专题75 参数方程-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 29页

‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 专题75参数方程 最新考纲 ‎1.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．‎ ‎2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ 抛物线 y2＝2px(p>0)‎ (t为参数)‎ 重点难点突破 ‎【题型一】参数方程与普通方程的互化 ‎【典型例题】‎ 已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）‎ ‎（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）C1：（x+4）2+（y﹣3）2＝1，C2：y2＝1‎ C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆 C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆 ‎（Ⅱ）当t时，P（﹣4，4），Q（cosθ，sinθ），故M（﹣2cosθ，2）‎ C3为直线x﹣y﹣5＝0，M到C3的距离 d|sin（θ）+9|，‎ 从而当sin（θ）＝﹣1时，d取得最小值4． ‎ ‎【再练一题】‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．‎ ‎（1）求曲线C1和C2的普通方程；‎ ‎（2）直线l的参数方程是（t为参数），直线l过定点P（0，1）且与曲线C2交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．‎ ‎【解答】（1）线C1的参数方程为（φ为参数），‎ 得到：x2+y2＝4．‎ 把曲线C1上的点的横坐标缩短到原来的倍数，纵坐标伸长到原来的2倍后得到曲线C2．‎ ‎（φ为参数）‎ 转换为直角坐标方程为：．‎ ‎（2）把 直线l的参数方程（t为参数），‎ 转换为标准的参数方程为：（t为参数）代入，‎ 得到：（t1和t2为A和B对应的参数），‎ 故：，‎ 故：． ‎ 思维升华 消去参数的方法一般有三种 ‎(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．‎ ‎(2)利用三角恒等式消去参数．‎ ‎(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．‎ 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．‎ ‎【题型二】参数方程的应用 ‎【典型例题】‎ 已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．‎ ‎（1）设直线l与曲线C1相交于A，B两点，求劣弧AB的弧长；‎ ‎（2）若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求点P到直线l的距离的最小值，及点P坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由l：，得；‎ 由曲线C1：，得x2+y2＝1；‎ 联立，解得或，则两交点为（1，0），（，）．‎ ‎∴|AB|，则劣弧AB的弧长为；‎ ‎（2）设P点坐标为（，），‎ 点P到直线l的距离d．‎ 当sin（）＝﹣1时，d取得最小值为，此时P（，）．‎ ‎【再练一题】‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C和直线l的普通方程，‎ ‎（2）直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|＝1，求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由曲线C和直线l的参数方程可知，曲线C的普通方程为x2+y2＝1．‎ 直线l的普通方程：当cosα＝0时为x＝2；当cosα≠0时为y＝tanα（x﹣2）．‎ ‎（2）把x＝2+tcosα，y＝tsinα代入x2+y2＝1，得t2+4tcosα+3＝0，‎ 因为△＝16cos2α﹣12＞0，所以cos2α．‎ 设A，B对应的参数为t1，t2，‎ 因为t1+t2＝﹣4cosα，t1t2＝3，|AB|＝|t1﹣t2|＝1，‎ 所以（t1﹣t2）2＝（t1+t2）2﹣4t1t2＝16cos2α﹣12＝1，‎ 所以cos2α，所以tan2α，‎ 所以tanα＝±，即直线l的斜率为±．‎ 所以直线l的方程为yx或yx． ‎ 思维升华 (1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决．‎ ‎(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎【题型三】极坐标方程和参数方程的综合应用 ‎【典型例题】‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．‎ ‎（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线θ＝β（0＜β）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取最大值时tanβ的值．‎ ‎【解答】解：（1）由（α是参数），得，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴曲线C1的极坐标方程为．‎ 由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入得：x2+y2＝4y，‎ 故曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．‎ ‎（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），‎ 将θ＝β （0＜β）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：，ρ2＝4sinβ，‎ 则|OA|+|OB|4sinβ（β+φ），其中φ为锐角，且满足sinφ，cosφ，‎ 当β+φ时，|OA|+|OB|取最大值，‎ 此时φ，tanβ＝tan（φ）． ‎ ‎【再练一题】‎ 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）已知射线与曲线C交于O，M两点，射线与直线l交于N点，若△OMN的面积为1，求α的值和弦长|OM|．‎ ‎【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），‎ 消去参数t得直角坐标方程为：．‎ 转换为极坐标方程为：，即．‎ 曲线C的参数方程是（φ为参数），‎ 转换为直角坐标方程为：，…………………………‎ 化为一般式得 化为极坐标方程为：． ………………………‎ ‎（2）由于，得，．‎ 所以，‎ 所以，‎ 由于，所以，‎ 所以．………………………… ‎ 思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．‎ 基础知识训练 ‎1．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的极坐标方程为。‎ ‎（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于，两点，若点的坐标为，求。‎ ‎【答案】（1）直线l的普通方程为；圆C的直角坐标方程为 ‎；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由直线的参数方程(为参数)得直线的普通方程为 由,得,即圆的直角坐标方程为。‎ ‎(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，‎ 即，‎ 由于>0,‎ 故可设，是上述方程的两个实根，‎ 所以 又直线过点P(3,)，‎ 故。