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- 2021-06-15 发布
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2015 年北京市高考数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1.(5 分)若集合 A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则 A∩B=( )
A.{x|﹣3<x<2} B.{x|﹣5<x<2} C.{x|﹣3<x<3} D.{x|﹣5<x<3}
2.(5 分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C .( x+1 ) 2+ ( y+1 ) 2=2
D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2
3.(5 分)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx| D.y=2﹣x
4.(5 分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查
教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人
数为( )
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
A.90 B.100 C.180 D.300
5.(5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.(5 分)设 , 是非零向量,“ =| || |”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(5 分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )
A.1 B. C. D.2
8.(5 分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的
情况
加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)
2015 年 5 月 1 日 12 35000
2015 年 5 月 15
日
48 35600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 100
千米平均耗油量为 ( )
A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升
二、填空题
9.(5 分)复数 i(1+i)的实部为 .
10.(5 分)2﹣3, ,log25 三个数中最大数的是 .
11.(5 分)在△ABC 中,a=3,b= ,∠A= ,则∠B= .
12.(5 分)已知(2,0)是双曲线 x 2﹣ =1(b>0)的一个焦点,则
b= .
13.(5 分)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任
意一点,则 z=2x+3y 的最大值为 .
14.(5 分)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数
学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.
从这次考试成绩看,
①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ;
②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .
三、解答题(共 80 分)
15.(13 分)已知函数 f(x)=sinx﹣2 sin2 .
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求 f(x)在区间[0, ]上的最小值.
16.(13 分)已知等差数列{an}满足 a1+a2=10,a4﹣a3=2
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足 b2=a3,b3=a7,问:b6 与数列{an}的第几项相等?
17.(13 分)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四
种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最
大?
18.(14 分)如图,在三棱锥 V﹣ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边
三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点.
(1)求证:VB∥平面 MOC;
(2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB
(3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.
19.(13 分)设函数 f(x)= ﹣klnx,k>0.
(1)求 f(x)的单调区间和极值;
(2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点.
20.(14 分)已知椭圆 C:x2+3y2=3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的直线
与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M.
(1)求椭圆 C 的离心率;
(2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率;
(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由.
2015 年北京市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
1.(5 分)若集合 A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则 A∩B=( )
A.{x|﹣3<x<2} B.{x|﹣5<x<2} C.{x|﹣3<x<3} D.{x|﹣5<x<3}
【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可.
【解答】解:集合 A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},
则 A∩B={x|﹣3<x<2}.
故选:A.
【点评】本题考查集合的交集的运算法则,考查计算能力.
2.(5 分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C .( x+1 ) 2+ ( y+1 ) 2=2
D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2
【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.
【解答】解:由题意知圆半径 r= ,
∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
故选:D.
【点评】本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,
是基础题.
3.(5 分)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx| D.y=2﹣x
【分析】首先从定义域上排除选项 C,然后在其他选项中判断﹣x 与 x 的函数值
关系,相等的就是偶函数.
【解答】解:对于 A,(﹣x)2sin(﹣x)=﹣x2sinx;是奇函数;
对于 B,(﹣x)2cos(﹣x)=x2cosx;是偶函数;
对于 C,定义域为(0,+∞),是非奇非偶的函数;
对于 D,定义域为 R,但是 2﹣(﹣x)=2x≠2﹣x,2x≠﹣2﹣x;是非奇非偶的函数;
故选:B.
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断;首先判断定义域是否关于原点对称;如
果不对称,函数是非奇非偶的函数;如果对称,再判断 f(﹣x)与 f(x) 关系,
相等是偶函数,相反是奇函数.
4.(5 分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查
教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人
数为( )
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
A.90 B.100 C.180 D.300
【分析】由题意,老年和青年教师的人数比为 900:1600=9:16,即可得出结
论.
【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为 900:1600=9:16,
因为青年教师有 320 人,所以老年教师有 180 人,
故选:C.
【点评】本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础.
5.(5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,k 的值,当 a= 时满
足条件 a< ,退出循环,输出 k 的值为 4.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
k=0,a=3,q=
a= ,k=1
不满足条件 a< ,a= ,k=2
不满足条件 a< ,a= ,k=3
不满足条件 a< ,a= ,k=4
满足条件 a< ,退出循环,输出 k 的值为 4.
故选:B.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.
6.(5 分)设 , 是非零向量,“ =| || |”是“ ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】由 便可得到 夹角为 0,从而得到 ∥ ,而 ∥ 并不
能得到 夹角为 0,从而得不到 ,这样根据充分条件、必要条件的
概念即可找出正确选项.
【解答】解:(1) ;
∴ 时,cos =1;
∴ ;
∴ ∥ ;
∴“ ”是“ ∥ ”的充分条件;
(2) ∥ 时, 的夹角为 0 或 π;
∴ ,或﹣ ;
即 ∥ 得不到 ;
∴“ ”不是“ ∥ ”的必要条件;
∴总上可得“ ”是“ ∥ ”的充分不必要条件.
故选:A.
【点评】考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与
过程,数量积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义.
