2009年湖北省高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 7页

第 1页 共 14页 ◎ 第 2页 共 14页 2009 年湖北省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1. 已知 r n r 晦䁡ሻ ൅晦䁡ሻ൅ ， r n r 晦䁡䁡ሻ ൅晦 ݊ 䁡䁡ሻ൅ 是 两个向量集合，则 r 晦 ሻA. n晦䁡䁡ሻ B. n晦 ݊ 䁡䁡ሻ C. n晦䁡ሻ D. n晦䁡ሻ2. 设 为非零实数，函数 r 䁡݊ 䁡 晦 ，且 ݊ 䁡 ሻ 的反函数是（ ） A. r 䁡݊ 䁡 晦 ，且 ݊ 䁡 ሻB. r 䁡 䁡݊ 晦 ，且 䁡 ሻC. r 䁡 晦䁡݊ሻ 晦 ，且 䁡ሻD. r 䁡݊ 晦䁡ሻ 晦 ，且 ݊ 䁡ሻ3. 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 ൅ 和 ൅ ，则复数 晦൅ ൅ሻ晦൅ ݊ ൅ሻ 为实 数的概率为（ ） A. 䁡 B. 䁡 C. 䁡 D. 䁡 䁡4. 函数 r cos 晦 ሻ ݊ 的图象 按向量 平移到 ， 的函数解析式为 r 晦ሻ ，当 r 晦ሻ 为奇函数时，向量 可以等于( ) A. 晦 ݊ ݊ ሻ B. 晦 ݊ ሻ C. 晦 ݊ ሻ D. 晦 ሻ5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、 乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为( ) A. 䁡 B. C. D. 6. 设 晦 ሻ ൅ r 䁡 ൅݊䁡 ൅݊䁡 ൅ ൅ ，则 lim ൅ 晦 ǤǤǤ ൅ሻ ݊ 晦䁡 ǤǤǤ ൅݊䁡ሻ r 晦 ሻA. ݊ 䁡 B. C. 䁡 D. 䁡 7. 已知双曲线 ݊ r 䁡 的准线过椭圆 r 䁡 的焦点，则直线 r 䁮 与椭 圆至多有一个交点的充要条件是（ ） A. 䁮 ݊ 䁡 䁡 B. 䁮 ݊ ݊ 䁡 䁡 C. 䁮 ݊ D. 䁮 ݊ ݊ 8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 䁡 台洗衣机运往邻近的乡镇．现有 辆甲型 货车和 辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用 元，可装洗衣机 台； 每辆乙型货车运输费用 元，可装洗衣机 䁡 台．若每辆车至多只运一次，则该厂 所花的最少运输费用为 晦 ሻA. 元 B. 元 C. 元 D. 元 9. 设球的半径为时间 的函数 晦ሻ ．若球的体积以均匀速度 增长，则球的表面积 的增长速度与球半径． A.成正比，比例系数为 B.成正比，比例系数为 C.成反比，比例系数为 D.成反比，比例系数为 10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 他们研究过图 䁡 中的 䁡 ， ， ， 䁡 ，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三 角形数；类似地，称图 中的 䁡 ， ， ， 䁡 …这样的数成为正方形数．