2019-2020学年甘肃省兰州市第一中学高一上学期9月月考数学试题（解析版） 14页

‎2019-2020学年甘肃省兰州市第一中学高一上学期9月月考数学试题 一、单选题 ‎1．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】或，函数的定义域为，‎ 故选C.‎ ‎2．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）‎ A.与 B.与 C.与 D.与 ‎【答案】D ‎【解析】根据两函数为同一函数的要求分别判断两函数的定义域和解析式是否相同，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 选项：定义域为：；定义域为：或 两函数不是同一函数 选项：与定义域均为；，可知两函数解析式不同 两函数不是同一函数 选项：与定义域均为；，可知两函数解析式不同 两函数不是同一函数 选项：与定义域均为：；，可知两函数解析式相同 两函数是同一函数 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同一函数的判断，关键是明确两函数为同一函数要求两函数的定义域和解析式都相同，属于基础题.‎ ‎3．下列图形是函数的图象的是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：∵x≥0时，f（x）=x﹣1‎ 排除A,B,D.故选C ‎4．已知定义在上的奇函数和偶函数，则（　　）‎ A.是奇函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是偶函数 ‎【答案】D ‎【解析】逐个选项去判断是否是奇函数或者偶函数。‎ ‎【详解】‎ A．若f（x）=x，g（x）=2，满足条件，则f（x）+g（x）不是奇函数，故A错误， ‎ B．|f（-x）|g（-x）=|-f（x）|g（x）=|f（x）|g（x）是偶函数，故B错误， ‎ C．f（-x）•g（-x）=-f（x）•g（x），则函数是奇函数，故C错误， ‎ D．f（|-x|）•g（-x）=f（|x|）•g（x），则f（|x|）•g（x）是偶函数，故D正确 ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．‎ ‎5．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，．故C正确．‎ ‎【考点】复合函数求值．‎ ‎6．已知10m＝2，10n＝4，则的值为(　　)‎ A．2 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】＝＝＝＝.‎ 答案：B ‎7．若的解集是函数的定义域，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得不等式的解集，也即函数的定义域，根据函数的单调性求得值域.‎ ‎【详解】‎ 由得，即，，解得，也即函数的定义域为 ‎.由于函数在上递增，故当时取得最小值，当时取得最大值，所以函数的值域为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数不等式的解法，考查函数定义域与值域，考查指数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎8．设则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.‎ ‎【考点】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.‎ ‎9．若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可得出，不等式mx2mx+2>0的解集为R，从而可看出m＝0时，满足题意，m≠0时，可得出，解出m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）的定义域为R；‎ ‎∴不等式mx2mx+2>0的解集为R；‎ ‎①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；‎ ‎②m≠0时，则；‎ 解得0＜m<8；‎ 综上得，实数m的取值范围是 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△需满足的条件．‎ ‎10．定义在R上的偶函数，对任意的，都有，，则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于对任意的，都有，所以函数在上为减函数，由于函数是上的偶函数，故函数在上递增，且，由此画出函数大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎11．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先分析出函数在上为增函数，由得出，从而可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象如下图所示，可知函数在上为增函数，‎ ‎，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式求解，解题时要考查函数的单调性，进而利用单调性得出自变量的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 函数的值域是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数的图象恒过定点，则的坐标为___．‎ ‎【答案】（2,3）‎ ‎【解析】令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得定点的纵坐标，即得解.‎ ‎【详解】‎ 令x-2=0,所以x=2，‎ 把x=2代入函数的解析式得.‎ 所以函数的图像过定点A（2,3）.‎ 故答案为：（2,3）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数型函数图像的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14．设函数为偶函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】注意到为偶函数，故，通过对比可知.‎ ‎15．