7.(5 分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )
A.1 B. C. D.2
【分析】几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关
几何量的数据,可得答案
【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,
底面为正方形如图:
其中 PB⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形
∴PB=1,AB=1,AD=1,
∴BD= ,PD= = .
PC═
该几何体最长棱的棱长为:
故选:C.
【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体
的结构特征是解答本题的关键
8.(5 分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的
情况
加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)
2015 年 5 月 1 日 12 35000
2015 年 5 月 15 日 48 35600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 100
千米平均耗油量为 ( )
A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升
【分析】由表格信息,得到该车加了 48 升的汽油,跑了 600 千米,由此得到该
车每 100 千米平均耗油量.
【解答】解:由表格信息,得到该车加了 48 升的汽油,跑了 600 千米,所以该
车每 100 千米平均耗油量 48÷6=8;
故选:B.
【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.
二、填空题
9.(5 分)复数 i(1+i)的实部为 ﹣1 .
【分析】直接利用复数的乘法运算法则,求解即可.
【解答】解:复数 i(1+i)=﹣1+i,
所求复数的实部为:﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力.
10.(5 分)2﹣3, ,log25 三个数中最大数的是 log25 .
【分析】运用指数函数和对数函数的单调性,可得 0<2﹣3<1,1< <2,log25
>log24=2,即可得到最大数.
【解答】解:由于 0<2﹣3<1,1< <2,
log25>log24=2,
则三个数中最大的数为 log25.
故答案为:log25.
【点评】本题考查数的大小比较,主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用,
属于基础题.
11.(5 分)在△ABC 中,a=3,b= ,∠A= ,则∠B= .
【分析】由正弦定理可得 sinB,再由三角形的边角关系,即可得到角 B.
【解答】解:由正弦定理可得,
= ,
即有 sinB= = = ,
由 b<a,则 B<A,
可得 B= .
故答案为: .
【点评】本题考查正弦定理的运用,同时考查三角形的边角关系,属于基础
题.
12.(5 分)已知(2,0)是双曲线 x 2﹣ =1(b>0)的一个焦点,则 b=
.
【分析】求得双曲线 x2﹣ =1(b>0)的焦点为( ,0),(﹣ ,
0),可得 b 的方程,即可得到 b 的值.
【解答】解:双曲线 x2﹣ =1(b>0)的焦点为( ,0),(﹣ ,
0),
由题意可得 =2,
解得 b= .
故答案为: .
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点的求法,属于基
础题.
13.(5 分)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任
意一点,则 z=2x+3y 的最大值为 7 .
【分析】利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值.
【解答】解:由 z=2x+3y,得 y= ,
平移直线 y= ,由图象可知当直线 y= 经过点 A 时,直线 y=
的截距最大,此时 z 最大.
即 A(2,1).
此时 z 的最大值为 z=2×2+3×1=7,
故答案为:7.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常
用方法.
14.(5 分)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数
学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.
从这次考试成绩看,
①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙 ;
②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学 .
【分析】(1)根据散点图 1 分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次;
(2)根据散点图 2,观察丙的对应的坐标,如果横坐标大于纵坐标,说明总成
绩名次大于数学成绩名次,反之小于.
【解答】解:由高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,
数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知,两个图中,同一个人的总
成绩是不会变的.从第二个图看,丙是从右往左数第 5 个点,即丙的总成绩在班
里倒数第 5.在左边的图中,找到倒数第 5 个点,它表示的就是丙,发现这个点
的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”
①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙;
②观察散点图,作出对角线 y=x,发现丙的坐标横坐标大于纵坐标,说明数学成
绩的名次小于总成绩名次,所以在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更
靠前的科目是数学;
故答案为:乙;数学.
【点评】本题考查了对散点图的认识;属于基础题.
三、解答题(共 80 分)
15.(13 分)已知函数 f(x)=sinx﹣2 sin2 .
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求 f(x)在区间[0, ]上的最小值.
【分析】(1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f(x)=2sin(x+ )﹣
,由三角函数的周期性及其求法即可得解;
(2)由 x∈[0, ],可求范围 x+ ∈[ ,π],即可求得 f(x)的取值范围,
即可得解.
【解答】解:(1)∵f(x)=sinx﹣2 sin2
=sinx﹣2 ×
=sinx+ cosx﹣
=2sin(x+ )﹣
∴f(x)的最小正周期 T= =2π;
(2)∵x∈[0, ],
∴x+ ∈[ ,π],
∴sin(x+ )∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x+ )﹣ ∈[﹣ ,2﹣ ],
∴可解得 f(x)在区间[0, ]上的最小值为:﹣ .
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,
三角函数的最值的应用,属于基本知识的考查.
16.(13 分)已知等差数列{an}满足 a1+a2=10,a4﹣a3=2
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足 b2=a3,b3=a7,问:b6 与数列{an}的第几项相等?
【分析】(I)由 a4﹣a3=2,可求公差 d,然后由 a1+a2=10,可求 a1,结合等差数
列的通项公式可求
(II)由 b2=a3=8,b3=a7=16,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项
公式可求 b6,结合(I)可求
【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为 d.
