高考数学考点一遍过专题41用样本估计总体文 29页

考点 41 用样本估计总体 （1）了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自 的特点. （2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. （3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释. （4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本 估计总体的思想. （5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 一、数字特征 1．众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的 一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相 等的分界线与 x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和 2．极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差： 2 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        . 标准差： 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        . 注：平均数反映了数据取值的平均水平，方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大， 数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 3．性质 （1）若 1 2, , , nx x x 的平均数为 x ，那么 1 2, , , nmx a mx a mx a   的平均数为 mx a . （2）数据 1 2, , , nx x x 与数据 1 1 2 2 n nx x a x x a x x a       , , , 的方差相等，即数据经过平移后 方差不变． （3）若 1 2, , , nx x x 的方差为 s2，那么 1 2 , , nax b ax b ax b  , 的方差为 2 2a s . 二、茎叶图 1．定义 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． 2．表示方法 （1）对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数 字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数据为小数时做类似处理． （2）对于样本数据较少，且分布较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎． 三、统计表 1．频率分布直方图 （1）画频率分布直方图的步骤 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). （2）频率分布直方图的性质 ①落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于 1. ②频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 a.最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； b.中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； c.平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底 边中点的横坐标之和． 2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越 接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 3．各种统计表的优点与不足 优点 不足 频率分布 表 表示数据较确切 分析数据分布的总体态势不方便 频率分布 直方图 表示数据分布情况非常直观 原有的具体数据信息被抹掉了 频率分布 折线图 能反映数据的变化趋势 不能显示原有数据 茎叶图 一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的 分布情况 样本数据较多或数据位数较多时， 不方便表示数据 考向一 数字特征的应用 明确数字特征的意义： 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义， 平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小. 典例 1 某学习小组在一次数学测验中，得 100 分的有 1 人，得 95 分的有 1 人，得 90 分的有 2 人，得 85 分的有 4 人，得 80 分和 75 分的各 1 人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为 A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 【答案】C 1．等差数列 1 2 3 9, , , ,x x x x 的公差为 1，若以上述数据 1 2 3 9, , , ,x x x x 为样本，则此样本的方差为 A． 20 3 B． 10 3 C． 60 D．30 考向二 茎叶图的应用 茎叶图的优、缺点： 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一 点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示，其缺点是当样本 容量较大时，作图较繁琐. 典例 2 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校 400 名授课教师 中抽取 20 名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示． 据此可估计上学期该校 400 名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16，30)内的人数为 A．100 B．160 C．200 D．280 【答案】B 【解析】由茎叶图，可知在 20 名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16，30)内的人数为 8，据 此可以估计 400 名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16，30)内的人数为 400× 8 20 ＝160. 2．下边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在 10 次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数 为 76 分，乙得分的平均数是 75 分，则下列结论正确的是 A． 76 75x x 甲 乙, B．甲数据中 x=3，乙数据中 y=6 C．甲数据中 x=6，乙数据中 y=3 D．乙同学成绩较为稳定 考向三 频率分布直方图的应用 频率分布直方图是用样本估计总体的一种重要方法，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式 呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度： (1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关 系，利用频率和等于 1 就可求出其他数据． (2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解． (3)与概率有关的综合问题，可先求出频率，再利用古典概型等知识求解. 典例 3 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 且支出在[20，60]元的样本， 其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]元的同学有 30 人，则 n 的值为________． 