2020-2021学年北师大版数学必修2习题：第一章 立体几何初步 单元质量评估1 11页

第一章单元质量评估(一) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体 为( C ) A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 解析：由三视图易知其图形为如图所示的三棱柱． 2．下列说法中正确的是( C ) ①三角形一定是平面图形；②若四边形的两条对角线相交于一 点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④ 三条平行线最多可确定三个平面． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 解析：过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，所以三角 形一定是平面图形，所以①对；两条对角线相交于一点的四边形一定 是平面图形，所以②对；三条平行线可确定一个或三个平面，所以④ 对；可以有无数个平面经过圆的一条直径，③错．故选 C. 3．如图所示，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l， 则平面 ABC 与平面β的交线是( C ) A．直线 AC B．直线 AB C．直线 CD D．直线 BC 解析：D∈l，l β，∴D∈β，又 C∈β，∴CD β.同理，CD 平 面 ABC，∴平面 ABC∩平面β＝直线 CD. 4．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( D ) A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交 解析：如图所示，a，b 是异面直线，AB，AC 都与 a，b 相交， AB，AC 相交；AB，DE 都与 a，b 相交，AB，DE 异面． 5．已知 m 是平面α的一条斜线，点 A∉α，l 为过点 A 的一条动直 线，那么下列情形中可能出现的是( C ) A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α C．l⊥m，l∥α D．l∥m，l ∥α 解析：如图，l 可以垂直 m，且 l 平行α. 6．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的 第三边的位置关系是( A ) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．不确定 解析：由条件知这条直线垂直于该三角形所在的平面，所以这条 直线垂直于这个三角形的第三边． 7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位： cm)，可得这个几何体的体积是( C ) A.1 2 cm3 B.1 3 cm3 C.1 6 cm3 D. 1 12 cm3 解 析 ： 根 据 三 视 图 可 知 原 几 何 体 是 三 棱 锥 ， V ＝ 1 3 Sh ＝ 1 3 ×1 2 ×1×1×1＝1 6(cm3)． 8．在正三棱锥 P—ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点，有 下列三个论断： ①AC⊥PB；②AC∥平面 PDE；③AB⊥平面 PDE. 其中正确的是( C ) A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 解析：画图形(图略)，可得①②正确． 9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆 锥、球的体积之比为( D ) A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶2∶4 D．3∶1∶2 解析：设球的半径为 R，则 V 圆柱＝2πR3，V 圆锥＝1 3πR2·(2R)＝2π 3 R3， V 球＝4 3πR3.则体积之比为 2∶2 3 ∶4 3 ＝3∶1∶2.选 D. 10．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几 何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示．若该几何体的 表面积为 16＋20π，则 r 等于( B ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：直观图如图，则 2πr2＋πr2＋1 2 ×2πr·2r＋(2r)2＝16＋20π， 得 5πr2＋4r2＝16＋20π，则 r＝2.故选 B. 11．在四面体 ABCD 中，下列条件不能得出 AB⊥CD 的是 ( D ) A．AB⊥BC 且 AB⊥BD B．AD⊥BC 且 AC⊥BD C．AC＝AD 且 BC＝BD D．AC⊥BC 且 AD⊥BD 解析：A 项，∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC＝B， ∴AB⊥平面 BCD，∵CD 平面 BCD，∴AB⊥CD. B 项，设 A 在平面 BCD 内的射影为 O，则 AO⊥平面 BCD， ∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O 为△BCD 的垂心，连接 BO，则 BO ⊥CD. 