∵a4﹣a3=2,所以 d=2
∵a1+a2=10,所以 2a1+d=10
∴a1=4,
∴an=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)
(II)设等比数列{bn}的公比为 q,
∵b2=a3=8,b3=a7=16,
∴
∴q=2,b1=4
∴ =128,而 128=2n+2
∴n=63
∴b6 与数列{an}中的第 63 项相等
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,属于对基本
公式应用的考查,试题比较容易.
17.(13 分)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四
种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最
大?
【分析】(1)从统计表可得,在这 1000 名顾客中,同时购买乙和丙的有 200 人,
从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.
(2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 300 人,求得顾客顾客在
甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率.
(3)在这 1000 名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、
同时购买甲和丁的概率,从而得出结论.
【解答】解:(1)从统计表可得,在这 1000 名顾客中,同时购买乙和丙的有 200
人,
故顾客同时购买乙和丙的概率为 =0.2.
(2)在这 1000 名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 100+200=300
(人),
故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率为 =0.3.
(3)在这 1000 名顾客中,同时购买甲和乙的概率为 =0.2,
同时购买甲和丙的概率为 =0.6,
同时购买甲和丁的概率为 =0.1,
故同时购买甲和丙的概率最大.
【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础
题.
18.(14 分)如图,在三棱锥 V﹣ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边
三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点.
(1)求证:VB∥平面 MOC;
(2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB
(3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.
【分析】(1)利用三角形的中位线得出 OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明
VB∥平面 MOC;
(2)证明:OC⊥平面 VAB,即可证明平面 MOC⊥平面 VAB
(3)利用等体积法求三棱锥 V﹣ABC 的体积.
【解答】(1)证明:∵O,M 分别为 AB,VA 的中点,
∴OM∥VB,
∵VB⊄平面 MOC,OM⊂平面 MOC,
∴VB∥平面 MOC;
(2)∵AC=BC,O 为 AB 的中点,
∴OC⊥AB,
∵平面 VAB⊥平面 ABC,OC⊂平面 ABC,
∴OC⊥平面 VAB,
∵OC⊂平面 MOC,
∴平面 MOC⊥平面 VAB
(3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= ,∴AB=2,OC=1,
∴S△VAB= ,
∵OC⊥平面 VAB,
∴VC﹣VAB= •S△VAB= ,
∴VV﹣ABC=VC﹣VAB= .
【点评】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计
算,正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键.
19.(13 分)设函数 f(x)= ﹣klnx,k>0.
(1)求 f(x)的单调区间和极值;
(2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点.
【分析】(1)利用 f'(x)≥0 或 f'(x)≤0 求得函数的单调区间并能求出极值;
(2)利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况.
【解答】解:(1)由 f(x)=
f'(x)=x﹣
由 f'(x)=0 解得 x=
f(x)与 f'(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:
X (0, ) ( )
f'(x) ﹣ 0 +
f(x) ↓ ↑
所以,f(x)的单调递增区间为( ),单调递减区间为(0, );
f(x)在 x= 处的极小值为 f( )= ,无极大值.
(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为 f( )
= .
因为 f(x)存在零点,所以 ,从而 k≥e
当 k=e 时,f(x)在区间(1, )上单调递减,且 f( )=0
所以 x= 是 f(x)在区间(1, )上唯一零点.
当 k > e 时 , f ( x ) 在 区 间 ( 0 , ) 上 单 调 递 减 , 且
,
所以 f(x)在区间(1, )上仅有一个零点.
综上所述,若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点.
【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用,在高考中属于
常见题型.
20.(14 分)已知椭圆 C:x2+3y2=3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的直线
与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M.
(1)求椭圆 C 的离心率;
(2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率;
(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由.
【分析】(1)通过将椭圆 C 的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论;
(2)通过令直线 AE 的方程中 x=3,得点 M 坐标,即得直线 BM 的斜率;
(3)分直线 AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可.
【解答】解:(1)∵椭圆 C:x2+3y2=3,
∴椭圆 C 的标准方程为: +y2=1,
∴a= ,b=1,c= ,
∴椭圆 C 的离心率 e= = ;
(2)∵AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴,
∴可设 A(1,y1),B(1,﹣y1),
∵E(2,1),∴直线 AE 的方程为:y﹣1=(1﹣y1)(x﹣2),
令 x=3,得 M(3,2﹣y1),
∴直线 BM 的斜率 kBM= =1;
(3)结论:直线 BM 与直线 DE 平行.
证明如下:
当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)知 kBM=1,
又∵直线 DE 的斜率 kDE= =1,∴BM∥DE;
当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x﹣1)(k≠1),
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线 AE 的方程为 y﹣1= (x﹣2),
令 x=3,则点 M(3, ),
∴直线 BM 的斜率 kBM= ,
联立 ,得(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0,
由韦达定理,得 x1+x2= ,x1x2= ,
∵kBM﹣1=
=
=
=0,
∴kBM=1=kDE,即 BM∥DE;
综上所述,直线 BM 与直线 DE 平行.
【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能
力,注意解题方法的积累,属于中档题.
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