‎ ‎2．在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，已知射线与,的公共点分别为,，且，求的面积．‎ ‎【答案】（1）直线： ；曲线的极坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）∵，∴直线的极坐标方程是，‎ 曲线的普通方程为，即.‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）将分别代入，得：，.‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，，.‎ 所以.‎ 即的面积为．‎ ‎3．已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为，直线与曲线相交于，两点，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）记线段的中点为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵曲线的参数方程为（为参数），‎ ‎∴所求方程为，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）联立和，得，‎ 设，，则，由，得.‎ ‎4．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ ）由（为参数），消去参数，可得．‎ ‎∵，∴，即．‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ ）把代入，得．‎ 设，两点对应的参数分别为，‎ 则，．‎ 不妨设，，‎ ‎∴．‎ ‎5．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线相交于两点、，求的值.‎ ‎【答案】(1) 直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程是. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）消去参数t得直线的普通方程为；‎ 因为，所以，由 所以曲线的直角坐标方程是.‎ ‎（2）点是直线上的点，设，两点所对应的参数分别为，‎ 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得 .‎ 方程判别式，可得，.‎ 于是.‎ ‎6．[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，‎ ‎），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）设是曲线上的一个动眯，当时，求点到直线的距离的最小值；‎ ‎（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得到 ‎，‎ 直线普通方程为：‎ 设，则点到直线的距离：‎ 当时，‎ 点到直线的距离的最小值为 ‎（2）设曲线上任意点，由于曲线上所有的点都在直线的右下方，‎ 对任意恒成立 ‎，其中，.‎ 从而 由于，解得：‎ 即：‎ ‎7．直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），曲线 ‎．‎ ‎（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求、的极坐标方程；‎ ‎（2）射线：与异于极点的交点为，与的交点为，求的大小．‎ ‎【答案】(1) 的极坐标方程为,的极坐标方程为 ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得，即，‎ 所以的极坐标方程为，即；‎ 由得的极坐标方程为：‎ ‎（2）联立得，‎ 联立得，‎ 所以.‎ ‎8．在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，且直线与的斜率之积为，求.‎ ‎【答案】（1）:，：；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）将，代入的方程中，所以直线的极坐标方程为.‎ 在曲线的参数方程中，消去，可得，将，代入的方程中，‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）直线与曲线的公共点的极坐标满足方程组 ‎，由方程组得，‎ ‎，两边同除，‎ 可化为，即，‎ 设，则，‎ 解得.‎ ‎9．在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线：（为参数）被圆截得的弦长为，求直线的倾斜角.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎（1）圆：，消去参数得：，‎ 即：，∵，，.‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎（2）∵直线：的极坐标方程为，‎ 当时.‎ 即：，∴或.‎ ‎∴或，‎ ‎∴直线的倾斜角为或.‎ ‎10．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 解：（1），‎ 其普通方程为，化为极坐标方程为 ‎（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为 ‎ 联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离， ‎ 故的面积.‎ ‎11．在直角坐标系中，，，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)动点P是曲线C在第一象限的点，当四边形的面积最大时，求点P的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）四边形的面积时，P点为.‎ ‎【解析】‎ ‎(1),整理得 ‎ ‎(2)由动点P是曲线C在第一象限的点，设点 设四边形的面积为S，‎ 则 ‎ 所以当时，S最大，此时P点 ‎12．已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）消去参数，可得曲线的普通方程为，‎ ‎.由 ‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则无交点.‎ 设直线的方程为，即.‎ 而，则圆心到直线的距离.‎ 又，所以，解得.‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎13．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出当时直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，直线与曲线相交于不同的两点，，求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）当时，由，消去参数可得：，‎ 即直线的普通方程为， ‎ 由得，得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）显然，点在直线上，‎ 联立得：，‎ 设，对应的参数为，，‎ 则 ，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴当时，取得最大值2.‎ ‎14．在平面直角坐标系中设倾斜角为的直线的参数方程为为参数）．在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点．‎ ‎（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若为与的等比中项，其中，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以直线的参数方程为（为参数）.‎ 消可得直线的普通方程为.