下列数中既是 三角形数又是正方形数的是（ ） 第 3页 共 14页 ◎ 第 4页 共 14页 A. B. 䁡 C. 䁡 D. 䁡䁞二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11. 已知关于 的不等式 ݊䁡 䁡 的解集 n ݊ 䁡 或 -݊ 䁡 ，则实数 r ________． 12. 如图是样本容量为 的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计， 样本数落在 䁡 内的频数为________，数据落在 晦䁡ሻ 内的概率约为________． 13. 如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面 区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播 年北京奥运会，我国发射了“中星 九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为 ________．已知地球半径 约为 ________，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约 为________．（结果中保留反余弦的符号）． 14. 已知函数 晦ሻ ＝ 晦 ሻ cos sin ，则 晦 ሻ 的值为________． 15. 已知数列 n൅ 满足： 䁡 r ൅ （ ൅ 为正整数）， ൅䁡 r ൅ ，当 ൅ 为偶数时， ൅ 䁡 ，当 ൅ 为奇数时， 若 r 䁡 ，则 ൅ 所有可能的取值为________． 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16. 一个盒子里装有 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 ， ， ， ；另一 个盒子也装有 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 ， ， ， ．现从一个盒 子中任取一张卡片，其上面的数记为 ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数 记为 ，记随机变量 r ，求 的分布列和数学期望． 17. 已知向量 r 晦 cos sin ሻ ， r 晦 cos sin ሻ ， r 晦 ݊ 䁡ሻ ． （1）求向量 的长度的最大值； （2）设 r ，且 晦 ሻ ，求 cos 的值． 18. 如图，四棱锥 ݊ 䁞 的底面是正方形， 平面 䁞 ， ＝ ， 䁞 r ，点 是 上的点，且 ＝ 晦 ሻ 晦 Ⅰ ሻ 求证：对任意的 晦ሻ ，都有 䁞 晦 Ⅱ ሻ 设二面角 ݊ 䁞 ݊ 的大小为 ，直线 与平面 䁞 所成的角为 ，若 tan tan ＝ 䁡 ，求 的值． 第 5页 共 14页 ◎ 第 6页 共 14页 19. 