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- 2021-06-15 发布
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天津市滨海新区塘沽滨海中学2019_2020学年高一下学期
期中考试数学试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上)
1.甲、乙两个元件构成一串联电路,设=“甲元件故障”,=“乙元件故障”,则表示电路故障的事件为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知,甲、乙两个元件构成一串联电路,=“甲元件故障”,=“乙元件故障”,
根据串联电路可知,甲元件故障或者乙元件故障,都会造成电路故障,
所以电路故障的事件为:.
故选:A.
2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩:
78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,
则这15人成绩的第80百分位是( )
A. 90 B. 90.5 C. 91 D. 91.5
【答案】B
【解析】把成绩按从小到大的顺序排列为:
56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,
因为15×80%=12,所以这15人成绩的第80百分位是.
故选:B.
3.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示,由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是( )
A. 73.3,75 B. 73.3,80
C. 70,70 D. 70, 75
【答案】A
【解析】频率分布直方图是按照一定的规律排列的,一般是按照由小到大或由大到小,
就把组数想成一组数字,如果它是偶数就取它相邻的那组数据的平均数,得数就是横坐标;
如果组数是奇数,就取这些组数的中间的那组的数据,那组数就是横坐标;
小于70的有24人,大于80的有18人,则在,之间18人,所以中位数为;
众数就是分布图里最高的那条,即,的中点横坐标75.
故选:A.
4.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为______.
【答案】16
【解析】因为样本数据的标准差为,,即,数据的方差为,则对应的标准差为,故答案为.
5.已知平面直角坐标系中是原点,向量,对应的复数分别为,,那么向量对应的复数是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】向量,对应的复数分别为,,
根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量,.
由向量减法的坐标运算可得向量,
根据复向量、复数与复平面内的点一一对应,
可得向量对应的复数是,故选B.
6.已知复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∴,∴z=,故选C.
7.若(是虚数单位),则的值分别等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知,,
即,所以,
即的值分别等于.
故选:B.
8.下面给出的关系式中,正确的个数是( )
(1)0·=0 (2) ·=· (3)
(4) (5)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】(1)因为数与向量相乘为向量,所以0·=0错误 (2)向量的数量积运算满足交换律, 所以·=· 正确(3)根据数量积的定义知,所以,正确(4)根据数量积的定义知,数量积为一实数,所以 为,而
为,所以 错误 (5)因为,,所以错误.故选C.
9.已知,,,若,则等于( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题知:,,,
因为,
所以,故,
故选:A.
10.若内角,,所对的边分别为,,,∠,,则一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】由题可知,∠,,
则在中,,
根据余弦定理得:,
则,即,
即:,所以,则,
所以一定是等边三角形.
故选:D.
11.已知向量,不共线,且向量与的方向相反,则实数的值为( )
A. 1 B.
C. 1或 D. -1或
【答案】B
【解析】由题可知,,不共线,且向量与的方向相反,
则,即,
则,即,
解得:或(舍去).即实数的值为.故选:B.
12.如图,在平面四边形ABCD中,
若点E为边CD上的动点,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得为等腰三角形,为等边三角形,把数量积分拆,设,数量积转化为关于t函数,用函数可求得最小值。
详解:连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形,。设
=
所以当时,上式取最小值 ,选A.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.请将答案填写在答题纸上.)
13.复数的共轭复数是 .
【答案】
【解析】∵,∴复数的共轭复数是
14.若一个球的表面积与其体积在数值上相等,则此球的半径为________.
【答案】3
【解析】由于球的表面积与其体积在数值上相等,
设球的半径为,则,解得:,
即此球的半径为3.故答案为:3.
15.水平放置的斜二测直观图如图所示,已知,,则边上的中线的长度为______.
【答案】
【解析】在直观图中,,,所以在中,,,为直角,,因此,边上的中线的长度为.
故答案为:.
16.若向量,则与同向的单位向量的坐标是___________.
【答案】(0.6,-0.8)
【解析】因为,则,
则与同向的单位向量的坐标是
故答案为:(0.6,-0.8)
17.已知向量,,且,则的坐标是___________.
【答案】或
【解析】由题可知,,可设,则,
由于,且,则,即:,
即:,解得:或,
所以的坐标是:或.
故答案为:或.
18.已知,,且,则向量在向量上的投影向量的长度等于___________.
【答案】4
【解析】由于,且,设和的夹角为,
则向量在向量上的投影为:,
向量在向量上的投影向量的长度为:4.
故答案为:4.
19.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员,,进行围棋比赛,甲对,乙对,丙对各一盘.已知甲胜、乙胜、丙胜的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立,则红队至少两名队员获胜的概率是____________.
【答案】0.55
【解析】由题可知,各盘比赛结果相互独立,则红队至少两名队员获胜的情况有:
①甲和乙胜,丙败;②甲和丙胜,乙败;③乙和丙胜,甲败;④甲、乙、丙都胜;
而甲胜、乙胜、丙胜的概率分别为0.6,0.5,0.5,
则①甲和乙胜,丙败的概率为:,
②甲和丙胜,乙败的概率为:,
③乙和丙胜,甲败的概率为:,
④甲、乙、丙都胜的概率为:,
则红队至少两名队员获胜的概率为:.
故答案为:0.55.
20.是钝角三角形,内角,,所对的边分别为,,,,,则最大边的取值范围是____________.
【答案】
【解析】因为是钝角三角形,且最大的边为,所以角为钝角,
所以,解得,
又因为所以,故答案为:
三、解答题(本大题共4小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
21.已知,其中,求:
(1);;
(2)与的夹角的余弦值.
解:(1),
.
∴|.
(2)
22.从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;
(2)用分层抽样方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?
(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,写出所有可能的结果,并求重量在和中各有1个的概率.
解:(1)苹果的重量在的频率为
(2)重量在的有(个)
(3)设这4个苹果中重量在的有1个,记为1,重量在的有3个,分别记为2,3,4,从中任取两个,可能的情况有:
(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种,设任取2 个,重量在和中各有1个的事件为A,则事件A包含有(1,2),(1,3),(1,4)共3种,
所以
23.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求的面积.
解:(1)根据平面向量,列出方程,在利用正弦定理求出的值,即可求解角的大小;(2)由余弦定理,结合基本不等式求出的最大值,即得的面积的最大值.
试题解析:(1)因为向量与平行,
所以,
由正弦定理得,
又,从而tanA=,由于00,所以c=3.
故△ABC的面积为bcsinA=.
24.设是虚数,是实数,且.
(1)求的值以及的实部的取值范围;
(2)若,求证为纯虚数;
(3)在(2)的条件下,求的最小值.
解:(1)由是虚数,设,则
,
因为为实数,所以且,所以
所以,此时,因为,所以,得
(2)因为,且,
所以,
因为,,所以为纯虚数
(3),
由,得,
故当且仅当,即时,有最小值1