‎ 因为曲线的极坐标方程可化为，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设直线上两点对应的参数分别为，，‎ 将代入曲线的直角坐标方程可得，‎ 化简得，‎ 因为，，‎ 所以，解得.‎ 因为 即，可知，解得，‎ 所以直线的斜率为.‎ ‎15．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是.‎ ‎（Ⅰ）写出圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线与有且仅有三个公共点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程是.‎ ‎（Ⅱ）因为曲线与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆心为（1，2），半径为，‎ 则，‎ 解得，‎ 所以.‎ 能力提升训练 ‎1．在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知射线与曲线交于两点，射线 与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．‎ ‎【答案】（1）,；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）直线的参数方程是为参数），‎ 消去参数得直角坐标方程为：．‎ 转换为极坐标方程为：，即．‎ 曲线的参数方程是（为参数），‎ 转换为直角坐标方程为：， ‎ 化为一般式得 化为极坐标方程为：．   ‎ ‎（2）由于，得，．‎ 所以，‎ 所以，‎ 由于，所以，‎ 所以．‎ ‎2．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以 为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知是曲线上任意两点，且，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）消去参数，得到曲线的标准方程为：， ‎ ‎ ‎ 故曲线的极坐标方程为。‎ ‎（2）极坐标系中，不妨设，其中.‎ 由（1）知： ‎ 面积，‎ 当时，即有最大值，此时.‎ 故面积的最大值为.‎ ‎3．在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),曲线的参数方为 (为参数),以为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线和曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)设,,为直线与曲线的两个交点,求的最大值.‎ ‎【答案】（1） ，（2）4‎ ‎【解析】‎ 解：（1）直线的极坐标方程为（）； ‎ 曲线的普通方程为， ‎ 因为，，，‎ 所以曲线的极坐标方程为. ‎ ‎（2）设，且，‎ 将代入曲线的极坐标方程，有 ‎， ‎ 因为，‎ ‎，‎ 根据极坐标的几何意义，分别表示点的极径，‎ 因此， ‎ 因为，所以，‎ 所以，当，即时，取最大值.‎ ‎4．选修4-4：坐标系与参数方程.‎ 以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线.‎ ‎（1）求与的极坐标方程；‎ ‎（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标力程为 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 解：（1）曲线的方程为，的极坐标方程为，‎ 的方程为，其极坐标力程为.‎ ‎（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为，，‎ 联立与的极坐标方程，得，即，‎ 联立与的极坐标方程，得，即，‎ 所以 ，‎ 又，所以.‎ ‎5．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线与恰有一个公共点.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)已知曲线上两点，满足，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)曲线的极坐标方程为，‎ 将代入上式可得直角坐标方程为，‎ 即，所以曲线为直线．‎ 又曲线是圆心为,半径为的圆，‎ 因为圆与直线恰有一个公共点，‎ 所以，‎ 所以圆的普通方程为，‎ 把代入上式可得的极坐标方程为，‎ 即.‎ ‎(Ⅱ)由题意可设，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以当时，的面积最大，且最大值为.‎ ‎6．在平面真角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求 的值．‎ ‎【答案】（1），（2）1‎ ‎【解析】‎ 解：（1）．由，（t为参数），消去参数t，得，即的普通方程为，由，得，即，‎ 将代入，得，即的直角坐标方程为．‎ ‎（2）．由（t为参数），得，则的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知，‎ 将，（t为参数）代入，得．‎ 由，且得，且．‎ 设M，N对应的参数分别为、，则，，‎ 所以．‎ ‎7．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）。在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是。‎ ‎（1）求直线及曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的最大值。‎ ‎【答案】(1) ;.(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）将代入得，‎ ‎∴直线的极坐标方程是，‎ ‎∵曲线的参数方程是（为参数），‎ ‎∴曲线的普通方程是，即，‎ ‎∴曲线的极坐标方程是；‎ ‎（2）将分别代入曲线和的极坐标方程，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴当，取最大值1，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎8．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的动点到曲线的最短距离．‎ ‎【答案】(1) 曲线:，曲线：．(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎（1） 曲线为即 ，‎ 由得曲线为．‎ ‎（2）设曲线上动点，‎ 则动点到曲线的距离为．‎ ‎∴动点到曲线的最短距离为 ‎9．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知是曲线上任意两点，且，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）消去参数，得到曲线的普通方程为： ‎ 故曲线的极坐标方程为： ‎ ‎（2）在极坐标系中，不妨设 ，，其中，‎ 由（1）知：，.‎ 面积 ‎ 当时，即 ， 有最大值 .此时 ‎ 故面积的最大值为 ‎10．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）若直线与，轴的交点分别为，，点在上，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若直线与交于，两点，点的直角坐标为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知：直线的普通方程为.‎ 的方程可化为，设点的坐标为，‎ ‎. ‎ ‎（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为：.‎ 直线的标准参数方程为（为参数），代入得：‎ 设两点对应的参数分别为 ‎ ,故异号 ‎.‎