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- 2021-06-15 发布
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2019~2020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习
数学
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.在复平面内,复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
【详解】在复平面内,复数==1﹣i对应的点(1,﹣1)位于第四象限.
故选D.
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
2.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据交集运算,即可得答案;
【详解】,,
,
故选:D.
【点睛】本题考查集合的交运算,考查运算求解能力,属于基础题.
3.已知等差数列的前n项和为,,,则等于( )
- 21 -
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列的通项公式可求得的值,再代入前项和公式,即可得答案;
【详解】
,
故选:B.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式,考查运算求解能力,属于基础题.
4.下列函数中,在区间上单调递增且存在零点的是( )
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的零点为方程的根,结合解析式判断函数的单调性,即可得答案;
【详解】对A,方程无解,不存在零点,故A错误;
对B,无解,不存在零点,故B错误;
对D,在单调递减,在单调递增,在不具有单调性,故D错误;
故选:C.
【点睛】本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性,考查转化与化归思想,属于基础题.
5.在的展开式中,只有第三项的二项式系数最大,则含项的系数等于( )
- 21 -
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据展开式的第三项的二项式系数最大可得,再由二项式展开式的通项公式,即可得答案;
【详解】由题意得,
,
当时,,
含项的系数等于,
故选:A.
【点睛】本题考查二项式定理的运用,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意二项式系数与系数的区别.
6.若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2,则M到其顶点O的距离等于( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设点,根据焦半径公式可求得的坐标,再利用两点间的距离公式,即可得答案;
【详解】设点,为抛物线的焦点,
,,
,
故选:C.
【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式,考查运算求解能力,属于基础题.
- 21 -
7.已知数列是等比数列,它的前项和为,则“对任意,”是“数列为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据这一关系,即可得答案;
【详解】,
,,“数列为递增数列”,
若“数列为递增数列”,则,
“对任意,”是“数列为递增数列”的充分必要条件,
故选:C.
【点睛】本题考查与的关系、充分必要条件的判断,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8.某四棱锥的三视图如图所示,如果方格纸上小正方形的边长为,那么该几何体的最长棱的棱长为( )
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图可得,该几何体是四棱锥
- 21 -
,再计算各条棱的长度,即可得答案;
【详解】根据几何体的三视图可得,该几何体是四棱锥
,,,,,,
该几何体的最长棱的棱长为,
故选:D.
【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、棱长的计算,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意准确还原几何体的直观图是关键.
9.已知函数.若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根,则的最大整数值为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法求出的取值范围,再根据三角函数的图象得到的不等式,即可得答案;
详解】令,,,
的图象如图所示,
关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根,
- 21 -
在上有且仅有两个不相等的实根,
,
的最大整数值为,
故选:B.
【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意换元后新元取值范围.
10.如图,假定两点,以相同的初速度运动.点沿直线作匀速运动,;点沿线段(长度为单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离().令与同时分别从,出发,那么,定义为的纳皮尔对数,用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是,其中e为自然对数的底.当点从线段的三等分点移动到中点时,经过的时间为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设运动点三等分点的时间为,此时运动的距离为,运动点中点的时间为,此时运动的距离为,再利用做匀速运动,利用路程除以速度可得时间.
【详解】设运动点三等分点的时间为,此时运动的距离为,运动点中点的时间为,此时运动的距离为,
两点,以相同的初速度运动,设点的运动速度为,
,,
- 21 -
,,
,
故选:D.
【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意对数运算法则的运用.
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知向量,, 若,则_______;
【答案】
【解析】
分析】
根据向量平行,向量坐标交叉相乘相等,即可得答案;
【详解】,,
故答案为:.
【点睛】本题考查向量平行的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题.
12.若函数在区间上单调减区间,则m的一个值可以是_______;
【答案】(答案不唯一,只要)
【解析】
【分析】
由题意可得在区间上恒成立,即可得答案;
【详解】,,
在区间上恒成立,
在区间上恒成立,
取,显然恒成立,
- 21 -
故答案为:.
【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质,考查运算求解能力,求解时注意结合三角函数的图象进行求解.
13.若对任意,关于x的不等式恒成立,则实数的范围是_______;
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的最小值,即可得到答案;
【详解】,,等号成立当且仅当,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围,考查运算求解能力.