【答案】100 3．某市高三数学抽样考试中，对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计，其频率分布图如下图所示，若 130～ 140 分数段的人数为 90 人，则 90～100 分数段的人数为______． 典例 4 为了增强学生的环保意识，某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知识竞赛，并将本次竞赛 的成绩(得分均为整数，满分 100 分)进行整理，制成下表： 成绩 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 2 3 14 15 12 4 （1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图； （2）若从成绩在[40，50)中选 1 名学生，从成绩在[90，100]中选 2 名学生，共 3 名学生召开座谈会，求[40， 50)组中学生 A1 和[90，100]组中学生 B1 同时被选中的概率． 【答案】（1）见解析；（2）1 4 . （2）记[40，50)组中的学生为 A1，A2，[90，100]组中的学生为 B1，B2，B3，B4，A1 和 B1 同时被选中记为事 件 M. 由题意可得，全部的基本事件为： A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，A1B2B3，A1B2B4，A1B3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4，共 12 个， 事件 M 包含的基本事件为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，共 3 个， 所以学生 A1 和 B1 同时被选中的概率为 P(M)＝ 3 12 ＝1 4 . 4．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)， [50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分． 1．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为 0,1,2,3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样本方 差为 A． 2 B． 6 5 C． 2 D． 30 5 2．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分 别是 A．46，45 B．45，46 C．45，45 D．47，45 3．2000 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如下图所示，时速在 50,60 的汽车大约有 A．300 辆 B．400 辆 C．600 辆 D．800 辆 4．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 7 次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 10 9 8 8 6 乙 9 10 7 8 7 7 8 则下列判断正确的是 A．甲射击的平均成绩比乙好 B．乙射击的平均成绩比甲好 C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差 5．北京市 2016 年 12 个月的 PM2.5 平均浓度指数如图所示.由图判断，四个季度中 PM2.5 的平均浓度指数 方差最小的是 A．第一季度 B．第二季度 C．第三季度 D．第四季度 6．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘 制的频率分布直方图，样本数据分 8 组，分别为 、 ， 、 、 、 、 、 ，则样本的中位数在 A．第 3 组 B．第 4 组 C．第 5 组 D．第 6 组 7．一个样本 a ，3，5，7 的平均数是b ，且 a ，b 分别是数列  2 *2n n N 的第 2 项和第 4 项，则这个 样本的方差是 A．3 B．4 C．5 D．6 8．2017 年 11 月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中 ,A B 两地选择一处 进行实地考察，因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人对它们的综合评分，并将评分数据记录 为下图的茎叶图，记 ,A B 两地综合评分数据的均值分别为 ,A B ，方差分别为 2 2,A BS S ，若以备受好评为 依据，则下述判断较合理的是 A．因为 2 2, A BA B S S  ，所以应该去 A 地 B．因为 2 2, A BA B S S  ，所以应该去 A 地 C．因为 2 2, A BA B S S  ，所以应该去 B 地 D．因为 2 2, A BA B S S  ，所以应该去 B 地 9．某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自 习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5， 30].根据直方图，若这 200 名学生中每周的自习时间不超过 m 小时的人数为 164，则 m 的值约为 A． 26.25 B． 26.5 C． 26.75 D． 27 10．在一个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个 数据的十位数字 1 未被污损，即 9，10，11，1 ，那么这组数据的方差 2s 可能的最大值是__________． 11．随着智能手机的普及，网络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊 随机调查了 10 位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示． 若这组数据的中位数、平均数分别为 ,a b ，则 ,a b 的大小关系是__________． 12．某市开展“魅力教师”原创网文大赛，各校上传文章的时间为 10 月 1 日至 30 日，评委会把各校上传 的文章数按 5 天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)．已知从左至右各长方形的高的比为 2∶ 3∶4∶6∶4∶1，第二组的频数为 180.那么本次活动收到的文章数是__________． 13．某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙 两种型号中各选取 6 部进行测试，其结果如下： 甲种手机供电时间（小时） 19 18 21 22 23 20 乙种手机供电时间（小时） 18 17.5 20 23 22 22.5 （1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好； （2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述 6 部乙种手机中随机抽取 2 部，求这两部手机中恰 有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的概率. 14．某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该 城市共享单车进行监管，随机选取了 20 位市民对共享单车的情况进行问卷调査，并根据其满意度评分 值（满分100 分）制作的茎叶图如图所示： （1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数； （2）从打分在 70 分以下（不含 70 分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率. 15．