高中数学必修5：5_备课资料（2_3_2　等差数列的前n项和(二)） 2页

备课资料 等差数列的几个性质 等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前n项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多. ‎【性质1】 已知等差数列{an}，m、p、q∈N*，若存在实数λ使 (λ≠-1), 则. 证明：由等差数列{an}的通项公式an=dn+a1-d的几何意义：点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线，由斜率公式得，因为，所以. 所以λ(am-aq)=ap-am.所以(1+λ)am=ap+λaq，即. 评析：特别地,当λ=1时，2am=ap+aq，我们不妨将性质1称为等差数列的定比分点公式. ‎【性质2】 等差数列{an}，ni，mi∈N*，i=1,2,3,…,k,若. 则. 证明：设等差数列{an}的公差为d.根据ani=ami+(ni-mi)d，i=1,2,3,…,k, 则.所以 推论：等差数列{an}，n i，m∈N *，i=1,2,3,…,k,若.则. ‎ 评析：本性质实质上是等差中项性质的推广. ‎【性质3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.n，m∈N*, 则. 证明:因为 ‎= ‎= ‎= ‎=‎ ‎= ‎ ‎= ‎ 所以. 评析：实质上数列是公差为的等差数列. ‎【性质4】 等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.n，m∈N *,则S m+n=Sm+Sn+mnd. ‎ 证明：因为Sm+n=Sn+(an+1+an+2+…+an+m) ‎=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(am+nd) ‎=Sn+(a1+a2+…+am)+mnd ‎=Sm+Sn+mnd， 所以Sm+n=Sm+Sn+mnd. ‎【性质5】 等差数列{an}前n项和为Sn，若m=p+q(m、p、q∈N*且p≠q), 则有. 证明：设等差数列{an}的公差为d. 因为Sp-Sq=pa1+p(p-1)d-qa1- q(q-1)d=(p-q)［a1+(p+q-1)d］， 所以.又因为且m=p+q， 所以有. 推论：等差数列{an}前n项和为Sn，若m+t=p+q(m、t、p、q∈N*且m≠t,p≠q),则. ‎【性质6】 等差数列{an}前n项和为Sn. ‎(1)当n=2k(k∈N*)时，S2k=k(a k+ak+1); ‎(2)当n=2k-1(k∈N*)时，S2k-1=kak.