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- 2021-06-12 发布
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第二讲 二项式定理
1.[多选题]若(1-ax+x2)4的展开式中x5的系数为-56,则下列结论正确的是( )
A.a的值为-2
B.展开式中各项系数之和为0
C.展开式中x的系数为4
D.展开式中二项式系数最大的为70
2.[2020四川五校联考](3x3+x4)(2-1x)8的展开式中x2的系数为( )
A.-1 280 B.4 864 C.-4 864 D.1 280
3.[2020安徽省示范高中名校联考]在二项式(x+3x)n的展开式中,各项系数和为M,二项式系数和为N,且M+N=72,则展开式中常数项为( )
A.18 B.12 C. 9 D.6
4.[2020山西忻州高三模拟]设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5.[2019江西红色七校第一次联考]二项式(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为( )
A.120 B.135 C.140 D.100
6.[2019武汉市高三调研测试]若(x4-1xx)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )
A.8 B.10 C.11 D.12
7.[2020 重庆南开中学模拟]已知(ax+1)n(n∈N*)的展开式中,二项式系数和为32,且各项系数和为243,则a= .
8.[2020武汉市部分学校质量监测]若(2x+13x)n的展开式中所有项系数和为81,则展开式中的常数项为 .
9.[2020唐山市摸底考试]在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是( )
A.-10 B.0 C.10 D.20
10.[2020深圳高级中学高三适应性考试]已知(1+ax)·(2x - 1x)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
11.[2019江淮十校联考]已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x3的项的系数是( )
A.-40 B.-20 C.20 D.40
12.[2019江苏四校联考]已知(1+x)n(n∈N*)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则
奇数项的二项式系数和为( )
A.212 B.211 C.210 D.29
13.[2020江西红色七校第一次联考](x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为 .
14.[2019江淮十校联考]若(x+a)9 =a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,当a5=126时,实数a的值为 .
15.[2019上海市普陀区模拟]如果(x2- 1 2x)n(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是 .
16.[2019闽粤赣三省十校联考]若(x3+1x2)n(n∈N*)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展开式的常数项为 .
17.[新角度题](x+2y-3z)9的展开式中含x4y2z3项的系数为 ( )
A.-136 000 B.-136 080 C.-136 160 D.-136 280
18.[多选题]已知(2x-m)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,若a0+a12+a222+…+a727=-128,则有( )
A.m=2 B.a3=-280
C.a0=-1 D.-a1+2a2-3a3+4a4-5a5+6a6-7a7=14
19. [双空题]若二项式(ax2+1x)5的展开式中的常数项为10,则实数a的值为 ,展开式中所有无理项的系数之和为 .
20.[2019河北衡水质量测评][易错题]二项式(ax+bx)n(a>0,b>0)的展开式中,设所有二项式系数的和为A,所有项的系数的和为B,常数项为C,若A=B=256,C=70,则展开式中含x6的项为 .
第二讲 二项式定理
1.BD 因为(1- ax+x2)4=[(1- ax)+x2]4,C43C33(- ax)3x2+C42C21·(- ax)(x2)2=(- 4a3- 12a)x5,所以- 4a3- 12
a=- 56,解得a=2.(1- ax+x2)4=(x- 1)8,令x=1,则展开式中各项系数之和为0,
展开式中x的系数为C87(- 1)7=- 8,展开式中二项式系数最大的为C84=70.故选BD.
2.A 由(2- 1x)8的展开式的通项Tr+1=C8r28- r(- 1x)r可得,要想得到x2项,需第一个括号里取3x3,第二个括号里取C81×27×(- 1x),或者第一个括号里取x4,第二个括号里取C82×26×(- 1x)2,故展开式中的x2项为3x3[C81×27×(- 1x)]+x4[C82×26×(- 1x)2],化简得- 1 280x2.故选A.
3.C 解法一 令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.
