2012年高考数学真题分类汇编K 概率 （文科） 10页

K 概率 K1　随事件的概率 ‎12．K1[2012·浙江卷] 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．‎ ‎12.　[解析] 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机选取两点，共有10种取法，该两点间的距离为的有4种，所求事件的概率为 P＝＝.‎ K2　古典概型 ‎15．K2[2012·重庆卷] 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．‎ ‎15.　[解析] 6节课共有A＝720种排法，相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课排法有AA＝144种排法，所以相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课的概率为＝.‎ ‎18．K2[2012·江西卷] 如图1－6，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0，0,2)这6个点中随机选取3个点．‎ ‎(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；‎ ‎(2)求这3点与原点O共面的概率．‎ 图1－6‎ ‎18．解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：‎ x轴上取2个点的有A‎1A2B1，A‎1A2B2，A‎1A2C1，A‎1A2C2，共4种；‎ y轴上取2个点的有B1B‎2A1，B1B‎2A2，B1B‎2C1，B1B‎2C2，共4种；‎ z轴上取2个点的有C‎1C2A1，C‎1C2A2，C‎1C2B1，C‎1C2B2，共4种；‎ 所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B‎1C1，A1B‎1C2，A1B‎2C1，A1B‎2C2，A2B‎1C1，A2B‎1C2，A2B‎2C1，A2B‎2C2，共8种．因此，从这个6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．‎ ‎(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A1B‎1C1，A2B‎2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P＝＝.‎ ‎(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有：A‎1A2B1，A‎1A2B2，A‎1A2C1，A‎1A2C2，B1B‎2A1，B1B‎2A2，B1B‎2C1，B1B‎2C2，C‎1C2A1，C‎1C2A2，C‎1C2B1，C‎1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P＝＝.‎ ‎10．K2[2012·安徽卷] 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、‎ ‎2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．B　[解析] 用列举法可得：从袋中任取两球有15种取法，其中一白一黑共有6种取法，由等可能事件的概率公式可得p＝＝.‎ ‎15．I1、K2[2012·天津卷] 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．‎ ‎(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；‎ ‎(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，‎ ‎①列出所有可能的抽取结果；‎ ‎②求抽取的2所学校均为小学的概率．‎ ‎15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.‎ ‎(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．‎ ‎②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．‎ 所以P(B)＝＝.‎ ‎18．K2、B10、I2[2012·课标全国卷] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．‎ ‎(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；‎ ‎(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；‎ ‎②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．‎ ‎18．解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85.‎ 当日需求量n<17时，利润y＝10n－85.‎ 所以y关于n的函数解析式为 y＝(n∈N)．‎ ‎(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为 (55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.‎ ‎②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为 p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.‎ ‎17．I2、K2[2012·广东卷] 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图1－4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．‎ 图1－4‎ ‎(1)求图中a的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．‎ 分数段 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ x∶y ‎1∶1‎ ‎2∶1‎ ‎3∶4‎ ‎4∶5‎ ‎17．解：(1)由频率分布直方图可知 ‎(0.04＋0.03＋0.02＋‎2a)×10＝1.‎ 所以a＝0.005.‎ ‎(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为 ＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.‎ ‎(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，‎ 可得下表：‎ 分数段 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ x ‎5‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎20‎ x∶y ‎1∶1‎ ‎2∶1‎ ‎3∶4‎ ‎4∶5‎ y ‎5‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎25‎ 于是数学成绩在[50,90)之外的人数为 ‎100－(5＋20＋40＋25)＝10.‎ ‎17．D2、D3、K2[2012·福建卷] 在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.‎ ‎(1)求an和bn；‎ ‎(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．‎ ‎17．解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得 S10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8，‎ 解得d＝1，q＝2，‎ 所以an＝n，bn＝2n－1.‎ ‎(2)分别从{an}，{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．‎ 符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．‎ 故所求的概率P＝.‎ ‎6．K2[2012·江苏卷] 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．‎ ‎6.　[解析] 本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解．解题突破口为等比数列通项公式的运用．‎ 由通项公式an＝1×(－3)n－1得，满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39，共6个，从而所求概率为P＝.‎ ‎19．I4、K2[2012·辽宁卷] 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 图1－6‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ‎(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．‎ 附：χ2＝，‎ P(χ2≥k)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 χ2＝＝＝≈3.030.‎ 因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5个，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}．‎ 其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.‎ Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，‎ b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，‎ 事件A由7个基本事件组成，因而 P(A)＝.‎ ‎18．K2[2012·山东卷] 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.‎ ‎(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．‎ ‎18．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E.从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)．共10种．‎ 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．‎ 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.‎ ‎(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：‎ ‎(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．‎ 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这此基本事件的出现是等可能的．‎ 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．‎ 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.‎ ‎19．I2、K2[2012·陕西卷] 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：‎ 图1－8‎ ‎(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；‎ ‎(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．‎ ‎19．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.‎ ‎(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，‎ 其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.‎ K3　几何概型 ‎11．K3[2012·辽宁卷] 在长为‎12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于‎20 cm2的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎11．C　[解析] 本小题主要考查几何概型．解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比．‎ 令AC＝x，CB＝12－x，这时的面积为S＝x(12－x)，根据条件S＝x(12－x)>20⇒x2－12x＋20<0⇒20，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．‎ 注：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数 ‎17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ＝＝.‎ ‎(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．‎ 事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为＝0.7，‎ 所以P(A)约为1－0.7＝0.3.‎ ‎(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值．‎ 因为＝(a＋b＋c)＝200，‎ 所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.‎ K9 单元综合 ‎17．K9[2012·四川卷] 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.‎ ‎(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；‎ ‎(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．‎ ‎17．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－·p＝.‎ 解得p＝.‎ ‎(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，那么P(D)＝C·2＋3＝＝.‎ 答：系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.‎