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- 2021-06-15 发布
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第一课时 直线与平面垂直的判定
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理;
(2)使学生掌握直线和平面所成的角求法;
(3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论.
2.过程与方法
(1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程;
(2)探究判定直线与平面垂直的方法.
3.情态、态度与价值观
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
(二)教学重点、难点
重点:(1)直线与平面垂直的定义和判定定理;
(2)直线和平面所成的角.
难点:直线与平面垂直判定定理的探究.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题:直线和平面平行的判定方法有几种?
师投影问题,学生回答.
生:可用定义可判断,也可依判定定理判断.
复习巩固
探索新知
一、直线和平面垂直的定义、画法
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直线l与平面互相垂直,记作l⊥.直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P叫做垂足.
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直,如图.
师:日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识,如旗杆与地面,桥柱与水面等,你能举出更多的例子来吗?
师:在阳光下观察,直立于地面的旗杆及它在地面的影子,它们的位置关系如何?
生:旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直.
师:那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何,依据是什么?(图)
生:垂直,依据是异面直线垂直的定义.
师:你能尝试给线面垂直下定义吗?
……
师:能否将任意直线改为无数条直线?学生找一反例说明.
培养学生的几何直观能力使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳概括结论.
探索新知
二、直线和平面垂直的判定
1.试验 如图,过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触).
(1)折痕AD与桌面垂直吗?
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直?
2.直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
思考:能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线?
师:下面请同学们准备一块三角形的小纸片,我们一起来做一个实验,(投影问题).
学生动手实验,然后回答问题.
生:当且仅当折痕AD是BC边上的高时,AD所在直线与桌面所在平面垂直.
师:此时AD垂直上的一条直线还是两条直线?
生:AD垂直于桌面两条直线,而且这两条直线相交.
师:怎么证明?
生:折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD
……
师:直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
培养学生的几何直观能力使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳概括结论.
典例剖析
例1 如图,已知a∥b,a⊥,求证:b⊥.
证明:在平面内作两条相交直线m、n.
因为直线a⊥,根据直线与平面垂直的定义知
a⊥m,a⊥n.
又因为b∥a,
所以b⊥m,b⊥n.
又因为,m、n是两条相交直线,
b⊥.
师:要证b⊥,需证b与内任意一条直线的垂直,又a∥b,问题转化为a与面内任意直线m垂直,这个结论显然成立.
学生依图及分析写出证明过程.
……
师:此结论可以直接利用,判定直线和平面垂直.
巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.
探索新知
二、直线和平面所成的角
如图,一条直线PA和一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线
教师借助多媒体直接讲授,注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.
借助多媒体讲授,提高上课效率.
PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.
典例剖析
例2 如图,在正方体ABCD – A1B1C1D1中,求A1B和平面A1B1CD所成的角.
分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解:连结BC1交B1C于点O,连结A1O.
设正方体的棱长为a,因为A1B1⊥B1C1, A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C,所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中,
,,
所以,
∠BA1O = 30°
因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
师:此题A1是斜足,要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角,关键在于过B点作出(找到,面A1B1CD的垂线,作出(找到)了面A1B1CD的垂线,直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了,怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢?
生:连结BC1即可.
师:能证明吗?
学生分析,教师板书,共同完成求解过程.
点拔关键点,突破难点,示范书写及解题步骤.
随堂练习
1.如图,在三棱锥V–ABC中,VA = VC,AB = BC,求证:VB⊥AC.
学生独立完成
答案:
1.略
巩固所学知识
2.过△ABC所在平面外一点P,作PO⊥,垂足为O,连接PA ,PB,PC.
(1)若PA= PB = PC,∠C =90°,则点O是AB边的 心.
(2)若PA = PB =PC,则点O是△ABC的 心.
(3)若P A⊥PB,PB⊥PC,PB⊥P A,则点O是△ABC的 . 心.
3.两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线一定平行吗?
4.如图,直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD满足什么条件时,A′C⊥B′D′?
2.(1)AB边的中点;(2)点O是△ABC的外心;(3)点O是△ABC的垂心.
3.不一定平行.
4.AC⊥BD.
归纳总结
1.直线和平面垂直的定义判定
2.直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.
3.线线垂直线面垂直
学生归纳总结教师补充
巩固学习成果,使学生逐步养成爱总结,会总结的习惯和能力.
课后作业
2.7 第一课时 习案
学生独立完成
强化知识
提升能力
备选例题
例1 如图,在空间四边形ABCD中,AB = AD,CB = CD,M为BD中点,作AO⊥MC,交MC于O.求证:AO⊥平面BCD.
【解析】连结AM
∵AB = AD,CB = CD,M为BD中点.
∴BD⊥AM,BD⊥CM.
又AM∩CM = M,∴BD⊥平面ACM.
≠
≠
∵AO 平面ACM,∴BD⊥AO.
又MC⊥AO,BD∩MC = M,∴AO⊥平面貌BCD.
【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD,先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面.这一方法具有典型性,即为了证明线与面的垂直,需要转化为线与线的垂直;为了解决线与线的垂直,又需转化为另一个线与面的垂直,再化为新的线线垂直.这样互相转化,螺旋式往复,最终使问题得到解决.
例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
【解析】取CD的中点F,连接EF交平面ABC1D1于O,连AO.
由已知正方体,易知EO⊥ABC1D1,所以∠EAO为所求.
在Rt △EOA中,
,
,
sin∠EAO = .
所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.
【评析】求直线和平面所成角的步骤:
(1)作——作出斜线和平面所成的角;
(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角;
(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形)
(4)答.
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