则展开式的通项公式为Tk+1=C3k(x)3- k(3x)k=3kC3kx3- 3k2,令3- 3k=0,得k=1,所以常数项为9.故选C.
解法二 令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.
(x+3x)3可看作三个(x+3x)相乘,其展开式中的常数项为C31×3x×(x)2=9.故选C.
4.B 根据二项式系数的性质知,(x+y)2m的展开式中二项式系数最大的项有一项,易知C2mm=a,(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大的项有两项,易知C2m+1m=C2m+1m+1=b.
又13a=7b,所以13C2mm=7C2m+1m,将各选项中m的取值逐个代入验证,知m=6满足等式,故选B.
5.B (1- x)10的展开式的通项Tr+1=C10r(- x)r=(- 1)rC10rxr,分别令r=4,r=3,r=2,可得展开式中x4的系数为(- 1)4C104+(- 1)3C103+(- 1)2C102=135.故选B.
6.C (x4- 1xx)n的展开式的通项Tr+1=Cnr(x4)n- r(- 1xx)r=(- 1)rCnrx4n- 112r,
当4n- 112r=0,即n=118r时展开式中含有常数项,所以n的最小值为11.故选C.
7.2 依题意得,二项式系数和为2n=32,解得n=5.令x=1,得各项系数和为(a+1)5=243,所以a+1=3,所以a=2.
8.8 令x=1,得展开式中所有项系数和为3n=81,解得n=4.(2x+13x)4的展开式的通项公式为Tr+1=C4r(2x)4- r(13x)r=24- rC4rx4- 43r,
令4- 43r=0,得r=3,所以展开式中的常数项为24- 3C43=8.
9.B 解法一 (x- y)5展开式的通项Tk+1=Ck5x5- k(- y)k=(- 1)kC5kx5- kyk,所以(x+y)(x- y)5的展开式的通项为(- 1)kC5kx6- kyk或(- 1)kC5kx5- kyk+1,
则当k=3时,有(- 1)kC5kx6- kyk=- 10x3y3,
当k=2时,有(- 1)kC5kx5- kyk+1=10x3y3,所以x3y3的系数为0,故选B.
解法二 (x+y)(x- y)5=(x+y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y),要想出现x3y3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x,最后在余下的三个多项式中取- y,所以有xC52x2(- y)3=- 10x3y3;(2)先在第一个多项式中取y,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式中取x,最后在余下的两个多项式中取- y,所以有yC53x3(- y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0,故选B.
10.D 令x=1,得展开式中各项系数和为(1+a1)(2- 11)5=1+a,
所以1+a=2,所以a=1,
所以(1+ax)(2x- 1x)5=(1+1x)(2x- 1x)5=(2x- 1x)5+1x(2x- 1x)5,
所求展开式中常数项为(2x- 1x)5的展开式中的常数项与含x的项的系数和,
(2x- 1x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(2x)5- r·(- 1)r(1x)r=(- 1)r25- rC5rx5- 2r.
令5- 2r=1,得r=2;令5- 2r=0,无整数解.
所以展开式中的常数项为8C52=80.故选D.
11.D 已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,
令x=1,得2(2+a)5=2,解得a=- 1.
解法一 因为(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5=(x+1)(32x5- 80x4+80x3- 40x2+10x- 1),
故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.
解法二 由(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5,易知(2x- 1)5的展开式的通项Tr+1=C5r(2x)5- r(- 1)r=(- 1)rC5r25- rx5- r.
①当x+1中取x时,令r=3,则含x3的项的系数为1×(- 1)3×C53×22=- 40.
②当x+1中取1时,令r=2,则含x3的项的系数为1×(- 1)2×C52×23=80.
故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.
12.D 因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn7,解得n=10.
从而C100+C101+C102+…+C1010=210,所以奇数项的二项式系数和为C100+C102+…+C1010=29.故选D.