已知数列 n൅ 的前 ൅ 项和 ൅ r݊ ൅ ݊ 晦 䁡 ሻ ൅݊䁡 晦൅ ሻ ． （1）令 ൅ r ൅ ൅ ，求证：数列 n൅ 是等差数列，并求数列 n൅ 的通项公式． （2）令 ൅ r ൅䁡 ൅ ൅ ， ൅ r 䁡 ൅ ，试比较 ൅ 与 ൅ ൅䁡 的大小，并予以证明． 20. 过抛物线 r 晦 - ሻ 的对称轴上一点 䁞晦ሻ晦 - ሻ 的直线与抛物线相交于 、 两点，自 、 向直线 Ͳ r݊ 作垂线，垂足分别为 䁡 、 䁡 ． 晦㤱ሻ 当 r 时，求证： 䁞䁡 䁞䁡 ； 晦㤱㤱ሻ 记 䁞䁡 、 䁞䁡䁡 、 䁞䁡 的面积分别为 䁡 、 、 ，是否存在 ，使得对任 意的 - ，都有 r 䁡 成立？若存在，求出 的值，否则说明理由． 21. 在 上定义运算： r݊ 䁡 晦 ݊ ሻ晦 ݊ ሻ （ 、 是常数），已知 䁡晦ሻ r ݊ ， 晦ሻ r ݊ ， 晦ሻ r 䁡晦ሻ晦ሻ ． ①如果函数 晦ሻ 在 r 䁡 处有极值 ݊ ，试确定 、 的值； ②求曲线 r 晦ሻ 上斜率为 的切线与该曲线的公共点； ③记 晦ሻ r 晦ሻ晦 ݊ 䁡 䁡ሻ 的最大值为 ，若 䁮 对任意的 、 恒成立， 试求 䁮 的取值范围．（参考公式： ݊ r 晦 ሻ晦 ݊ ሻ ） 第 7页 共 14页 ◎ 第 8页 共 14页 参考答案与试题解析 2009 年湖北省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1.A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11. ݊ 12. , Ǥ13. 䁮൅ , 䁮൅ , 䁡 arccos 䁮൅14. 䁡15. ， ， 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16.解：随机变量 r ，依题意 的可能取值是 ， ， 䁞 ， ， ， 䁡 ， 䁡䁡 . 得到 晦 r ሻ r 䁡 䁡 r 䁡 䁡 ； 晦 r ሻ r 䁡 ， 晦 r 䁞ሻ r 䁡 ； 晦 r ሻ r 䁡 ， 晦 r ሻ r 䁡 ； 晦 r 䁡ሻ r 䁡 ， 晦 r 䁡䁡ሻ r 䁡 䁡 . ∴ 的分布列为： 䁞 䁡 䁡䁡 䁡 䁡 䁡 䁡 䁡 䁡 䁡 䁡 䁡∴ r 䁡 䁡 䁡 䁞 䁡 䁡 䁡 䁡 䁡 䁡䁡 䁡 䁡 r . 17.解： 晦䁡ሻ r 晦 cos ݊ 䁡 sin ሻ ，则 r 晦 cos ݊ 䁡ሻ sin r 晦䁡 ݊ cos ሻ ． ∵ ݊ 䁡 cos 䁡 ， ∴ ，即 ． 当 cos r݊ 䁡 时，有 r ， 所以向量 的长度的最大值为 ． （2）由（1）可得 r 晦 cos ݊ 䁡 sin ሻ ， 晦 ሻ r cos cos sin sin ݊ cos r cos 晦 ݊ ሻ ݊ cos ． ∵ 晦 ሻ ， ∴ 晦 ሻ r ，即 cos 晦 ݊ ሻ r cos ． 由 r ，得 cos 晦 ݊ ሻ r cos ， 即 ݊ r 䁮 晦䁮 ሻ ， ∴ r 䁮 或 r 䁮 ， 䁮 ，于是 cos r 或 cos r 䁡 ． 18.（1）证法 䁡 ：如图 䁡 ，连接 、 ，由地面 䁞 是正方形可得 䁞 ． ∵ 平面 䁞 ，∴ 是 在平面 䁞 上的射影，∴ 䁞 （2）解法 䁡 ：如图 䁡 ，由 平面 䁞 知， ＝ ， ∵ 平面 䁞 ， 平面 䁞 ，∴ ． 