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- 2021-06-15 发布
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1
江苏省镇江市八校 2021 届高三上学期期中联考
数学试题
2020.11
一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
1.已知 A= 2log , 1y y x x ,B=
1 , 2y y x
x
,则 A B=
A.[
1
2
, ) B.(0,
1
2
)
C.(0, ) D.(,0) [
1
2
, )
2.已知
i i
1 2i
a
(i 为虚数单位,aR),则 a=
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
3.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪方先胜三局比赛都结束,假
定甲每局比赛获胜的概率均为
2
3
,则甲以 3:1 的比分获胜的概率为
A.
8
27
B.
64
81
C.
4
9
D.
8
9
4.“sin2 =
4
5
”是“tan =2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知二面角 —l— ,其中平面的一个法向量m
=(1,0,﹣1),平面 的一个法向量
n
=(0,﹣1,1),则二面角 —l— 的大小可能为
A.60° B.120° C.60°或 120° D.30°
6.曲线
2y x x 在点(1,0)处的切线方程是
A. 2 1 0x y B. 2 1 0x y C. 1 0x y D. 1 0x y
7.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,
34,55,…即 (1) (2) 1F F , ( ) ( 1) ( 2)F n F n F n (n≥3,n N ),此数列在
2
现代物理、化学等方面都有着广泛的应用,若此数列的每一项被 2 除后的余数构成一个
新数列 na ,则数列 na 的前 2020 项的和为
A.1348 B.1358 C.1347 D.1357
8.已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ,公差 d>0, 6a 和 8a 是函数
215 1( ) ln
4 2
f x x x
8x 的极值点,则 8S =
A.﹣38 B.38 C.﹣17 D.17
二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.在每小题给出的四个选项中,
至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
9.如图 PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面,点 C 是圆上
异于 A,B 的任一点,则下列结论中正确的是
A.PC⊥BC
B.AC⊥平面 PBC
C.平面 PAB⊥平面 PBC
D.平面 PAC⊥平面 PBC
10.已知函数
2 2( ) sin 2 3sin cos cosf x x x x x ,xR,则 第 9 题
A.﹣2≤ ( )f x ≤2 B. ( )f x 在区间(0, )上只有 1 个零点
C. ( )f x 的最小正周期为 D.
3
x
为 ( )f x 图象的一条对称轴
11.如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂
直的两个平面后,某学生得出下列四个结论,其中正确的是
A.BD AC 0
B.∠BAC=60°
C.三棱锥 D—ABC 是正三棱锥
D.平面 ADC 的法向量和平面 ABD
的法向量互相垂直 第 11 题
12.已知圆 C:(x﹣3)2+(y﹣3)2=72,若直线 x+y﹣m=0 垂直于圆 C 的一条直径,且经过
这条直径的一个三等分点,则 m=
A.2 B.4 C.6 D.10
三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.请把答案填写在答题卡相应位置
上)
13.不等式
2 0
3
x
x
的解集是 .
14.已知随机变量 X 的概率分布如表所示,其中 a,b,c成等比数列,当 b取最大值时,
E(X)= .
3
X ﹣1 0 1
P a b c
15.在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等
腰三角形(如图①中阴影部分),折叠成底面边长
为 2 的正四棱锥 S—EFGH(如图②),则正四棱
锥 S—EFGH 的体积为 .
第 15 题
16.数列 na 的前 n项和为 nS ,定义 na 的“优值”为
1
1 22 2n
n
n
a a aH
n
,现
已知 na 的“优值” 2nnH ,则 na , nS .
四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)
设函数
1 1( )
2
f x
x
,正项数列 na 满足 1 1a ,
1
1( )n
n
a f
a
,n N ,且 n≥2.
(1)求数列 na 的通项公式;
(2)求证:
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1 2
n na a a a a a a a
.
18.(本小题满分 12 分)
在①sinBsinC=
1
4
;②tanB+tanC=
2 3
3
这两个条件中任选一个,补充到下面问题中,
并进行作答.
在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,tanBtanC=
1
3
,a= 2 3 , .
(1)求角 A,B,C 的大小;
(2)求△ABC 的周长和面积.
19.(本小题满分 12 分)
4
在直角坐标系 xOy中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线 3 4x y 相切.
(1)求圆 O 的方程;
(2)若圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且 MN 2 3 ,求直线 MN
的方程.
20.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD,
PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB 和 PD 的中点.
(1)求证:直线 AF∥平面 PEC;
(2)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.
21.(本小题满分 12 分)
偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试
成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,在某次考试成绩统计中,某老师为了对学生数学偏差
x(单位:分)与物理偏差 y(单位:分)之间的关系进行分析,随机挑选了 8 位同学,得
到他们的两科成绩偏差数据如下:
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学偏差 x 20 15 13 3 2 ﹣5 ﹣10 ﹣18
物理偏差 y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 ﹣0.5 ﹣2.5 ﹣3.5
(1)若 x与 y之间具有线性相关关系,求 y关于 x的线性回归方程;
(2)若该次考试该数学平均分为 120 分,物理平均分为 91.5 分,试由(1)的结论预
测数学成绩为 128 分的同学的物理成绩.
附参考公式:
1 1
22 2
1 1
( )( )
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
, a y bx .
22.(本小题满分 12 分)
5
已知函数
2 2( ) (2 4 ) lnf x x ax x x .
(1)当 a=1 时,求函数 ( )f x 在[1, )上的最小值;
(2)若函数 ( )f x 在[1, )上的最小值为 1,求实数 a的取值范围;
(3)若
1
e
a ,讨论函数 ( )f x 在[1, )上的零点个数.
参考答案
1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A
9.AD 10.ACD 11.BC 12.AD
13.(,﹣3) (2, ) 14.0 15.
4
3
16. 1n ,
( 3)
2
n n
17.
6
18.
19.
7
20.(1)
(2)
8
21.
22.
9