高中数学必修2教案：1_3_3球的表面积与体积 (3) 6页

第三课时 球的表面积与体积 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.‎ ‎（2）培养学生空间想象能力和思维能力.‎ ‎2．过程与方法 通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.‎ ‎3．情感、态度与价值 让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.‎ ‎（二）教学重点、难点 重点：球的表面积与体积的计算 难点：简单组合体的体积计算 ‎（三）教学方法 讲练结合 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课引入 复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.‎ 师生共同复习，教师点出点题（板书）‎ 复习巩固 探索新知 ‎1．球的体积：‎ ‎2．球的表面积：‎ 师：设球的半径为R，那么它的体积：，它的面积现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？‎ 生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.‎ 师 (肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.‎ 加强对公式的认识培养学生理解能力 典例分析 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：‎ 教师投影例1并读题，‎ 本题较易，‎ ‎（1）球的体积等于圆柱体积的；‎ ‎（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.‎ 证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以，.‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ 所以，S球 = S圆柱侧.‎ 例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）‎ A．‎6:13‎ B．5:14‎ C．3:4 D．7:15‎ ‎【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.‎ 设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2‎ 学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）‎ 教师投影例2并读题，‎ 师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.‎ 生：球内切于圆台.‎ 师：你准备怎样研究这个组合体？‎ 生：画出球和圆台的轴截面.‎ 师：圆台的高与球的哪一个量相等？‎ 生：球的直径.‎ 师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？‎ 生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.‎ 师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.‎ 学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.‎ 通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.‎ ‎，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.‎ ‎∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E为切点)，‎ ‎∴R2 = OE2 = AE·BE = r1·r2.‎ 由已知S球∶S圆台侧= 4R2∶(r1+r2)2 = 3∶4‎ ‎(r1 + r2)2 =‎ V球∶V圆台 =‎ ‎=故选A.‎ 例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.‎ 解：∵PA、PB、PC两两垂直，‎ PA = PB = PC = a.‎ ‎∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.‎ 又∵P、A、B、C四点是球面上四点，‎ ‎∴球是正方体的外接球 ，正方体的对角线是球的直径.‎ ‎∴.‎ 师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.‎ 教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.‎ 师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P – ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.‎ 本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.‎ ‎∴‎ 随堂练习 ‎1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？‎ ‎（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.‎ ‎（3）一个球的体积是‎100 cm2，试计算它的表面积(取3.14，结果精确到‎1cm2，可用计算器). ‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）8倍；（2）（3）104.‎ 学生独立完成 巩固所学知识 归纳总结 ‎1．球的体积和表面积 ‎2．等积变换 ‎3．轴截面的应用 学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善 归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.‎ 课后作业 ‎1.3 第三课时 习案 学生独立完成 固化练习 提升能力 备用例题 例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．‎ ‎ 【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．‎ ‎ 【解析】 如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，则O1是△ABC的外心．‎ ‎ 设M是AB的中点，由于AC = BC，则O1∈CM．‎ 设O‎1M = x，易知O‎1M⊥AB，则O‎1A = ，O‎1C = CM – O‎1M = – x ‎ 又O‎1A = O‎1C ‎ ∴ ．解得 则O‎1A = O1B = O‎1C = ．‎ 在Rt△OO‎1A中，O1O = ，∠OO‎1A = 90°，OA = R，‎ 由勾股定理得．解得．‎ 故．‎ 图4—3—9‎ 例2．如图所示棱锥P – ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC =，且PD是四棱锥的高．‎ ‎（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；‎ ‎（2）求四棱锥外接球的半径．‎ ‎【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．‎ ‎【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ S□ABCD = a2．‎ VP – ABCD = VS – PDA + VS – PDC + V S – ABCD + VS – PAB + Vs – PBC ，‎ ‎，‎ B A C D P F 图4—3—10‎ ‎，‎ 所以，，‎ 即球的最大半径为．‎ ‎（2）法一：设PB的中点为F．‎ 因为在Rt△PDB中，FP = FB = FD，‎ 在Rt△PAB中，FA = FP = FB，‎ 在Rt△PBC中，FP = FB = FC，‎ 所以FP = FB = FA = FC = FD．‎ 所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．‎ 法二：球心O在如图EF上，设OE = x，EA = ，‎ 又 即球心O在PB中点F上．‎ ‎【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法．‎