函数的单调递增区间为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据复合函数单调性同增异减，结合指数函数和二次函数的单调性知识，求得函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 函数在上递减，函数的对称轴是，且在上递增，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数的单调递增区间为.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查指数函数和二次函数的单调性，属于基础题.‎ ‎16．若函数在上为增函数，则取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在上为增函数，则需，‎ 解得，故填.‎ 三、解答题 ‎17．已知全集，集合，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）的取值范围是 ‎【解析】试题分析：（1）先求出或，再根据交集的定义直接求出即可；（2）先求得，在由，考虑后，根据子集的定义列不等式，即可求出的取值范围.‎ 试题解析：（1）∵或，，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎①当即时，；‎ ‎②当即时，要使，有 ∴ ‎ 又，∴，∴的取值范围是.‎ ‎18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.‎ ‎（1）计算，；‎ ‎（2）求的解析式.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据奇函数的性质求得，根据奇函数的定义求得.（2）先令，得到，然后根据奇函数求得函数时的解析式，进而求得函数在上的解析式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵是上的奇函数，‎ ‎∴‎ 因为是上的奇函数，又时，‎ 所以.‎ ‎（2）当时，‎ 因为当时，‎ 所以 又∵函数是上的奇函数，即 ‎∴‎ 又 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数解析式，考查奇函数的定义和性质，属于基础题.‎ ‎19．（1））计算：‎ ‎（2）已知＝3，求的值 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用指数运算的知识化简，求得表达式的值.（2）对已知条件，平方化简后，再次平方，可求得所求.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎(2)由,得到所以,‎ 于是,所以 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数的运算，其主要的解题方法是：大的数变为小的数，小数变为分数来求解.属于中档题.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）证明函数在上是增函数；‎ ‎（3）比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）是偶函数；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）先求得函数的定义域，然后利用奇偶函数的定义，证得，由此判断出函数为偶函数.（2）利用单调性的定义，任取，且,证得，由此证得函数在上为增函数.（3）根据函数的奇偶性以及单调区间，对分成两种情况，比较出与的大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 是偶函数. ‎ ‎（2）证明：任取，且，则 ‎，且，‎ ‎，即：当时，是增函数. ‎ ‎（3）要比较与的大小，‎ ‎∵是偶函数，∴只要比较与大小即可.‎ 当时，即时，∵当时，是增函数，‎ ‎∴‎ 当时，即当时，∵当时，是增函数，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用定义法证明函数的单调性，考查利用奇偶性和单调性比较大小，属于中档题.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎(1)若在上是单调函数，求的取值范围；‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎【答案】(1) 或；(2).‎ ‎【解析】（1）先求得函数的对称轴，根据对称轴不在区间上列不等式，解不等式求得的取值范围.（2）根据函数对称轴和区间的关系，对分成三种情况，根据函数在上的单调性，求得函数的最小值的表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 的对称轴为 根据题意得：或，‎ 得到：或，的取值范围是或. ‎ ‎（2）当，即时，在区间上是减函数，最小值；‎ 当即时，在区间上是先递减后递增的函数，最小值；‎ 当时，即时，在区间上是增函数，最小值； ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二次函数单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22．已知是定义在上的奇函数，且，对任意的且 时，有成立．‎ ‎（1）判断在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（2）解不等式；‎ ‎（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或.‎ ‎【解析】（1）利用函数单调性的定义，结合函数为奇函数以及题目所给已知条件，证得，由此判断出函数在上递增.（2）根据函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集.（3）根据的单调性，将问题转化为，对恒成立问题来求解，构造函数，结合一次函数的性质列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明任取且，则，‎ ‎∵为奇函数，∴,‎ ‎∴‎ 由已知得，,‎ ‎∴，即，∴在上单调递增． ‎ ‎(2)∵在上单调递增，∴，解得 . ‎ ‎ 不等式的解集为 ‎(3)∵，在上单调递增，∴在上，.‎ 问题转化为，即，对恒成立．‎ 设.‎ ‎①若，则，对恒成立．‎ ‎②若，则为的一次函数，若，对恒成立，必须，且，∴或.‎ ‎∴的取值范围是或或.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解抽象函数不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