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  • 2021-06-15 发布

江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一下学期月考数学试题

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南昌二中2019—2020学年度下学期第二次月考 高一考数学试卷 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.一元二次不等式的解集为( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.设等差数列的前项为,若,则( )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎3.已知非零向量,的夹角为,且,,则( )‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎4.在△ABC中,若,则=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知等比数列,满足,且,则数列的公比为( )‎ A.4 B.2 C. D.‎ ‎6.若不等式对于一切成立,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在中,角,,所对的边分别为,,,若是和的等比中项,则( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎8.若点是的重心,分别是,,的对边,且.则等于( )‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎9.数列满足,则数列的前20项的和为( )‎ A.100 B.-100 C.-110 D.110‎ ‎10.在锐角中,若,则的范围( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,点是半径为1的扇形圆弧上一点,,,若,则的最大值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若正实数、满足,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知向量且则实数_______.‎ ‎14.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,则货轮的速度为______海里/时.‎ ‎15.已知,,为直线上的不同三点,为外一点,存在实数,使得成立,则的最小值为__________.‎ ‎16.我们把一系列向量按次序排成一列,称之为向量列,记作,已知向量列满足,设表示向量与的夹角,若,对任意正整数,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知,为单位向量,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求与的夹角的余弦值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列,等比数列满足.‎ ‎(1)求,的通项公式;‎ ‎(2)求的前项和.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 在中,角所对的边分别为,的面积为,若.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,,求的值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图,在△ABC中,∠ACB=,AC=3, BC=2,P是△ABC内的一点.‎ ‎(1)若△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形,求PA长;‎ ‎(2)若∠BPC=,求△PBC面积的最大值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知正项数列的前n项和满足 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若(n∈N*),求数列的前n项和;‎ ‎(3)是否存在实数使得对恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 在中,满足:,M是的中点.‎ ‎(1)若O是线段上任意一点,且,求的最小值:‎ ‎(2)若点P是内一点,且,,,‎ 求的最小值.‎ 高一第二次月考数学参考答案 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ADAC BCAD BABB 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.1 14. 15.16 16. ‎ 三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.【解析】‎ ‎(1)由题意得.‎ ‎(2)由题意得与的夹角的余弦值为.‎ ‎18.【解析】‎ ‎(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,‎ 因为,‎ 所以,即,‎ 所以;‎ ‎(2)记前项和为 ‎.‎ 所以 ‎19.【解析】‎ ‎(Ⅰ)因为,所以 化简得:,又,.‎ ‎(Ⅱ),,,①‎ 又,,即②‎ 联立①②可得,又,.‎ ‎20.【解析】‎ ‎(1)由题设,∠PCA=,PC=,在△PAC中,由余弦定理得 PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos=5,于是PA=.‎ ‎(2)解法一:‎ ‎∠BPC=,设∠PCB=θ,则θ∈(0,).‎ 在△PBC中,∠PBC=-θ.由正弦定理得==,‎ 得PB=sinθ,PC=sin(-θ).‎ 所以△PBC面积S=PB·PCsin=sin (-θ)sinθ=sin(2θ+)-.‎ 当θ=∈(0,)时,△PBC面积的最大值为.‎ 解法二:‎ 在中,设,,‎ 由余弦定理有:,‎ 即(当且仅当时等号成立),‎ 所以,‎ 从而(当且仅当时等号成立)‎ ‎21.【解析】‎ ‎(1)当n=1时,a1=2或-1(舍去).‎ 当n≥2时,,‎ 整理可得:(an+an-1)(an-an-1-1)=0,可得an-an-1=1,‎ ‎∴{an}是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列.∴.‎ ‎(2)由(1)得an=n+1,∴.‎ ‎∴.‎ ‎(3)假设存在实数λ,使得对一切正整数恒成立,‎ 即对一切正整数恒成立,只需满足即可,‎ 令,则 当 故f(1)=1,f(2)=,f(3)=,>f(5)>f(6)>…‎ 当n=3时有最小值,所以.‎ ‎22.【解析】‎ ‎(1),,‎ 设,则,而,‎ ‎,‎ 当且仅当时,的最小值是.‎ ‎(2)设,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ 同理:,‎ ‎ ‎ 当且仅当时, 所以.‎