2020年高中数学第二章参数方程一第一课时参数方程的概念优化练习新人教A版选修4-4 5页

一 第一课时 参数方程的概念 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知曲线的方程为(t为参数，t∈R)，则下列点中在曲线上的是(　　)‎ A．(1,1) B．(2,2)‎ C．(2,3) D．(1,2)‎ 解析：当t＝0时，x＝1，y＝1，即点(1,1)在曲线上．‎ 答案：A ‎2．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为(　　)‎ A．(2，－7) B．(，)‎ C．(，) D．(1,0)‎ 解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．‎ 答案：C ‎3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．‎ 由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：‎ ‎(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.‎ ‎∴.‎ 答案：A ‎4．已知圆(x－a)2＋y2＝a2(a>0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，那么圆的参数方程为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：如图，设圆心为O′，连接O′M，则∠MO′x＝2φ.‎ 所以圆的参数方程为(φ为参数)．‎ 答案：D 4‎ ‎5．参数方程(θ为参数)表示的曲线是(　　)‎ A．直线 B．线段 C．圆 D．半圆 解析：因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以普通方程为x2＋y2＝1.故选C.‎ 答案：C ‎6．已知曲线(θ为参数，0≤θ<2π)．下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．‎ 解析：将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上．‎ 答案：A(1,3)‎ ‎7．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的序号是________．‎ ‎①②③④ 解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确．‎ 答案：④‎ ‎8．曲线的参数方程为：(t为参数)，已知点(2，a)在曲线上，则a＝________.‎ 解析：∵2＝2t，t＝1，∴y＝3＋2＋2＝7，∴a＝7.‎ 答案：7‎ ‎9．已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程．‎ 解析：如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.‎ 则∠CBM＝120°－θ，‎ ‎∴ ‎(θ为参数，0≤θ≤)为所求．‎ ‎10．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝‎2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA交OA于D，PB∥OA，试求点P的轨迹的参数方程．‎ 解析：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，‎ 由PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2 θ＝2acos2 θ，‎ 4‎ y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.‎ 所以P点轨迹的参数方程为 θ∈.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：A显然错误，B中x∈[－1,1]与原题中x的范围不同，C可化为y－＝0，故选D.‎ 答案：D ‎2．若P(2，－1)为圆O′：(θ为参数，0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是(　　)‎ A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝0‎ C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0‎ 解析：∵圆心O′(1,0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.‎ ‎∴直线l的方程为x－y－3＝0.‎ 答案：A ‎3．设x＝2cos θ(θ为参数)，则椭圆＋y2＝1的参数方程为________．‎ 解析：将x＝2cos θ代入＋y2＝1得cos2 θ＋y2＝1，即y2＝sin2 θ.‎ ‎∴y＝±sin θ，不妨取y＝sin θ，则椭圆＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ 答案：(θ为参数)(注：答案不唯一，也可以是(θ为参数)‎ ‎4．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．‎ 解析：圆的方程为2＋y2＝2，则圆的半径r＝，‎ 如图连接AP，∠OPA＝90°，故|OP|＝|OA|cos θ＝cos θ，‎ 4‎ 设点P(x，y)，则x＝|OP|cos θ＝cos2 θ，‎ y＝|OP|sin θ＝cos θsin θ，‎ 故点P的参数方程为 答案： ‎5．在长为a的线段AB上有一个动点E，在AB的同侧以AE和EB为斜边，分别作等腰直角三角形AEC和EBD，点P是CD的定比分点，且|CP|∶|PD|＝2∶1，求点P的轨迹．‎ 解析：建立如图所示坐标系(设C，D在x轴上方)．‎ 设P(x，y)，E(t,0)(t为参数，t∈[0，a])，B(a,0)，则点C的坐标为，点D的坐标为.‎ ‎∵|CP|∶|PD|＝2∶1，即λ＝2.‎ 由定比分点公式，有 t∈[0，a]，‎ 这就是点P运动轨迹的参数方程．‎ ‎6．舰A在舰B的正东，距离‎6 km；舰C在舰B的北偏西30°，距离‎4 km.它们准备围捕海中动物，某时刻A发现动物信号，4 s后B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为‎1 km/s，炮弹初速度为 km/s，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．‎ 解析：以BA为x轴，BA的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)．设动物所在位置为P(x，y)．因为|BP|＝|CP|，所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝(x＋7)．‎ 又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是－＝1，从而得P(8,5)．‎ 设∠xAP＝α，则tan α＝kAP＝，∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′(如图)．‎ ‎|PA|＝10，设弹道曲线方程是 ‎(其中θ为仰角)．‎ 4‎ 将P(10,0)代入，消去t得sin 2θ＝，即θ＝30°或60°，这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.‎ 4‎