第 9页 共 14页 ◎ 第 10页 共 14页 又底面 䁞 是正方形，∴ 䁞 ，而 䁞 ＝ ， 平面 䁞 ． 连接 䁞 、 ，过点 在平面 䁞 内作 䁞 于 ，连接 ，则 䁞 ， 故 是二面角 ݊ 䁞 ݊ 的平面角，即 ＝ ． 在 中，∵ ＝ ， ＝ ∴ tan r r 在 䁞 中，∵ 䁞 r ， ＝ ∴ 䁞 ＝ 从而 r 䁞 䁞 r 在 中，tan r r ． 由 tan tan ＝ 䁡 ，得 r 䁡 即 r ，所以 ＝ ． 由 ，解得 r ，即为所求． （1）证法 ：以 为原点，以 䁞 ． ． 的方向分别作为 ， ， 轴的正方向建 立如 图 所示的空间直角坐标系，则 晦ሻ ， 䁞晦 ሻ ， 晦 ሻ ， 晦 ሻ ， 晦ሻ ， ∴ 䁞 r 晦 ݊ ሻ ， r 晦 ݊ ሻ∴ 䁞 r ݊ ݊ r ，即 䁞 ． （2）解法 ： 由 晦㤱ሻ 得 䁞 r 晦 ݊ ሻ ， r 晦 ݊ ሻ ， r 晦 ݊ ݊ ሻ ． 设平面 䁞 的法向量为 ൅ ＝ 晦ሻ ，则由 ൅ 䁞 ൅ ， 得 ൅ 䁞 r ൅ r 即 ݊ r ݊ r 取 r ，得 ൅晦 ሻ ． 易知平面 䁞 与平面 䁞 的一个法向量分别为 r 晦ሻ 与 r 晦 ሻ ． ∴ sin r r ，cos r ൅ ൅ r ． ∵ ， - ∴ tan tan ＝ 䁡 r sin ＝cos r ＝ ． 由 ，解得 r ，即为所求． 19.解：（1）在 ൅ r݊ ൅ ݊ 晦 䁡 ሻ ൅݊䁡 晦൅ ሻ 中，令 ൅ r 䁡 ，可得 䁡 r݊ 䁡 ݊ 䁡 r 䁡 ，即 䁡 r 䁡 当 ൅ 时， ൅݊䁡 r݊ ൅݊䁡 ݊ 晦 䁡 ሻ ൅݊ 所以 ൅ r ൅ ݊ ൅݊䁡 r݊ ൅ ൅݊䁡 晦 䁡 ሻ ൅݊䁡 所以 ൅ r ൅݊䁡 晦 䁡 ሻ ൅݊䁡 ，即 ൅ ൅ r ൅݊䁡 ൅݊䁡 䁡因为 ൅ r ൅ ൅ ，所以 ൅ r ൅݊䁡 䁡 ，即当 ൅ 时， ൅ ݊ ൅݊䁡 r 䁡又 䁡 r 䁡 r 䁡 ，所以数列 ൅ 是首项和公差均为 䁡 的等差数列 于是 ൅ r 䁡 晦൅ ݊ 䁡ሻ 䁡 r ൅ r ൅ ൅ ，所以 ൅ r ൅ ൅ （2）由 䁡ሻ 得 ൅ r ൅䁡 ൅ ൅ r 晦൅ 䁡ሻ晦 䁡 ሻ ൅ 所以 ൅ r 䁡 晦 䁡 ሻ 晦൅ 䁡ሻ 晦 䁡 ሻ ൅ ① 䁡 ൅ r 晦 䁡 ሻ 晦 䁡 ሻ ൅ 晦 䁡 ሻ ൅ 晦൅ 䁡ሻ 晦 䁡 ሻ ൅䁡 ② 由①-②得 䁡 ൅ r ݊ ൅ ൅䁡 第 11页 共 14页 ◎ 第 12页 共 14页 所以 ൅ r ݊ ൅ ൅ ൅ ݊ ൅ ൅䁡 r ݊ ൅ ൅ ݊ ൅ ൅䁡 r 晦൅ሻ晦൅ ݊൅݊䁡ሻ ൅ 晦൅䁡ሻ于是确定 ൅ 与 ൅ ൅䁡 的大小关系等价于比较 ൅ 与 ൅ 䁡 的大小． 猜想当 ൅ r 䁡 ， 时， ൅ ൅ 䁡 ，当 ൅ 时， ൅ - ൅ 䁡下面用数学归纳法证明： 当 ൅ r 时，显然成立 假设当 ൅ r 䁮晦䁮 ሻ 时， 䁮 - 䁮 䁡 成立 则当 ൅ r 䁮 䁡 时， 䁮䁡 r 䁮 - 晦䁮 䁡ሻ r 䁮 r 晦䁮 䁡ሻ 䁡 晦䁮 ݊ 䁡ሻ - 晦䁮 䁡ሻ 䁡所以当 ൅ r 䁮 䁡 时，猜想也成立． 于是，当 ൅ ， ൅ 时， ൅ - ൅ 䁡 成立 综上所述，当 ൅ r 䁡 ， 时， ൅ ൅ ൅䁡 ， 当 ൅ 时， ൅ - ൅ ൅䁡20.