14.已知为函数图象上两点,其中.已知直线AB的斜率等于2,且,则_______;______;
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据斜率公式和两点间的距离公式,即可求得答案;
【详解】直线AB的斜率等于2,且,
且,
解得:,
,;
;
故答案为:;.
【点睛】本题考查直线的斜率公式和两点间的距离公式,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力运算求解能力,求解时注意对数的运算法则的应用.
- 21 -
15.在直角坐标系中,双曲线()离心率,其渐近线与圆 交轴上方于两点,有下列三个结论:
① ;
②存在最大值;
③ .
则正确结论的序号为_______.
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围,再根据直线与圆的位置关系及弦长,即可得答案;
【详解】,,
对①,根据向量加法的平行四边形法则,结合,可得成立,故①正确;
对②,,由于,没有最大值,没有最大值,
故②错误;
对③,当时,,
,又,,
,故③正确;
- 21 -
故答案为:①③.
【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
三、解答题共6题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.在中,,,且的面积为.
(1)求a的值;
(2)若D为BC上一点,且 ,求的值.
从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
【答案】(1);(2)选①,;选②,.
【解析】
【分析】
(1)利用三角形的面积公式得,再利用余弦定理,即可得答案;
(2)①当时,由正弦定理,可求得,再由,可求得答案;②当时,由余弦定理和诱导公式,可求得答案;
【详解】(1) 由于 ,,,
所以,
由余弦定理 ,
解得.
(2)①当时,
在中,由正弦定理,
即,所以.
因为,所以.
所以,
- 21 -
即.
②当时,
在中,由余弦定理知,
.
因为,所以,
所以,
所以 ,
即.
【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
17.为了调查各校学生体质健康达标情况,某机构M采用分层抽样的方法从校抽取了名学生进行体育测试,成绩按照以下区间分为七组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如下频率分布直方图.根据规定,测试成绩低于60分为体质不达标.已知本次测试中不达标学生共有20人.
(1)求的值;
(2)现从校全体同学中随机抽取2人,以频率作为概率,记表示成绩不低于90分的人数,求的分布列及数学期望;
(3)另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试,并用简单随机抽样方法抽取了100名学生,经测试有20名学生成绩低于60分.计算两家机构测试成绩的不达标率,你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理,说明理由.
- 21 -
【答案】(1);(2)分布列详见解析,数学期望为0.2;(3)用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理,理由详见解析.
【解析】
【分析】
(1)由频率分布直方图知,,解方程可得的值;
(2)由图知,每位学生成绩不低于90分的频率为,由已知的所有可能取值为,再根据二项分布,即可得答案;
(3)机构M抽测的不达标率为 ,机构N抽测的不达标率为,再从样本能否较好反映总体的分布情况说明理由.
【详解】(1)由频率分布直方图知,,
解得.
(2)由图知,每位学生成绩不低于90分的频率为 ,
由已知,的所有可能取值为,
则,
,
.
所以的分布列为
X
0
1
2
P
0.81
0.18
0.01
所以.
(3)机构M抽测的不达标率为 ,
机构N抽测的不达标率为.
(以下答案不唯一,只要写出理由即可)
- 21 -
①用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理.
理由:机构M选取样本时使用了分层抽样方法,样本量也大于机构N,样本更有代表性,所以,能较好反映了总体的分布.
②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理.
理由:尽管机构N的样本量比机构M少,但由于样本的随机性,不能排除样本较好的反映了总体的分布,所以,没有充足的理由否认机构N的成绩更合理.
【点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、样本与总体的关系,考查数据处理能力,求解时注意在说理由时要根据统计的相关知识来回答.
18.如图,在三棱柱中,,,,是的中点,E是棱上一动点.
(1)若E是棱的中点,证明:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)是否存在点E,使得,若存在,求出E的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)不存在,理由详见解析.
【解析】
【分析】
(1)取中点为,连结,证明,再利用线面平行判定定理,即可证得结论;
(2)先证明两两垂直,再建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的法向量,平面ABC的法向量为,再利用向量的夹角公式,即可得答案;
- 21 -
(3)设,由,解得与假设矛盾,从而得到结论.