又 AO⊥CD，AO∩BO＝O，∴CD⊥平面 ABO， ∵AB 平面 ABO，∴AB⊥CD. C 项，取 CD 中点 G，连接 BG，AG. ∵AC＝AD 且 BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG， ∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面 ABG， ∵AB 平面 ABG，∴AB⊥CD，故选 D. 12．如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上 有两个动点 E，F，且 EF＝ 2 2 ，现有下列结论：①AC⊥BE；②平面 AEF 与平面 ABCD 的交线平行于直线 EF；③异面直线 AE，BF 所成 的角为定值；④三棱锥 A—BEF 的体积为定值，其中错误结论的个数 是( B ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 解析：在正方体中可得 AC⊥平面 BDD1B1，故 AC⊥BE，①正 确；平面 AEF∩平面 A1B1C1D1＝EF，设平面 AEF∩平面 ABCD＝l， 由平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1 知 EF∥l，即②正确；当 F 在 B1 的位 置时，E 为 B1D1 的中点 O，∠A1AO 为异面直线 AE，BF 所成的角， 当 E 在 D1 的位置时，F 在 O 的位置，∠OBC1 为 AE 与 BF 所成的角， 因为∠A1AO≠∠OBC1，所以③不正确；S△BEF 为定值，A 到平面 BEF 的距离即为 A 到平面 BB1D1D 的距离为定值，即④正确．故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案 填写在题中横线上) 13．底面直径和高都是 4 cm 的圆柱的侧面积为 16π cm2. 解析：圆柱的底面半径为 r＝1 2 ×4＝2(cm)，∴S 侧＝2π×2×4＝ 16π(cm2)． 14．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，P 是 AA1 的中点， E 是 BB1 上的点，则 PE＋EC 的最小值是 17. 解析：将正方体的侧面 ABB1A1，BCC1B1 放在同一平面内，如图， 则 PE＋EC 的最小值为 PC′＝ PA2＋AC′2＝ 12＋42＝ 17. 15．圆台的母线长为 2a，母线与轴的夹角为 30°，一个底面圆的 半径是另一个底面圆的半径的 2 倍，则两底面圆的半径分别为 a,2a. 解析： 如图，画出圆台轴截面，由题设，得∠OPA＝30°，AB＝2a， 设 O1A＝r，PA＝x，则 OB＝2r，x＋2a＝4r，且 x＝2r，∴a＝r， 即两底面圆的半径分别为 a,2a. 16．在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，过体对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E，交 CC1 于 F，得四边形 BFD1E，给出下列结 论： ①四边形 BFD1E 有可能为梯形；②四边形 BFD1E 有可能为菱形； ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形；④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D. 其中正确的是②③④(请写出所有正确结论的序号)． 解析：因为正方体中对面互相平行，所以截面与对面的交线互相 平行，所以一定是平行四边形，①不对；当 E、F 分别是所在棱的中 点时，四边形 BFD1E 为菱形，②对；根据投影知识知③对；当 E、F 分别是所在棱中点时，EF⊥平面 BB1D1D，④对． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(10 分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位：m)： (1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积． 解：(1)直观图如图①. (2)解法 1：由三视图可知该几何体是由长方体截去一个三棱柱而 得到的，且该几何体的体积是以 A1A，A1D1，A1B1 为棱的长方体的 体积的3 4 ，在直角梯形 AA1B1B 中，作 BE⊥A1B1 于 E，如图②，则四 边形 AA1EB 是正方形，∴AA1＝BE＝1 m. 在 Rt△BEB1 中，BE＝1 m，EB1＝1 m，∴BB1＝ 2 m. ∴几何体的表面积 S＝S 正方形 AA1D1D＋2S 梯形 AA1B1B＋S 矩形 BB1C1C＋S 正方形 ABCD＋S 矩形 A1B1C1D1＝1＋2×1 2 ×(1＋2)×1＋ 1× 2＋1＋1×2＝(7＋ 2) m2，几何体的体积 V＝3 4 ×1×2×1＝3 2 m3. ∴该几何体的表面积为(7＋ 2) m2，体积为3 2 m3. 