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- 2021-05-13 发布
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2018年江苏数学高考试卷
参考公式:
锥体的体积,其中是锥体的底面积,是锥体的高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,,那么 ▲ .
2.若复数满足,其中i是虚数单位,则的实部为 ▲ .
3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ .
4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为 ▲ .
5.函数的定义域为 ▲ .
6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为
▲ .
7.已知函数的图象关于直线对称,则的值是 ▲ .
8.在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是 ▲ .
9.函数满足,且在区间上, 则的值为
▲ .
10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ .
11.若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为 ▲ .
12.在平面直角坐标系中,A为直线上在第一象限内的点,,以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若,则点A的横坐标为 ▲ .
13.在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为 ▲ .
14.已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在平行六面体中,.
求证:(1);
(2).
16.(本小题满分14分)
已知为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
17.(本小题满分14分)
某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.
(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,
求直线l的方程.
19.(本小题满分16分)
记分别为函数的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明:函数与不存在“S点”;
(2)若函数与存在“S点”,求实数a的值;
(3)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“S点”,并说明理由.
20.(本小题满分16分)
设是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.
(1)设,若对均成立,求d的取值范围;
(2)若,证明:存在,使得对均成立,并求的取值范围(用表示).
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若,求 BC 的长.
B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵.
(1)求的逆矩阵;
(2)若点P在矩阵对应的变换作用下得到点,求点P的坐标.
C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,直线l的方程为,曲线C的方程为,求直线l被曲线C截得的弦长.
D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)
若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求的最小值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
23.(本小题满分10分)
设,对1,2,···,n的一个排列,如果当s0),
则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)
=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,).
设f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,),
则.
令,得θ=,
当θ∈(θ0,)时,,所以f(θ)为增函数;
当θ∈(,)时,,所以f(θ)为减函数,
因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.
答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.满分16分.
解:(1)因为椭圆C的焦点为,
可设椭圆C的方程为.又点在椭圆C上,
所以,解得
因此,椭圆C的方程为.
因为圆O的直径为,所以其方程为.
(2)①设直线l与圆O相切于,则,
所以直线l的方程为,即.
由,消去y,得
.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
所以.
因为,所以.
因此,点P的坐标为.
②因为三角形OAB的面积为,所以,从而.
设,
由(*)得,
所以
.
因为,
所以,即,
解得舍去),则,因此P的坐标为.
综上,直线l的方程为.
19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.
解:(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.
由f(x)=g(x)且f′(x)= g′(x),得
,此方程组无解,
因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.
(2)函数,,
则.
设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得
,即,(*)
得,即,则.
当时,满足方程组(*),即为f(x)与g(x)的“S”点.
因此,a的值为.
(3)对任意a>0,设.
因为,且h(x)的图象是不间断的,
所以存在∈(0,1),使得,令,则b>0.
函数,
则.
由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得
,即(**)
此时,满足方程组(**),即是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.
解:(1)由条件知:.
因为对n=1,2,3,4均成立,
即对n=1,2,3,4均成立,
即11,1d3,32d5,73d9,得.
因此,d的取值范围为.
(2)由条件知:.
若存在d,使得(n=2,3,···,m+1)成立,
即,
即当时,d满足.
因为,则,
从而,,对均成立.
因此,取d=0时,对均成立.
下面讨论数列的最大值和数列的最小值().
①当时,,
当时,有,从而.
因此,当时,数列单调递增,
故数列的最大值为.
②设,当x>0时,,
所以单调递减,从而