【详解】(1)证明:取中点为,连结,
在中,因为为的中点,
所以且.
又因为是的中点,,
所以且,
所以为平行四边形
所以.
又因为平面, .
平面,
所以平面.
(2)连结,
因为是等边三角形,是的中点,
所以,
因为,,
所以.
因为平面平面,
平面平面,
平面,
- 21 -
所以平面,
所以两两垂直.
如图,建立空间直角坐标系,
则,,,
,
设平面的法向量为,
则,
即,
令,则,,
所以.
平面ABC的法向量为,
.
又因为二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
(3),,
设,
- 21 -
则,
所以,,
所以,
假设,
则,解得,
这与已知矛盾.不存在点E.
【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂直,考查转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力.
19.已知椭圆的离心率为,且经过点,一条直线与椭圆C交于,两点,以为直径的圆经过坐标原点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求证:为定值.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
【分析】
(1)因为椭圆经过点,所以,再根据离心率,即可求得椭圆的方程;
(2)①若直线的斜率存在时,,,,与椭圆方程联立,由可得,从而得到的关系,结合点到直线的距离公式,可证明结论;②若直线的斜率不存在,则有,可证结论也成立.
【详解】(1)因为椭圆经过点,所以,
又因为,则,由,得,
所以椭圆的标准方程为.
- 21 -
(2)①若直线的斜率存在时,设,与椭圆方程联立得:
,有,
由题意,,设,,
所以,.
因为以为直径的圆过原点,
由,得 ,
即,整理得,
,
而
设h为到的距离,则
所以,
而,
所以.
②若直线的斜率不存在,则有,
不妨设,设,有,
代入椭圆方程得,,
,
即,
- 21 -
综上.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、椭圆中的定值问题,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意对斜率进行讨论.
20.已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)求证:函数有且只有一个零点.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
【分析】
(1)对函数进行求导,求出切线的斜率和切点坐标,即可得答案;
(2)函数的定义域为,要使函数有且只有一个零点,只需方程有且只有一个根,即只需关于x的方程在上有且只有一个解,利用导数可得函数在单调递增,再利用零点存在定理,即可得答案;
【详解】(1)当时,函数,,,
,,
所以函数在点处的切线方程是.
(2)函数的定义域为,
要使函数有且只有一个零点,只需方程有且只有一个根,
即只需关于x的方程在上有且只有一个解.
设函数,
则,
令,
则,
- 21 -
由,得.
x
单调递减
极小值
单调递增
由于,
所以,
所以在上单调递增,
又,,
①当时, ,函数在有且只有一个零点,
②当时,由于,所以存在唯一零点.
综上所述,对任意的函数有且只有一个零点.
【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明函数的零点个数,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意对函数进行二次求导的运用.
21.已知数列满足:对任意的,若,则,且,设集合,集合中元素最小值记为,集合中元素最大值记为.
(1)对于数列:,写出集合及;
(2)求证:不可能为18;
(3)求的最大值以及的最小值.
【答案】(1),,;(2)详见解析;(3)的最大值为17, 的最小值为16.
- 21 -
【解析】
【分析】
(1)由题意易得,,.
(2)利用反证法,假设,可推出,这一集合元素互异性的矛盾;
(3)首先求,由(2)知,而是可能的;再证明:的最小值为16.
【详解】(1)由题意易得,,.
(2)证明:假设,
设,
则=,
即,因为,所以,
同理,设,可以推出,
中有两个元素为1,与题设矛盾,故假设不成立,
不可能为18.
(3)的最大值为17,的最小值为16.
①首先求,由(2)知,而是可能的.
当时,
设
则=
即,
又
得,即.
同理可得:.
对于数列:
此时,,满足题意.
所以的最大值为17;
- 21 -
②现证明:的最小值为16.
先证明为不可能的,假设.
设,
可得,即,元素最大值为10,所以.
又,
同理可以推出,矛盾,假设不成立,所以.
数列为:时,
,,中元素的最大值为16.
所以的最小值为16.
【点睛】本题考查集合的新定义和反证法的运用,考查反证法的证明,考查逻辑推理能力、运算求解能力,属于难题.
- 21 -
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