解法 2：该几何体可看成以四边形 AA1B1B 为底面的直四棱柱， 其表面积求法同解法 1，V 直四棱柱 D1C1CD—A1B1BA＝Sh＝1 2 ×(1 ＋2)×1×1＝3 2 m3. ∴该几何体的表面积为(7＋ 2) m2，体积为3 2 m3. 18．(12 分)如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，∠ADC＝ 135°，AB＝5，CD＝2 2，AD＝2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周 所成几何体的表面积及体积． 解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5， S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2 2＝ (60＋4 2)π， V＝V 圆台－V 圆锥＝1 3(π×22＋π×52＋ 22×52π2)×4－1 3π×22×2＝ 148 3 π. 19．(12 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA⊥平面 ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F 分别是 PB，PC 的 中点． (1)证明：EF∥平面 PAD； (2)求三棱锥 E－ABC 的体积 V. 解：(1)证明：在△PBC 中，E，F 分别是 PB，PC 的中点，∴EF ∥BC. ∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD. 又∵AD 平面 PAD，EF⃘平面 PAD，∴EF∥平面 PAD. (2)如图，连接 AE，AC，EC，过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G.则 EG⊥平面 ABCD，且 EG＝1 2PA. 在△PAB 中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝ 2， EG＝ 2 2 . ∴S△ABC＝1 2AB·BC＝1 2 × 2×2＝ 2，∴VE－ABC＝1 3S△ABC·EG＝ 1 3 × 2× 2 2 ＝1 3. 20．(12 分)如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA⊥平面 ABCD，M，N 分别是 AB，PC 的中点，PA＝AD. (1)求证：MN∥平面 PAD； (2)求证：平面 PMC⊥平面 PCD. 证明：(1)如图，取 PD 的中点 E，连接 EN，AE. ∵N 是 PC 的中点，∴EN 綊 1 2DC. 又∵AM 綊 1 2DC，∴EN 綊 AM，∴四边形 AENM 是平行四边形， ∴AE∥MN. 又∵AE 平面 PAD，MN⃘平面 PAD，∴MN∥平面 PAD. (2)∵PA＝AD，E 是 PD 的中点，∴AE⊥PD. ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥CD. 又 AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面 PAD. ∵AE 平面 PAD，∴AE⊥CD. ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面 PCD. 又∵AE∥MN，∴MN⊥平面 PCD. ∵MN 平面 PMC，∴平面 PMC⊥平面 PCD. 21．(12 分)矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，E 为 CD 的中点， 如图，沿 AE 将△DAE 折起到△D1AE 的位置，使平面 D1AE⊥平面 ABCE. (1)若 F 为线段 D1A 的中点，求证：EF∥平面 D1BC； (2)求证：BE⊥D1A. 证明： (1)如图，取 AB 的中点 G，连接 EG，FG，则 EG∥BC，FG∥ D1B，且 EG∩FG＝G，EG 平面 EFG，FG 平面 EFG，D1B∩BC ＝B，D1B 平面 D1BC，BC 平面 D1BC， ∴平面 EFG∥平面 D1BC. ∵EF 平面 EFG，∴EF∥平面 D1BC. (2)易证 BE⊥EA，因为平面 D1AE⊥平面 ABCE，平面 D1AE∩ 平面 ABCE＝AE. ∴BE⊥平面 D1AE. 又 D1A 平面 D1AE，∴BE⊥D1A. 22．(12 分)如图，三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 2 的正 三角形，侧棱 A1A⊥底面 ABC，点 E、F 分别是棱 CC1、BB1 上的点， 点 M 是线段 AC 上的动点，EC＝2FB＝2.问：当点 M 在什么位置时， BM∥平面 AEF? 解：如图，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，连接 MB. 因为侧棱 A1A⊥底面 ABC，所以侧面 A1ACC1⊥底面 ABC，所 以 OM⊥底面 ABC.则 OM 綊 1 2EC， 又因为 EC＝2FB＝2，所以 OM 綊 FB，所以四边形 OMBF 为矩 形，所以 BM∥OF. 又因为 BM 平面 AEF，OF 平面 AEF，故 BM∥平面 AEF， 此时点 M 为 AC 的中点．