2019-2020学年河北省石家庄市第二中学、唐山市第一中学等“五个一名校联盟”高一上学期联考数学试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年河北省石家庄市第二中学、唐山市第一中学等“五个一名校联盟”高一上学期联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据集合交集补集运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合交集补集运算，属于基础题.‎ ‎2．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）‎ A． B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据相等函数概念，逐一分析定义域和对应法则，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 中，定义域，定义域为，则不是同一函数；‎ 中，定义域，定义域为，则不是同一函数；‎ 中，定义域，定义域为，则不是同一函数；‎ 中，定义域，定义域，则是同一函数；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相等函数的概念，属于基础题.‎ ‎3．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，可知，运用诱导公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数组合角的诱导公式，属于基础题.‎ ‎4．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据根式和对数式的限定条件，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，则有 即，解得 则定义域为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定义域求法，属于基础题.‎ ‎5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.‎ ‎【详解】‎ 对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；‎ 对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；‎ 对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误；‎ 对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误；‎ 综上，其中正确命题是②，只有个.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.‎ ‎6．若，，满足，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，构造函数与的图象交点问题，为交点纵坐标，可得，‎ 再将与比较，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，构造函数与交点，‎ 由图象知 ‎，则，‎ ‎，则，‎ 则 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式，对数式比较大小，考查数形结合，属于中等题.‎ ‎7．若，则（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意令，导出，，，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，令 则有，，‎ 则 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数换底公式及运算，属于基础题.‎ ‎8．函数的图象如图所示，则可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的图象确定函数的定义域，奇偶性进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由图象知函数的定义域为，故排除，函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数，‎ 是偶函数，不满足条件，‎ 是奇函数，满足条件.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象判断奇偶性和定义域，考查数形结合思想，属于中等题型.‎ ‎9．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可判断，再根据诱导公式和同角三角函数关系可化简.‎ ‎【详解】‎ 由题意，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式化简三角函数，属于基础题.‎ ‎10．已知函数的最小正周期为，且对任意的，恒有成立，则图象的一条对称轴是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意对任意的，恒成立，则可知为函数最大值，再根据周期性可求对称轴.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对任意的，恒成立，‎ 又，则，‎ 故为最大值点，‎ 为函数对称轴，且已知周期为，‎ 则函数的对称轴方程为，‎ 则当时，对称轴方程为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的对称性和最值，属于中等题型.‎ ‎11．已知函数，在的图像恒在轴上方，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意令，由则，则函数，则问题转化成在上恒成立，化简不等式恒成立，根据基本不等式可求的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 函数化成 则函数，在图象恒在轴上方，‎ 可转化成在恒成立，‎ 故在恒成立，‎ 则有 且 则，又在恒成立，‎ 则 故的范围 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查换元法转化函数恒成立问题，考查计算能力，有一定难度.‎ ‎12．已知函数，若存在实数，使得有四个零点，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意作出函数图象，确定，，由此可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象如图所示 函数与交于个交点，则 ‎，‎ ‎，‎ 则 ‎，且 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的零点问题，考查数形结合，考查计算能力，有一定难度.‎ 二、填空题 ‎13．化简________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据指数运算法则，化简为同底指数幂的运算，再根据对数运算法则及对数恒等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数运算和对数运算，属于基础题.‎ ‎14．已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据商数关系，求解值，再根据平方关系，化简三角函数值，‎ ‎【详解】‎ 由题意 解得 则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查齐次式运算，属于基础题.‎ ‎15．已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分段函数单调性，则时对数函数单调递增，时二次函数单调递增，‎ 当时，二次函数取值小于等于对数函数值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数 ，在上增函数，‎ 则有 解得 则实数的取值范围 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数单调性问题，考查计算能力，属于中等题型.‎ ‎16．下列四个命题：‎ ‎①函数是奇函数且在定义域上是单调递增函数；‎ ‎②函数有两个零点，则；‎ ‎③函数，则的解集为；‎ ‎④函数的单调递减区间为.‎ 其中正确命题的序号为__________.‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】根据正切函数性质，判断①错误；根据指数函数翻折变换画图，根据图像即可求解参数取值范围，知②错；根据函数解析式判断函数单调性及奇偶性，即可求解集，知③正确；根据复合函数单调性法则，求解单调区间，知④错误.‎ ‎【详解】‎ 对于①，正切函数是奇函数，定义域为 ‎，单调区间为，在每一个区间内单调递增，但不是在其定义域内单调递增，故①错误；‎ 对于②，函数有两个零点，转化成与直线有两个交点，作两个函数图象，如下图所示：‎ 根据图像，可知，故②错误；‎ 对于③，函数，是奇函数，‎ ‎ ，则函数在上单调递增，‎ 由，则 ‎，解得 则解集为，故③正确；‎ 对于④，函数是复合函数，令是内层函数，是外层函数，根据复合函数单调性同增异减，在是增函数，则为减函数，又，则减区间为，故④错误；‎ 故答案为：③‎ ‎【点睛】‎ 本题考查真假命题的判断，考查函数单调性及零点问题，综合性较强，属于中等题型.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若角的终边经过点，求的值；‎ ‎（2）若.且角为第三象限角，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据诱导公式化简解析式，再根据三角函数定义求解，即可求解.‎ ‎（2）由（1）可化简和，根据同角三角函数关系式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）；‎ ‎∵角的终边经过点，；‎ ‎.‎ ‎（2）由，‎ ‎.‎ ‎∴由 又∵角为第三象限角，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）诱导公式（2）与关系的常用公式；考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．设集合，集合 ‎.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据对数式中真数大于零和根号下被开方数大于等于零，求解函数定义域从而表达集合，代入，求集合，再求交集.‎ ‎（2）根据题意，推出，讨论空集情况，根据子集关系即可求解参数取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得，‎ 当时，，.‎ ‎（2）若，则.‎ ‎①若，即，时，满足条件；‎ ‎②若，需满足：，解得，；‎ 综上①②可知，满足条件的实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查（1）具体函数定义域求法和集合交集运算（2）根据子集关系求解参数范围，考查分类讨论思想，属于基础题.‎ ‎19．已知定义在上的函数（其中，，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且图象上一个最低点的坐标为.‎ ‎（1）求函数的解析式，并求其单调递增区间；‎ ‎（2）若时，的最大值为4，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；单调递增区间是（2）当时，；当时，‎ ‎【解析】（1）根据题意，相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，确定参数，再根据最低点坐标可确定和，即可求解函数解析式，‎ ‎（2）根据题意写出解析式，由确定，再讨论的正负情况，列出最大值，求解参数.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意，相邻两条对称轴之间的距离为，则，，‎ 又一个最低点的坐标为，，‎ ‎，则，又，‎ 故函数解析式为.‎ 由，，得，，，‎ ‎∴函数的单调递增区间是.‎ ‎（2），‎ 由已知；.‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）利用函数性质求三角函数解析式（2）型函数值域问题，考查分类讨论思想，属于中等题型 ‎20．某银行推出一款短期理财产品，约定如下：‎ ‎（1）购买金额固定；‎ ‎（2）购买天数可自由选择，但最短3天，最长不超过10天；‎ ‎（3）购买天数与利息的关系，可选择下述三种方案中的一种：‎ 方案一：；方案二：；方案三：.‎ 请你根据以上材料，研究下面两个问题：‎ ‎（1）结合所学的数学知识和方法，用其它方式刻画上述三种方案的函数特征；‎ ‎（2）依据你的分析，给出一个最佳理财方案.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】（1）由题意，运用函数模型解决实际问题，由自变量是天数取正整数，用列表法或者图像法（散点图）刻画三种函数的函数特征.‎ ‎（2）根据题意，按照天数的不同取值范围，选出利息最高的方案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）方法一：列表，得出三种方案所有天数的利息，可以精确得出任意一天三种方案对应利息的大小关系，为选择最佳方案提供数据支持.‎ 方法二：列表，得出三种方案部分天数利息（或所有天数利息）；作出函数图象（散点图），并用虚线连接，对比三个函数图象可以更直观看到三种方案的利息随天数变化趋势的特征，以及三个图像相互间的位置关系，从而为选择最佳方案提供图像支持.‎ ‎（注：①列表得出部分天数利息，描点做函数图象时，至少要标出第3天、第4天、第8天对应的三个点，以及第4—8天和9—10天中的任意一天对应的点，即描出5个点；如果描点不全，酌情扣掉2-3分；②方案一和方案二之间比较，也可通过作差构造函数，依据函数零点和单调性等知识得出结论.）‎ 附：参考列表和图象：‎ ‎（2）‎ 当购买天数为3天时，选择方案一最佳；‎ 当购买天数为4天时，选择方案一或方案二或方案三最佳；‎ 当购买天数为5-7天时，选择方案二最佳：‎ 当购买天数为8天时，选择方案二或方案三最佳；‎ 当购买天数为9-10天时，选择方案三最佳；‎ ‎【点睛】‎ 本题属于开放性探究试题，重点考查利用函数模型解决实际问题的能力，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中等题型.‎ ‎21．已知定义在上的函数为奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）用定义证明函数的单调性，并解不等式；‎ ‎（3）设，当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析，不等式的解集为（3）‎ ‎【解析】（1）根据奇函数定义，由，即可求解；‎ ‎（2）根据函数单调性定义，设是上任意两个实数，且，比较的大小关系，即可证明函数单调性，再由 ‎，利用单调性解不等式.‎ ‎（3）由（1）中解析式，写出解析式，运用换元法，设，则恒成立，可转化成，恒成立，根据恒成立思想，转化不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由为定义域为的奇函数，‎ ‎，得；经检验适合题意 ‎（2）由（1）知，.‎ 设是上任意两个实数，且，则 由是定义在上的增函数，又，；‎ 由指数函数性质可知，，，；‎ 于是，即.‎ 所以，函数是定义在上的减函数.‎ ‎；‎ 是定义在上的减函数，∴上式等价于，即；‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（3）.‎ 设，则，恒成立，‎ 即，恒成立，‎ 整理得，，恒成立.‎ 设，，‎ 则，若满足题意需，即；‎ 所以，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）函数奇偶性（2）定义法证明单调性（3）不等式恒成立问题；考查转化与化归思想，考查计算能力，综合性较强，有一定难度.‎ ‎22．已知奇函数和偶函数满足.‎ ‎（1）求函数和函数的解析式；‎ ‎（2）设函数，若在内有且只有一个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】（1）根据函数奇偶性，令代入，可列关于的方程组，运用加减消元法可解方程组；‎ ‎（2）根据题意，写出解析式，讨论是否等于零，，运用零点存在性定理，判断在内有且只有一个零点，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知，①‎ 得：，‎ 又为奇函数，偶函数；‎ 即②‎ 由①②联立，解得：，.‎ ‎（2）‎ ‎①当时，，得，，不符合题意；‎ ‎②当时，由得：‎ 若满足题意，需，即，解得.‎ 综上，满足题意的实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查（1）函数奇偶性（2）零点存在性定理，考查函数与方程思想，考查分类讨论思想，属于中等题型.‎