13.- 320 (x- 2y+1)(2x+y)6=x(2x+y)6- 2y(2x+y)6+(2x+y)6,(2x+y)6的展开式的通项Tr+1=C6r(2x)6- ryr=C6r26- r·x6- ryr.
x(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为C6323=160;- 2y(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 2×C62×24=- 480;(2x+y)6的展开式中无x4y3项.
综上,(x- 2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 320.
14.0或2 因为x+a=(x+1)+(a- 1),所以(x+a)9=[(x+1)+(a- 1)]9,其展开式的通项Tr+1=C9r(a- 1)9- r(x+1)r,所以a5=C95(a- 1)4=126,所以(a- 1)4=1,解得a=0或2.
15.164 因为(x2- 12x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大,
所以展开式中共有2×4- 1=7(项),所以n=6,所以(x2- 12x)n=(x2- 12x)6.
令x=1,可得展开式中所有项的系数之和是(1- 12)6=164.
16.210 由于(x3+1x2)n的展开式中只有第6项的系数最大,所以展开式中共有11项,所以n=10.
所以(x3+1x2)n=(x3+1x2)10,展开式的通项Tr+1=C10r(x3)10- r·x- 2r=C10rx30- 5r,所以当r=6时,C10rx30- 5r为常数项,
所以常数项为210.
17.B 由(x+2y- 3z)9=[x+(2y- 3z)]9,得其展开式的通项Tr+1=C9r·x9- r·(2y- 3z)r=C9r·x9- r·Crt·(2y)r- t·(- 3z)t=C9r·Crt·2r- t·(- 3)t·x9- r·yr- t·zt(0≤t≤r≤9),
令t=3,r- t=2,9- r=4,解得t=3,r=5.故含x4y2z3项的系数为C95×C53×22×(- 3)3=- 136 080.
18.BCD 令1- x=12,即x=12,可得(2×12- m)7=(1- m)7=a0+a12+a222+…+a727=- 128,解得m=3,故A错误;令x=1,得a0=(- 1)7=- 1,(2x- 3)7=[- 1- 2(1- x)]7,所以a3=C73×(- 1)4×(- 2)3=- 280,故B,C正确;对(2x- 3)7=a
0+a1(1- x)+a2(1- x)2+…+a7(1- x)7两边求导得14(2x- 3)6=- a1- 2a2(1- x)- …- 7a7(1- x)6,令x=2得- a1+2a2- 3a3+4a4- 5a5+6a6- 7a7=14,故D正确.故选BCD.
19.2 121 易知(ax2+1x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(ax2)5- r·(1x)r=C5ra5- rx10- 5r2.令10- 5r2=0,解得r=4,所以常数项为T5=C54a5- 4=10,解得a=2.由10- 5r2∉Z,且0≤r≤5,可得r=1,3,5,因此展开式中的所有无理项为T2,T4,T6,其中T2=C5125- 1·x10- 52=80x152,T4=C5325- 3x10- 152=40x52,T6=C5525- 5x10- 252=x- 52,故展开式中所有无理项的系数之和为80+40+1=121.
20.8x6 依题得2n=256,所以n=8.
在(ax+bx)8的展开式中,令x=1,则有(a+b)8=256,所以a+b=2.
(ax+bx)8的展开式的通项Tr+1=C8r(ax)8- r·(bx)r=C8ra8- rbrx8- 2r,
令8- 2r=0,得r=4,可得常数项为C84a4b4=70,解得ab=1或ab=- 1(舍),
则由ab=1,a+b=2,解得a=1,b=1.所以Tr+1=C8rx8- 2r.
令8- 2r=6,得r=1.
所以T2=C81x6=8x6,故展开式中含x6的项为8x6.
【易错警示】 解题时易将“二项式系数和”与“所有项的系数和”混淆,解题的关键是弄清两者的概念.二项展开式中二项式系数和为2n,而求解二项展开式中所有项的系数和时常用赋值法.
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