河北省邯郸市大名县第一中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 16页

数学试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据一元一次不等式的解法，求出集合A，再根据交集的定义求出A∩B．‎ 详解：∵集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，‎ B={1，2，3}，‎ ‎∴A∩B={1}，‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查交集运算及一元一次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎2.设集合，则满足条件的集合的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出符合条件的集合，即可得出正确选项.‎ ‎【详解】因为集合，则满足条件时，集合中的个数至少有、，‎ 则符合条件的集合有：、、、，‎ 因此，满足题意的集合的个数为，选D.‎ ‎【点睛】本题考查符合条件的集合个数，一般将符合条件的集合列举出来即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎3.下列函数中，在上为增函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项逐一分析函数单调性，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数在上递减.对于B选项，函数在和上递减.对于C选项，函数在上递减，在上递增.对于D选项，函数在上递减，在上递增，故也在上递增，符合题意.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查基本初等函数的单调性，属于基础题.‎ ‎4.若奇函数在上是增函数，且最小值是，则它在上是（ ）‎ A. 增函数且最小值是 B. 增函数且最大值是 C. 减函数且最大值是 D. 减函数且最小值是 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性不变以及奇函数的定义可得出正确选项.‎ ‎【详解】奇函数在上是增函数，所以在上是增函数函数在上是有最大值，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的定义以及奇函数在关于原点对称的区间上单调性的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎5.已知集合，集合，则P与Q的关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数定义域求得集合，求函数值域求得集合，由此得出两个集合的关系.‎ ‎【详解】对于集合，由解得.对于集合，.故集合包含集合，所以本小题选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合与集合关系，考查函数定义域和值域的求法，考查集合的研究对象，属于基础题.‎ ‎6.设 ，若是函数F(x)的单调递增区间，则一定是单调递减区间的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的定义得到函数为奇函数，根据奇函数在对称区间上的单调性相反得到结果.‎ ‎【详解】设，F(-x)==-F(x)故函数为偶函数，根据偶函数在对称区间上的单调性相反得到，函数单调递减区间为.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性的应用，奇函数关于原点中心对称，在对称点处分别取得最大值和最小值；偶函数关于y轴对称，在对称点处的函数值相等，中经常利用函数的这些性质，求得最值.‎ ‎7.已知函数的图象的对称轴为直线，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数开口方向和对称轴，画出二次函数的大致图像，根据图像选出正确选项.‎ ‎【详解】由于函数开口向上，且对称轴为，由此画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎8.如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．‎ ‎【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x；‎ 当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得 所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝ |x－1|(0≤x≤2)‎ 故答案为B ‎【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．‎ ‎9.已知，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎10.函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于函数是上的偶函数，所以其图象关于轴对称,然后利用单调性及得 ,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】函数是上的偶函数，‎ 的图象关于轴对称，‎ 又在上是增函数，‎ 所以可得在上是减函数，‎ 等价于 或，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.‎ ‎11.已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则 A. 0 B. m C. ‎2m D. ‎‎4m ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.‎ ‎【考点】 函数图像的对称性 ‎【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.已知 ,则的最值是(　　)‎ A. 最大值为3，最小值－1‎ B. 最大值为，无最小值 C. 最大值为3，无最小值 D. 既无最大值，又无最小值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式画出各自图象，其实表示是较小的值.‎ ‎【详解】‎ 如图，在同一坐标系中画出图象，又表示两者较小值，所以很清楚发现在A处取得最大值，所以选B.‎ ‎【点睛】取两函数较大值（较小值）构成的新函数问题，有效的手段就是构建图象，数形结合.‎ 二、填空题（把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13.函数的值域为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.‎ ‎【详解】设，则，‎ 所以原函数可化为：，‎ 由二次函数性质，当时，函数取最大值4，由性质可知函数无最小值，‎ 所以值域为：.‎ ‎【点睛】本题考查换元法求函数值域，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出参数的取值范围.‎ ‎14.有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了有3人，则这两 种都没买的有 人.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).‎ 考点：元素与集合的关系.‎ ‎15.若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意得.‎ 考点：抽象函数定义域．‎ ‎16.规定记号“”表示一种运算，即，a，，若，则函数的值域是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的值，然后求得表达式，进而求得的值域.‎ ‎【详解】依题意，解得.所以，由于的定义域为，且在定义域上单调递增，所以函数的值域为.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数，考查函数的单调性和值域的求法，考查一元二次方程的解法，属于中档题.‎ 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知全集，集合，．‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）定义，求，．‎ ‎【答案】（1），；（2）或，（3），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴根据集合的交集，并集运算法则代入计算即可 ‎⑵根据集合的补集运算法则计算即可 ‎⑶根据新定义即可求得答案 ‎【详解】⑴，‎ ‎，‎ ‎⑵或 ‎⑶定义且 ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，补集的混合运算，属于基础题 ‎18.已知函数f（x）=‎ ‎（1）判断函数在区间[1,+∞）上的单调性,并用定义证明你的结论．‎ ‎（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）最大值f(4)＝，最小值f(1)＝.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）用定义法证明单调性的步骤：定义域上任取，计算的正负，若则函数为增函数，若 则函数为减函数；（2）由（1）中函数单调性确定函数在区间[1,4]上的单调性，从而确定函数的最大值和最小值 试题解析：（1）函数f（x）在[1,+∞）上是增函数．‎ 任取x1,x2∈[1,+∞）,且x10,‎ 所以f（x1）-f（x2）<0即f（x1）0时，f(x)>1，且对任意的x，y，有，f(1)＝2,且.‎ ‎（1）求f(0)的值；‎ ‎（2）求证：对任意x，都有f(x)>0；‎ ‎（3）解不等式f(32x)>4．‎ ‎【答案】(1) f(0)＝1．(2)证明见解析；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用赋值法，先令以及令，由此解得的值.（2）首先利用 结合已知条件证得，再利用反证法，证得，由此证得成立.（3）利用赋值法，将转化为，通过证明函数为上的增函数，由求得不等式的解集.‎ ‎【详解】（1）对任意，．‎ 令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)1]＝0．‎ 令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x成立，‎ 所以f(0)≠0，因此f(0)＝1．‎ ‎（2）证明：对任意x，有．‎ 假设存在x0，使f(x0)＝0，‎ 则对任意x>0，有f(x)＝f[(xx0)＋x0]＝f(xx0)·f(x0)＝0．‎ 这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．所以，对任意x，均有f(x)>0成立．‎ ‎（3）令x＝y＝1有f(11)＝f(1)·f(1)，‎ 所以f(2)＝2×2＝4．任取x1，x2，且x10，由已知f(x2x1)>1，∴f(x2x1)1>0．‎ 由（2）知x1，f(x1)>0．所以f(x2)f(x1)>0，即f(x1)4，得f(32x)>f(2)，即32x>2．解得x<．‎ 所以，不等式的解集是 ．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据抽象函数表达式求函数值、证明函数的单调性和求函数值的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