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- 2021-06-15 发布
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南昌二中2019—2020学年度下学期第二次月考
高一考数学试卷
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.一元二次不等式的解集为( ).
A. B.
C. D.
2.设等差数列的前项为,若,则( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.已知非零向量,的夹角为,且,,则( )
A. B.1 C. D.2
4.在△ABC中,若,则=( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列,满足,且,则数列的公比为( )
A.4 B.2 C. D.
6.若不等式对于一切成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在中,角,,所对的边分别为,,,若是和的等比中项,则( )
A.1 B. C. D.
8.若点是的重心,分别是,,的对边,且.则等于( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
9.数列满足,则数列的前20项的和为( )
A.100 B.-100 C.-110 D.110
10.在锐角中,若,则的范围( )
A. B. C. D.
11.如图,点是半径为1的扇形圆弧上一点,,,若,则的最大值是( )
A. B. C. D.
12.若正实数、满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知向量且则实数_______.
14.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,则货轮的速度为______海里/时.
15.已知,,为直线上的不同三点,为外一点,存在实数,使得成立,则的最小值为__________.
16.我们把一系列向量按次序排成一列,称之为向量列,记作,已知向量列满足,设表示向量与的夹角,若,对任意正整数,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知,为单位向量,.
(1)求;
(2)求与的夹角的余弦值.
18.(本小题满分12分)
已知等差数列,等比数列满足.
(1)求,的通项公式;
(2)求的前项和.
19.(本小题满分12分)
在中,角所对的边分别为,的面积为,若.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的值.
20.(本小题满分12分)
如图,在△ABC中,∠ACB=,AC=3, BC=2,P是△ABC内的一点.
(1)若△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形,求PA长;
(2)若∠BPC=,求△PBC面积的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知正项数列的前n项和满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若(n∈N*),求数列的前n项和;
(3)是否存在实数使得对恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在说明理由.
22.(本小题满分12分)
在中,满足:,M是的中点.
(1)若O是线段上任意一点,且,求的最小值:
(2)若点P是内一点,且,,,
求的最小值.
高一第二次月考数学参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
ADAC BCAD BABB
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.1 14. 15.16 16.
三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.【解析】
(1)由题意得.
(2)由题意得与的夹角的余弦值为.
18.【解析】
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
因为,
所以,即,
所以;
(2)记前项和为
.
所以
19.【解析】
(Ⅰ)因为,所以
化简得:,又,.
(Ⅱ),,,①
又,,即②
联立①②可得,又,.
20.【解析】
(1)由题设,∠PCA=,PC=,在△PAC中,由余弦定理得
PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos=5,于是PA=.
(2)解法一:
∠BPC=,设∠PCB=θ,则θ∈(0,).
在△PBC中,∠PBC=-θ.由正弦定理得==,
得PB=sinθ,PC=sin(-θ).
所以△PBC面积S=PB·PCsin=sin (-θ)sinθ=sin(2θ+)-.
当θ=∈(0,)时,△PBC面积的最大值为.
解法二:
在中,设,,
由余弦定理有:,
即(当且仅当时等号成立),
所以,
从而(当且仅当时等号成立)
21.【解析】
(1)当n=1时,a1=2或-1(舍去).
当n≥2时,,
整理可得:(an+an-1)(an-an-1-1)=0,可得an-an-1=1,
∴{an}是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列.∴.
(2)由(1)得an=n+1,∴.
∴.
(3)假设存在实数λ,使得对一切正整数恒成立,
即对一切正整数恒成立,只需满足即可,
令,则
当
故f(1)=1,f(2)=,f(3)=,>f(5)>f(6)>…
当n=3时有最小值,所以.
22.【解析】
(1),,
设,则,而,
,
当且仅当时,的最小值是.
(2)设,
,,,
,
同理:,
当且仅当时, 所以.