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- 2021-06-15 发布
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(文史类)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题: 本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,集合,则( )
(A) (B) (C) (D)
2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )
(A)棱柱 (B)棱台 (C)圆柱 (D)圆台
3.如图,在复平面内,点表示复数,则图中表示的共轭复数的点是( )
(A) (B) (C) (D)
4.设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则( )
(A) (B)
(C) (D)
5.抛物线的焦点到直线的距离是( )
(A) (B) (C) (D)
6.函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )
(A) (B) (C) (D)
7.某学校随机抽取个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为将数据分组成,,…,,时,所作的频率分布直方图是( )
8.若变量满足约束条件且的最大值为,最小值为,则的值是( )
(A) (B) (C) (D)
9.从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
(A) (B) (C) (D)
10.设函数(,为自然对数的底数).若存在使成立,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共25分.
11.的值是____ _.
12.如图,在平行四边形中,对角线与交于点,,则___ __ _.
13.已知函数在时取得最小值,则___ ___.
14.设,,则的值是________.
15.在平面直角坐标系内,到点,,,的距离之和最小的点的坐标是
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分) 在等比数列中,,且为和的等差中项,求数列的首项、公比及前项和.
17.(本小题满分12分) 在中,角的对边分别为,且
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.
18.(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生.
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率;
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,是线段上异于端点的点.
(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,求三棱锥的体积.(锥体体积公式:,其中为底面面积,为高)
20.(本小题满分13分)
已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于
两点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设是线段上的点,且.请将表示为的函数.
21.(本小题满分14分)
已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.
(Ⅰ)指出函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;
(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.B
2.D
3.B
4.C
5.D
6.A
7.A
8.C
9.C
10.A
11.1
12.2
13.36
14.
15.(2,4)
16.解:设的公比为q.由已知可得
,,
所以,,解得 或 ,
由于。因此不合题意,应舍去,
故公比,首项.
所以,数列的前项和. ……………………………………… 12分
17.解:(Ⅰ)由 得
,
则 ,即
又,则 . ……………………………………… 5分
(Ⅱ)由正弦定理,有 ,所以,
由题知,则 ,故.
根据余弦定理,有 ,
解得 或 (负值舍去),
向量在方向上的投影为. …………………………… 12分
18.解:(Ⅰ)变量是在这
个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能.
当从这12个数中产生时,输出y的值为1,故;
当从这8个数中产生时,输出y的值为2,故;
当从这4个数中产生时,输出y的值为3,故.
所以输出的值为1的概率为,输出的值为2的概率为,输出的值为3的概率为.
……………………………………… 6分
(Ⅱ)当时,甲、乙所编程序各自输出的值为的频率如下,
输出的值为1的频率
输出的值为2的频率
输出的值为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大.
……………………………………… 12分
19.解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点作直线,因为在平面外,BC在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,平面.
由已知,,是BC中点,所以BC⊥AD,则直线,
又因为底面,所以,
又因为AD,在平面内,且AD与相交,
所以直线平面. ……………………………………… 7分
(Ⅱ)过D作于E,因为平面,所以,
又因为AC,在平面内,且AC与相交,所以平面,
由,∠BAC,有,∠DAC,
所以在△ACD中,,
又,所以
因此三棱锥的体积为.……………………………………… 12分
20.解:(Ⅰ)将代入得 则 ,(*)
由得 .
所以的取值范围是. …………………………… 4分
(Ⅱ)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为,,则
,,又,
由得,,
所以
由(*)知 ,,
所以 ,
因为点Q在直线l上,所以,代入可得,
由及得 ,即 .
依题意,点Q在圆C内,则,所以 ,
于是,n与m的函数关系为 ()
…………………………… 13分
21.解:(Ⅰ)函数的单调减区间为,单调增区间为,. …………………………… 3分
(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,
故当点处的切线互相垂直时,有,
当x<0时,
因为,所以 ,所以,,
因此,
(当且仅当,即且时等号成立)
所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有.
…………………………… 7分
(Ⅲ)当或时,,故.
当时,的图象在点处的切线方程为
即 .
当时,的图象在点处的切线方程为
即 .
两切线重合的充要条件是,
由①及知,,
由①、②得 ,
令,则,且
设,则
所以为减函数,则,
所以,
而当且t趋向于0时,无限增大,
所以的取值范围是.
故当函数的图象在点处的切线重合时,的取值范围是.
…………………………… 14分
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