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩 在 8.0 米（精确到 0.1 米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成 6 组画出频率分布直方图的 一部分（如图），已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第 6 小组的 频数是 7． （1）求这次铅球测试成绩合格的人数； （2）若由频率分布直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由； （3）若参加此次测试的学生中，有 9 人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出 2 人参 加“毕业运动会”，已知 a、b 的成绩均为优秀，求两人至少有 1 人入选的概率. 1．（2017 年高考新课标Ⅰ卷）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田．这 n 块地的亩产量（单 位：kg）分别为 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差 C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 2．（2017 年高考山东卷）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）. 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为 A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 3．（2017 年高考新课标Ⅲ卷）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 4．（2016 年高考新课标Ⅲ卷）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温 和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 o C，B 点表示四月的平均最低气温 约为 5 o C.下面叙述不正确的是 A．各月的平均最低气温都在 0 o C 以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于 20 o C 的月份有 5 个 5．（2016 年高考山东卷）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率 分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25), [25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 A．56 B．60 C．120 D．140 6．（2016 年高考江苏卷）已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_________. 7．（2016 年高考上海卷）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69， 1.77，则这组数据的中位数是_________（米）． 8．（2017 年高考新课标Ⅱ卷）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机 抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）， 其频率分布直方图如下： （1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附： P（ ） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      . 9．（2017 年高考北京卷）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽 样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20，30]，[30，40]， ， [80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； （2）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等．试估计总体 中男生和女生人数的比例． 10．（2016 年高考新课标Ⅱ卷）某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人， 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 （1）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)的估计值； （2）记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160％”，求 P(B)的估 计值； （3）求续保人本年度的平均保费估计值. 11．（2016 年高考北京卷）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/ 立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费.从该市随机调查了 10 000 位居民，获得了他 们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： （1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米，w 至少 定为多少？ （2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费. 12．（2016 年高考四川卷）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况 进行了调查.通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5）， [0.5，1），…，[4，4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中 a 的值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数. 变式拓展 1．【答案】A 【解析】由等差数列的性质得样本的平均数为 1 2 9 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 9 9 x x x x x x x x x        ， 所以该组数据的方差为        2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 5 9 5 2 4 3 2 1 20 9 9 3 x x x x x x            . 故选 A. 2．【答案】C 【解析】因为甲得分的中位数为 76 分，所以 x=6，因为乙得分的平均数是 75 分，所以 747 7510 y   ， 解得 y=3，故选 C. 3．【答案】810 【解析】设学生总数为 x，则 0.05x=90，∴x=1 800，∴1 800×0.45=810. 4．【答案】（1）分数在[70，80)内的频率为 0.3，补全的频率分布直方图见解析；（2）71 分. （2）平均分：45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)． 【名师点睛】利用各小长方形的面积和等于 1 求出分数在[70，80)内的频率，再补全频率分布直方图． 考点冲关 1．【答案】A 【解析】设丢失的数据为 a ，则这组数据的平均数是 0 1 2 3 5 1a       ，解得 1a   ，根据方差 计算公式得          2 2 2 2 22 1 1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 25s               ，故选 A. 2．【答案】A 【解析】由茎叶图可知所给数据，其中出现最多的是 45 ，共三次，所以为众数，将所有数据从小到大排 列后，中间两数为 45,47 ，故中位数为 46 ．故本题答案为 A ． 3．【答案】C 【 解 析 】 依 题 设 中 提 供 的 频 率 分 布 直 方 图 可 以 看 出 ： 时 速 在  50,60 的 汽 车 大 约 有 0.03 10 2000 600   ，应选 C. 4．【答案】D 5．