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- 2021-06-15 发布
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江苏省如皋中学2019-2020学年度高一下学期阶段考试四
数学试题 20200619
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中,,公差,则( )
A.10 B.12 C.14 D.16
2. 若两条平行直线与之间的距离是,则
( )
A.3 B.-17 C. D.3或-17
3.对于平面和共面的直线,,下列结论正确的是( )
A.若,与所成的角相等,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
4. 已知点,,若直线过点)且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.D C. D. 或
5. 数列的前项和为,满足,则( )
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
7. 设直线与两坐标轴围成的三角形面积为,则的值为( )
A. B. C. D.
8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”
诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9. 以直线与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为
A. B. ( )
C. D.
10.下列说法中正确的是( )
A.若两条直线互相平行,那么它们的斜率相等
B.方程能表示平面内的任何直线
C.圆的圆心为,半径为
D.若直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是
11. 设分别是正方体的棱上两点,且,给出下列四个命题正确的是( )
A.异面直线与所成的角为45°
B.⊥平面
C.三棱锥的体积为定值;
D.直线与平面所成的角为60°.
12. 已知数列满足若存在正整数 (使得等式成立,则下列结论正确的有
A. B. ( )
C. D.
三、填空题:本题共4题,每小题5分,共20分.
13. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是 .
14. 正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为 .
15. 已知等差数列的首项为1,公差为2,
若对恒成立,则实数的取值范围是 .
16. 在正三棱锥SABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=4,则正三棱锥SABC的外接球的表面积为 .
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤
17. (本小题共10分)如图,三棱锥 D - ABC 中,已知 AC ^ BC , AC ^ DC , BC = DC , E,F分别为BD,CD 的中点,
求证:(1) EF // 平面 ABC ;
(2) BD ^平面 ACE .
18. (本小题共12分)已知的顶点,直线的方程为,边上的高所在直线的方程为
(1)求顶点和的坐标; (2)求外接圆的一般方程.
19.(本小题共12分)已知数列是等比数列,首项,公比,其前项和为,且,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
20. (本小题共12分)四棱锥的底面是边长为的菱形, 面,,分别是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)是上的动点,与平面所成的最大角为,
求二面角的余弦值.
21. (本小题共12分)已知直线方程为,其中
(1)求证:直线恒过定点;
(2)当变化时,求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程;
(3)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点,求面积的最小值及此时的直线方程.
22. (本小题共12分)已知数列的前项和为,,且,
为等比数列,,.
求和的通项公式;
设,,数列的前项和为,若对均满足,求整数的最大值.
数学阶段考试四试题答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
D
A
C
D
B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
题号
9
10
11
12
答案
A D
B D
AC
A CD
三、填空题:本题共4题,每小题5分,共20分.
13. 和 14.
15. 16.
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤
17. 解:(1)三棱锥中,
∵为的中点,为的中点,∴,
∵平面,平面,
∴平面. ……………………………………………………………4分
(2)∵,,,
∴平面, …………6分
∵平面,∴,
∵为的中点,∴,
∵,∴平面. …………………………………………10分
18. 解:(1)由可得顶点,
又因为得, ,所以设的方程为,
将代入得,由可得顶点为
所以和的坐标分别为和 …………………6分
(2)设的外接圆方程为,
将、和三点的坐标分别代入,得,
解得,
所以的外接圆的一般方程为………12分
19. 解:(1)法一:由题意可知:
,
即,于是 , ,;
, . …… 6分
(2)法二:由题意可知:
当时,不符合题意; …… 1分
当时,,
,,,
,,
, . ……… 6分
(2) , ,,
(1)
(2)
得:
………12分
20. 证明(1):由题意,四边形是边长为的菱形,,为的中点,故,.由余弦定理可得,解得 .故.故,.故.
又面,面.故.又,故平面.
又平面.故平面平面.…………6分
(2)连结,则根据(1)平面可知为直线与平面所成的线面角,所以在中, ,所以当最小,即时,取得最大值,此时,设则有,解得.
即.由(1)有.故以为坐标原点,
易得二面角的余弦值为…12分
21. (1)证明:直线方程为,
可化为对任意都成立,所以,
解得,所以直线恒过定点.… 2分
(2)点到直线的距离最大,可知点与定点的连线的距离就是所求最大值,即,设定点为
此时直线过点且与垂直,故方程为…… 6分
(3)若直线分别与轴,轴的负半轴交于两点,直线方程为,
则,
当且仅当时取等号,面积的最小值为4
此时直线的方程为…… 12分
22. 解:,且,
当时,,
即为,
即有,
上式对也成立,
则,;
为公比设为q的等比数列,,.
可得,,则,即,
,;……… 6分
,
前n项和为,
,
即,可得递增,则的最小值为,
可得,即,
则m的最大值为1346.……………… 12分