民年交水费1040元,求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少?
解:(Ⅰ)由北京市居民用水阶梯水价表(单位:元立方米)得到水费(元与用水量(立方米)之间的函数关系式为:
;
(Ⅱ)由于函数在各区间段为单调递增函数,
所以当时,,
当时,,
所以,
令,解得,
即该用户当年用水量为200立方米,
自来水费为(元),水资源费为(元),污水处理费(元).
20.如图,半圆的直径,为圆心,,为半圆上的点.
(Ⅰ)请你为点确定位置,使的周长最大,并说明理由;
(Ⅱ)已知,设,当为何值时,
(ⅰ)四边形的周长最大,最大值是多少?
(ⅱ)四边形的面积最大,最大值是多少?
解:(Ⅰ)点在半圆中点位置时,周长最大.理由如下:
法一:因为点在半圆上,且是圆的直径,
所以,即是直角三角形,
设,,,显然a,b,c均为正数,则,
因为,当且仅当时等号成立,
所以,
所以,
所以的周长为,当且仅当时等号成立,
即为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点是半圆的中点.
法二:因为点在半圆上,且是圆的直径,
所以,即是直角三角形,
设,,,,
则,,
,
因为,所以,
所以当,即时,
周长取得最大值,此时点是半圆的中点.
(Ⅱ)(ⅰ)因为,所以,
所以,,
设四边形的周长为,
则
,
显然,所以当时,取得最大值;
(ⅱ)过作于,
设四边形的面积为,四边形的面积为,的面积为,则
,
所以
;
当且仅当,即时,等号成立,
显然,所以,所以此时,
所以当时,,即四边形的最大面积是.