【答案】B 【解析】通过对第一季度、第二季度、第三季度、第四季度的图象的起伏进行观察，发现第二季度的三 个月的数值变化最小，故其方差最小，故选 B. 6．【答案】B 【解析】由图计算可得前四组的频数是 22，其中第 4 组的频数为 8，故本题正确答案是 7．【答案】C 【解析】∵样本 a ，3，5，7 的平均数是b ，且 a ，b 分别是数列  2 *2n n N  的第 2 项和第 4 项， ∴ 2 2 4 22 1, 2 4a b     ，        2 2 2 22 1 1 4 3 4 5 4 7 4 54s             ，故选 C. 8．【答案】B 【解析】计算可得 2 2286 85 ,3 A BA B S S    （A 数据集中，B 数据分散），所以 A 地好评分高，且评价 稳定，因此选 B. 9．【答案】B 【解析】结合题意和频率分布直方图可得： 25 27.5m  ， 据此列方程有：     1640.02 0.10 0.16 2.5 25 0.08 200m       ，解得： 26.5m  . 本题选择 B 选项. 【名师点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点： ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边 中点的横坐标之和. 10．【答案】32.8 11．【答案】 a b 【解析】从图中可知中位数为 83 87 852   ， 平均数为  1 75 76 77 81 83 87 89 93 94 95 8510x            ，所以 a b . 12．【答案】1200 【解析】由题设中提供的频率分布直方图可得本次活动收到的文章数 180 12003 20 n   .应填 . 13．【答案】（1）见解析；（2）所求概率为 3 5 . 【解析】（1）甲的平均值  1 1 2 1 2 3 0 20 20.56x          甲 ， 乙的平均值  1 2 2.5 0 3 2 2.5 20 20.56x          乙 ， 甲的方差为          2 2 2 2 22 1 [ 20.5 19 20.5 18 20.5 21 20.5 22 20.5 236s           甲  2 3520.5 20 ] 12    ， 乙的方差          2 2 2 2 22 1 [ 20.5 18 20.5 17.5 20.5 20 20.5 23 20.5 226s           乙  2 1420.5 22.5 ] 3    ， 因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好. （2）由题意得上述6 部乙种手机中有3部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值，记它们分别 是 1 2 3, ,A A A ，其余的为 1 2 3, ,a a a ， 从 上 述 6 部 乙 种 手 机 中 随 机 抽 取 2 部 的 所 有 结 果 为 ：        1 2 1 3 1 1 1 2, , , , , , , ,A A A A A a A a          1 3 2 3 2 1 2 2 2 3, , , , , , , , , ,A a A A A a A a A a      3 1 3 2 3 3, , , , , ,A a A a A a      1 2 1 3 2 3, , , , ,a a a a a a ， 共有15种， 其中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的结果为：      1 1 1 2 1 3, , , , , ,A a A a A a            2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3, , , , , , , , , , ,A a A a A a A a A a A a ，共有9种， 所以所求概率为 9 3 15 5P   . 14．【答案】（1）平均数为 69，中位数为 77；（2） 4 5 . , , , , , ,bde bdf bef cde cdf cef def ，共 20 种， 其中有女性的有16种， 所以   16 4 20 5P A   . 15．【答案】（1）36；（2）4；（3） 5 12 . 【解析】（1）第 6 小组的频率为 1−（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14， ∴此次测试总人数为 7 =500.14 （人）． ∴第 4、5、6 组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）． （2）由于频率分布直方图中中位数两侧的小长方形面积和相等，即频率相等，且前三组的频率和为 0.28，前四组的频率和为 0.56， ∴中位数位于第 4 组内． （3）设成绩优秀的 9 人分别为 a，b，c，d，e，f，g，h，k， 则选出的 2 人所有可能的情况为： ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，ak； bc，bd，be，bf，bg，bh，bk； cd，ce，cf，cg，ch，ck； de，df，dg，dh，dk； ef，eg，eh，ek； fg，fh，fk； gh，gk； hk． 共 36 种，其中 a、b 至少有 1 人入选的情况有 15 种， ∴a、b 两人至少有 1 人入选的概率为 15 5 36 12P   ． 直通高考 1．【答案】B 【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平； 平均数：反映一组数据的平均水平； 方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大 小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度． 2．【答案】A 【解析】由题意，甲组数据为 56，62，65，70 x ，74，乙组数据为 59，61，67， 60 y ，78.要使两 组数据的中位数相等，则 65 60 y  ，所以 5y  ，又平均数相同，则 56 62 65 (70 ) 74 59 61 67 65 78 5 5 x         ，解得 3x  .故选 A. 【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布 直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示. 缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐. 利用茎叶图对样本进行估计时，要注意区分茎与叶，茎是指中 间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数. 3．【答案】A 【解析】由折线图，可知每年 7 月到 8 月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，A 错误； 折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，B 正确； 每年的接待游客量 7，8 月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，C 正确； 每年 1 月至 6 月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7 月至 12 月折线图不平稳，月接待游客量 波动性大，D 正确. 所以选 A. 【名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有： （1）频率分布直方图，特点：频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间的频率，所有小长方形 的面积之和为 1; （2）频率分布折线图，连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． （3）茎叶图，对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼出有用的信息和数据． 4．【答案】D 故选 D． 