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  • 2021-06-15 发布

高中数学必修2教案:2_3_1直线与平面垂直的判定 (4)

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第一课时 直线与平面垂直的判定 ‎(一)教学目标 ‎1.知识与技能 ‎(1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理;‎ ‎(2)使学生掌握直线和平面所成的角求法;‎ ‎(3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论.‎ ‎2.过程与方法 ‎(1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程;‎ ‎(2)探究判定直线与平面垂直的方法.‎ ‎3.情态、态度与价值观 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.‎ ‎(二)教学重点、难点 重点:(1)直线与平面垂直的定义和判定定理;‎ ‎ (2)直线和平面所成的角.‎ 难点:直线与平面垂直判定定理的探究.‎ 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课导入 问题:直线和平面平行的判定方法有几种?‎ 师投影问题,学生回答.‎ 生:可用定义可判断,也可依判定定理判断.‎ 复习巩固 探索新知 一、直线和平面垂直的定义、画法 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直线l与平面互相垂直,记作l⊥.直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P叫做垂足.‎ 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直,如图. ‎ 师:日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识,如旗杆与地面,桥柱与水面等,你能举出更多的例子来吗?‎ 师:在阳光下观察,直立于地面的旗杆及它在地面的影子,它们的位置关系如何?‎ 生:旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直.‎ 师:那么旗杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何,依据是什么?(图)‎ 生:垂直,依据是异面直线垂直的定义.‎ 师:你能尝试给线面垂直下定义吗?‎ ‎……‎ 师:能否将任意直线改为无数条直线?学生找一反例说明.‎ 培养学生的几何直观能力使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳概括结论.‎ 探索新知 二、直线和平面垂直的判定 ‎1.试验 如图,过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触).‎ ‎(1)折痕AD与桌面垂直吗?‎ ‎(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直?‎ ‎2.直线与平面垂直的判定定理:‎ 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.‎ 思考:能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线?‎ 师:下面请同学们准备一块三角形的小纸片,我们一起来做一个实验,(投影问题).‎ 学生动手实验,然后回答问题.‎ 生:当且仅当折痕AD是BC边上的高时,AD所在直线与桌面所在平面垂直.‎ 师:此时AD垂直上的一条直线还是两条直线?‎ 生:AD垂直于桌面两条直线,而且这两条直线相交.‎ 师:怎么证明?‎ 生:折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD ‎……‎ 师:直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.‎ 培养学生的几何直观能力使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳概括结论.‎ 典例剖析 例1 如图,已知a∥b,a⊥,求证:b⊥.‎ 证明:在平面内作两条相交直线m、n.‎ 因为直线a⊥,根据直线与平面垂直的定义知 a⊥m,a⊥n.‎ 又因为b∥a,‎ 所以b⊥m,b⊥n.‎ 又因为,m、n是两条相交直线,‎ b⊥.‎ 师:要证b⊥,需证b与内任意一条直线的垂直,又a∥b,问题转化为a与面内任意直线m垂直,这个结论显然成立.‎ 学生依图及分析写出证明过程.‎ ‎……‎ 师:此结论可以直接利用,判定直线和平面垂直.‎ 巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.‎ 探索新知 二、直线和平面所成的角 如图,一条直线PA和一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 教师借助多媒体直接讲授,注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.‎ 借助多媒体讲授,提高上课效率.‎ PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.‎ 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.‎ 典例剖析 例2 如图,在正方体ABCD – A1B‎1C1D1中,求A1B和平面A1B1CD所成的角.‎ 分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.‎ 解:连结BC1交B‎1C于点O,连结A1O.‎ 设正方体的棱长为a,因为A1B1⊥B‎1C1, A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1.‎ 所以A1B1⊥BC1.‎ 又因为BC1⊥B‎1C,所以B‎1C⊥平面A1B1CD.‎ 所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.‎ 在Rt△A1BO中,‎ ‎,,‎ 所以,‎ ‎∠BA1O = 30°‎ ‎ 因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.‎ 师:此题A1是斜足,要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角,关键在于过B点作出(找到,面A1B1CD的垂线,作出(找到)了面A1B1CD的垂线,直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了,怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢?‎ 生:连结BC1即可.‎ 师:能证明吗?‎ 学生分析,教师板书,共同完成求解过程.‎ 点拔关键点,突破难点,示范书写及解题步骤.‎ 随堂练习 ‎1.如图,在三棱锥V–ABC中,VA = VC,AB = BC,求证:VB⊥AC.‎ 学生独立完成 答案:‎ ‎1.略 巩固所学知识 ‎2.过△ABC所在平面外一点P,作PO⊥,垂足为O,连接PA ,PB,PC.‎ ‎(1)若PA= PB = PC,∠C =90°,则点O是AB边的 心.‎ ‎(2)若PA = PB =PC,则点O是△ABC的 心.‎ ‎(3)若P A⊥PB,PB⊥PC,PB⊥P A,则点O是△ABC的 . 心.‎ ‎3.两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线一定平行吗?‎ ‎4.如图,直四棱柱A′B′C′D′ – ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD满足什么条件时,A′C⊥B′D′?‎ ‎2.(1)AB边的中点;(2)点O是△ABC的外心;(3)点O是△ABC的垂心.‎ ‎3.不一定平行.‎ ‎4.AC⊥BD.‎ 归纳总结 ‎1.直线和平面垂直的定义判定 ‎2.直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.‎ ‎3.线线垂直线面垂直 学生归纳总结教师补充 巩固学习成果,使学生逐步养成爱总结,会总结的习惯和能力.‎ 课后作业 ‎2.7 第一课时 习案 学生独立完成 强化知识 提升能力 备选例题 例1 如图,在空间四边形ABCD中,AB = AD,CB = CD,M为BD中点,作AO⊥MC,交MC于O.求证:AO⊥平面BCD.‎ ‎【解析】连结AM ‎∵AB = AD,CB = CD,M为BD中点.‎ ‎∴BD⊥AM,BD⊥CM.‎ 又AM∩CM = M,∴BD⊥平面ACM.‎ ‎≠‎ ‎≠‎ ‎∵AO 平面ACM,∴BD⊥AO.‎ 又MC⊥AO,BD∩MC = M,∴AO⊥平面貌BCD.‎ ‎【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD,先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面.这一方法具有典型性,即为了证明线与面的垂直,需要转化为线与线的垂直;为了解决线与线的垂直,又需转化为另一个线与面的垂直,再化为新的线线垂直.这样互相转化,螺旋式往复,最终使问题得到解决.‎ 例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A1B‎1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.‎ ‎【解析】取CD的中点F,连接EF交平面ABC1D1于O,连AO.‎ 由已知正方体,易知EO⊥ABC1D1,所以∠EAO为所求.‎ 在Rt △EOA中,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ sin∠EAO = .‎ 所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.‎ ‎【评析】求直线和平面所成角的步骤:‎ ‎(1)作——作出斜线和平面所成的角;‎ ‎(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角;‎ ‎(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形)‎ ‎(4)答.‎