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- 2021-06-15 发布
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内江天立高中第二学期模拟考试
高一年级 数学试卷
满分:150分时间:120分钟
第Ⅰ卷(共60分)
一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分).
1.1和4的等差中项和等比中项分别是( )
A.5,2 B.5,-2 C.,4 D.,
2.平面向量与的夹角为,且,为单位向量,则( )
A. B. C.19 D.
3.已知数列为等差数列,若,则的值为( )
A.- B. C. D.
4.设,,则的值是( )
A. B. C. D.
5.设点D为△ABC中BC边上的中点,O为AD边上靠近点A的三等分点,则( )
A. B.
C. D.
6.中,角所对应的边分别为,表示三角形的面积,且满足,则( )
A. B. C.或 D.
7.等差数列的前项和为,若,,则( ).
A.39 B.29 C.28 D.24
8.在中,角所对应的边分别为,且满足,则的形状为( )
A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
9.如图,在中,,,点为的中点,,则的值为( )
A. B. C. D.
10.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )
A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺
11.如图,要测量底部不能到达的某铁塔的高度,在塔的同一侧选择,两观测点,且在,两点测得塔顶的仰角分别为,.在水平面上测得,,两地相距,则铁塔的高度是( )
A. B. C. D.
12.在锐角中,,则的取值范围是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)已知向量,则在方向上的投影为______.
14.已知数列的前项和,则______
15.(5分)的内角的对边分别为,若其外接圆半径,,,则__________.
16.已知数列满足,,是递增数列,是递减数列,则__________.
三、解答题(本大题共6小题,17题10分,其余各题每题12分,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知平面向量.
(1)若,求x的值;
(2)若,求与的夹角的余弦值.
18.等比数列的各项均为正数,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列前项和.
19.如图,在平面四边形中,,,,,.
(1)求;
(2)求的长.
20.(12分)已知数列满足,.
(1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设,数列的前n项和为,求使不等式<对一切恒成立的实数的范围.
21.已知函数.
(I)当时,求的值域;
(II)已知的内角的对边分别为,,,求的面积.
22.已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1)求;
(2)设.且数列的前项为,求证:.
参考答案
1.D 2.B 3.A 4.A 5.D 6.B 7.A8.A
由正弦定理得,则,
因此在中,或,即或.
9.A.
10.C解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,
∴,解得,,
∴小满日影长为(尺).
11.D详解:设,则,,
在中,由余弦定理知,
解得米,(舍去).故铁塔的高度为600米.
12.D在锐角中,
可得,,
所以由正弦定理可知
,故选D.
13.在方向上的投影为
14.当时,,当时,,
因为,不适合上式,所以.
15.由得,由得,则,.
16.分析:先判断,可得,,根据等差数列的通项公式可得结果.
详解:是递增数列,,,
,
,又成立,
由是递减数列,,同理可得,
,,是首项为,公差为的等差数列,故,故答案为.
17.(1)平面向量,若,则,解得;
(2)若,则,即,解得,∴,∴与的夹角的余弦值为.
18.(1)设等比数列的公比为,则,由题意得,解得,
因此,;
(2),,
所以,数列是等差数列,首项为,
设数列前项和为,则.
19.【详解】(1)因为,,
所以
在中,,所以
(2)在中,由正弦定理得,即,解得
因为,,所以,
在中,,根据余弦定理,
解得
20.【详解】(1)∵,两边取倒数,∴,即,又,
∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,∴,∴.
(2)由(1)得,
∴=,
要使不等式Sn<对一切恒成立,则.
∴的范围为:.
21.解析:(I)由题意知,由.
∵,∴,∴,∴.
(II)∵,∴,∵,∴,
∵,∴由余弦定理可得,∴,∴.
22.(1)由题意得,两式作差得,
又数列各项均为正数,,即,
当时,有,得,则,
故数列为首项为2公差为2的等差数列,.
(2),
,
,,从而左边不等式得证;
又关于递减,①.
而
②
结合①②,,从而右边不等式得证;综上,不等式得证.