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- 2021-06-15 发布
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深圳市第二高级中学2019-2020学年度第四学段考试
高一数学试卷
时间:120分钟 满分:150分
注意事项:
1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2.答题前,考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效。考试结束后,将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知平面向量,,则向量( )
A. B. C. D.
2.设向量,,若,则实数( )
A.2或-4 B.2 C.或 D.-4
3.在△中,,,,则( )
A. B. C. D.
4.如下图的矩形长为5,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为138颗,则我们可以估计出阴影部分的面积为( )
A. B. C.10 D.不能估计
5.下列图形中,不是三棱柱展开图的是( )
A. B. C. D.
6.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则直线a,c的位置关系为( )
A.相交、平行或异面 B.相交或平行
C.异面 D.平行或异面
7.关于某设备的使用年限(单位:年)和所支出的维修费用
(单位:万元)有如下统计数据表:
使用年限
维修费用
根据上表可得回归直线方程,据此估计,该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
8.设非零向量,满足,则( )
A. B. C.// D.
9.在△ABC中,如果,那么cosC =( )
A. B. C. D.
10.设是直线,,是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
11.在△中,为边上的中线,为的中点,则向量( )
A. B.
C. D.
12.设的内角,,的对边分别是,,.已知,,则( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知向量,且,则________.
14.已知圆柱的轴截面为正方形,且圆柱的体积为,则该圆柱的侧面积为________.
15.若向量,则向量与的夹角等于________.
16.在四面体中,,.球是四面体的外接球,过点作球的截面,若最大的截面面积为,则四面体的体积是____.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
在某中学举行的物理知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成5组,绘制出如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组.已知第三小组的频数是15.
(1)求成绩在50-70分的频率;
(2)求这三个年级参赛学生的总人数;
(3)求成绩在80-100分的学生人数.
18.(本小题满分12分)
某班共有学生45人,其中女生18人,现用分层抽样的方法,从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛,有关数据见下表(单位:人)
性别
学生人数
抽取人数
女生
18
男生
3
(1)求和;
(2)若从抽取的学生中再选2人做专题演讲,求这2人都是男生的概率.
19.(本小题满分12分)
已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求b,c的值.
20.(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,底面是正方形,底面.
(1)求证:平面;
(2)若,求点到平面的距离.
21.(本小题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,
(1)求角B的大小;
(2)若a=c=2,求△ABC的面积;
(3)求sinA+sinC的取值范围.
22.(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥的底面是平行四边形,平面,是的中点,是的中点.
(1)求证:;
(2)若平面,求证:.
高一数学第四学段考试参考答案
1-12 BADACA CADBAD 13. -6 14. 15. 450 16.
17.(1)成绩在50-70分的频率为:.
(2)第三小组的频率为:.
这三个年级参赛学生的总人数(总数=频数/频率)为:(人)
(3)成绩在80-100分的频率为:
则成绩在80-100分的人数为:(人).
18.解:(1)由题意可得,,又,所以;
(2)记从女生中抽取的2人为,,从男生中抽取的3人为,,,
则从抽取的5人中再选2人做专题演讲的基本事件有
,,,,,
,,,,共10种.
设选中的2人都是男生的事件为,
则包含的基本事件有,,共3种.
因此.
故2人都是男生的概率为.
19.(1)∵,且,
∴,
由正弦定理得,
∴;
(2)∵,
∴,
∴,
由余弦定理得,
∴.
20.(1)因为底面是正方形,所以,
因为底面,所以,
又因为,所以平面.
(2)设点到平面的距离为
因为底面,所以,
又,,所以平面,
所以,由已知得
所以三角形的面积为:,
所以
依题为三棱锥的高,所以三棱锥的体积为:
,
又因为,所以,解得
所以点到平面的距离为点
21.(Ⅰ)由.,得,
所以;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .
(Ⅲ)由题意得 .
因为0<A<,
所以.
故所求的取值范围是.
22.(1)取PB的中点E,连接EA,EN,
在△PBC中,EN//BC且,
又,AD//BC,AD=BC
所以EN//AM,,EN=AM.
所以四边形ENMA是平行四边形,
所以MN//AE. 又,,
所以MN//平面PAB.
(2)过点A作PM的垂线,垂足为H,
因为平面PMC⊥平面PAD,平面PMC∩平面PAD=PM,AH⊥PM,
所以AH⊥平面PMC,又
所以AH⊥CM.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CM.
因为PA∩AH=A,
所以CM⊥平面PAD.
又所以CM⊥AD.