解：依题意，可设直线 的方程为 r ൅ ， 晦䁡䁡ሻ ， 晦ሻ ，则有 䁡晦 ݊ 䁡ሻ ， 䁡晦 ݊ ሻ ． 将 r ൅ 代入 r 晦 - ሻ 消去 可得 ݊ ൅ ݊ r 从而有 䁡 r ൅ ， 䁡 r݊ ① 于是 䁡 r ൅晦䁡 ሻ r 晦൅ ሻ② 又由 䁡 r 䁡 ， r 可得 䁡 r 晦䁡ሻ r 晦݊ሻ r ③ 晦㤱ሻ 证：如图，当 r 时，点 䁞晦 ሻ 即为抛物线的焦点， 为其准线，其方程为 r݊ 此时 䁡晦 ݊ 䁡ሻ ， 䁡晦 ݊ ሻ ．并由 ①可得 䁡 r݊ ∵ 䁞䁡 r 晦 ݊ 䁡ሻ ， 䁞䁡 r 晦 ݊ ሻ ， ∴ 䁞䁡 䁞䁡 r 晦 ݊ 䁡ሻ 晦 ݊ ሻ r 䁡 r ，故有 䁞䁡 䁞䁡 ； 晦㤱㤱ሻ 存在 r ，使得对任意的 - ，都有 r 䁡 成立，证明如下： 证：记直线 与 轴的交点为 䁞䁡 ，则 ܱ䁞 r ܱ䁞䁡 r ． 于是有 䁡 r 䁡 䁡䁞䁡䁡 r 䁡 晦䁡 ሻ䁡 ， r 䁡 䁡䁡䁞䁞䁡 r 䁡 ݊ ， r 䁡 䁡䁞䁡䁡 r 䁡 晦 ሻ ， ∴ r 䁡 晦䁡 ݊ ሻ ） r 晦 䁡 晦䁡 ሻ䁡ሻ 晦 䁡 晦 ሻሻ 晦䁡 ሻ ݊ 䁡 r 䁡 晦䁡 ሻ 䁡将①、②、③代入上式化简可得 晦൅ ሻ r 晦൅ ሻ 上式恒成立，即对任意的 - ， r 䁡 成立 21.解：①依题意 晦ሻ r݊ 䁡 ， 解 晦䁡ሻ r݊ 晦䁡ሻ r 得 r 䁡 r݊ 䁡 或 r݊ 䁡 r ． 第 13页 共 14页 ◎ 第 14页 共 14页 若 r 䁡 r݊ 䁡 ， 晦ሻ r݊ 䁡 ݊ ݊ 䁡 ， 晦ሻ r݊ ݊ 䁡 r݊ 晦 ݊ 䁡ሻ 晦ሻ 在 上单调递减， 在 r 䁡 处无极值；若 r݊ 䁡 r ， 晦ሻ r݊ 䁡 ݊ ݊ ， 晦ሻ r݊ ݊ r݊ 晦 ݊ 䁡ሻ晦 ሻ ，直接讨论知， 晦ሻ 在 r 䁡 处有极大值，所以 r݊ 䁡 r 为所求． ②解 晦ሻ r 得 r 或 r ，切点分别为 晦ሻ 、 晦 ሻ ， 相应的切线为 r 或 r ． 解 r݊ 䁡 得 r 或 r ； 解 r݊ 䁡 即 ݊ r 得 r݊ 或 r ． 综合可知， r 时，斜率为 的切线只有一条，与曲线的公共点只有 晦ሻ ， 时， 斜率为 的切线有两条，与曲线的公共点分别为 晦ሻ 、 晦ሻ 和 晦 ሻ 、 晦 ݊ ሻ ． ③ 晦ሻ r ݊ 晦 ݊ ሻ ．若 - 䁡 ，则 晦ሻ 在 ݊ 䁡䁡 是单调函数， r max n晦 ݊ 䁡ሻ晦䁡ሻ r n ݊ 䁡 ݊ 䁡 ݊ ， 因为 晦䁡ሻ 与 晦 ݊ 䁡ሻ 之差的绝对值 晦䁡ሻ ݊ 晦 ݊ 䁡ሻ r - ，所以 - ． 若 䁡 ， 晦ሻ 在 r ݊ 䁡䁡 取极值， 则 r max n晦 ݊ 䁡ሻ晦䁡ሻ晦ሻ ， 晦ሻ ݊ 晦 䁡ሻ r 晦 ∓ 䁡ሻ ． 若 ݊ 䁡 ， 晦䁡ሻ 晦 ݊ 䁡ሻ 晦 r max n 晦䁡ሻ ， 晦ሻ 䁡 晦䁡ሻ ݊ 晦ሻ r 䁡 晦 ݊ 䁡ሻ - 䁡 ； 若 䁡 ， 晦 ݊ 䁡ሻ 晦䁡ሻ 晦ሻ ， r max n晦 ݊ 䁡ሻ晦ሻ 䁡 晦 ݊ 䁡ሻ ݊ 晦ሻ r 䁡 晦 䁡ሻ 䁡 ． 当 r ， r 䁡 时， 晦ሻ r 晦ሻ r ݊ 䁡 在 ݊ 䁡䁡 上的最大值 r 䁡 ． 所以， 䁮 的取值范围是 晦 ݊ 䁡 ．