【易错警示】解答本题时易错点可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两 把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选 B． 5．【答案】D 【解析】自习时间不少于 22.5 小时为后三组，其频率和为 7.05.2)04.008.016.0(  ，故人数为 1407.0200  人，选 D. 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜， 作为一道应用题，考查考生的识图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力. 6．【答案】0.1 【解析】这组数据的平均数为 1 (4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15       ， 2 2 2 2 2 21 (4.7 5.1) (4.8 5.1) (5.1 5.1) (5.4 5.1) (5.5 5.1) 0.15s                ．故应填：0.1. 【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简 单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近 几年的高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力. 7．【答案】1.76 【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往 不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. 8．【答案】（1）0.62；（2）列联表见解析，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）新养殖法优于旧 养殖法. 【解析】（1）旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62. （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 K2= 2200 62 66 34 38 15.705100 100 96 104        （ ）≈ . 由于 15.705＞6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. （3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在 50 kg 到 55 kg 之间，旧 养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 45 kg 到 50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖 法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖 法. 【名师点睛】（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为 1. （2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和. （3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性. 9．【答案】（1）0.4；（2）20；（3） :3 2 . 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为 (0.02 0.04) 10 0.6   ，所以 样本中分数小于 70 的频率为1 0.6 0.4  . 所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其分数小于 70 的概率估计为 0.4. : :60 40 3 2 . 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为 :3 2 . 【名师点睛】（1）用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体 则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，而频率分布直方 图比较直观. （2）频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于 1；在频率分布直方图中，各小长 方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于 1. 10．【答案】（1）由 60 50 200  求 P(A)的估计值；（2）由 30 30 200  求 P(B)的估计值；（3）根据平均值的计算公 式求解. 【解析】（1）事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频 率为 60 50 0.55200   ， 故 P(A)的估计值为 0.55. （2）事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小 于 4 的频率为 30 30 0.3200   ， 故 P(B)的估计值为 0.3. （3）由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85 0.30 0.25 1.25 0.15 1.5 0.15 1.75 0.10 2 0.05 1.192 5a a a a a a a            ， 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a. 【名师点睛】样本的数字特征常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与频率分布直方图交汇；(2)样 本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题交汇. 11．【答案】（1）3；（2）10.5 元. （2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组  2,4  4,6  6,8  8,10  10,12  12,17  17,22  22,27 频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： 4 0.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.05 22 0.05 27 0.05               10.5 （元）． 【名师点睛】（1）用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总 体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法. 频率分布表在数量表示上比较准确，频率 分布直方图比较直观. （2）频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于 1；在频率分布直方图中，各小 长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于 1. 12．【答案】（1） 0.30a  ；（2）36 000；（3）2.04． （3）设中位数为 x 吨. 因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5， 而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以 2≤x<2.5. 由 0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得 x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨. 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问 题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第 n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面 积之和为 1，这是解题的关键，也是识图的基础．