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  • 2021-06-15 发布

江苏省常州市武进区2013届高三上学期期中考试数学文试卷

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武进区教育学会2012~2013学年度第一学期期中 高三文科数学试题 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)‎ ‎1.已知集合,,则集合= ▲ .‎ ‎2.已知向量,则向量与的夹角为 ▲ .‎ ‎3.设直线是曲线上的一条切线,则切线斜率最小时对应的倾斜角为 ▲ .‎ ‎4.的周期是 ▲ .‎ ‎5.公比为的等比数列的各项都是正数,且,则 ▲ .‎ ‎6.若实数满足,则= ▲ .‎ ‎7.已知向量满足,.若与垂直,‎ 则 ▲ .‎ ‎8.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上.如果正四棱柱的底面边长为,那么该棱柱的表面积为 ▲ .‎ ‎9.等差数列中,已知,,则的取值范围是 ▲ .‎ ‎10.已知A、B、C是直线l上的三点,向量满足,则函数的表达式为 ▲ .‎ ‎11.已知,若实数满足则的最小值为 ▲ .‎ ‎12.过点C(2,5)且与轴,轴都相切的两个圆的半径分别为,则= ‎ ‎▲ .‎ ‎13.给出以下命题: ‎ ‎(1)在△ABC中,是的必要不充分条件;‎ ‎(2)在△ABC中,若,则△ABC一定为锐角三角形;‎ ‎(3)函数与函数是同一个函数;‎ ‎(4)函数的图象可以由函数的图象按向量平移得到.‎ 则其中正确命题的序号是 ▲ (把所有正确的命题序号都填上).‎ ‎14.数列满足,则的前项和为 ▲ .‎ 二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(本题满分14分)‎ 设函数.图像的一条对称轴是直线.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若,试求的值.‎ ‎16.(本题满分14分)‎ 长方体中,, ,、分别是和的中点,求证:(1);(2)面.‎ ‎17.(本题满分14分)‎ ‎ 已知,其中是自然常数,‎ ‎ (1)当时,求的单调区间和极值;‎ ‎ (2)若恒成立,求的取值范围.‎ ‎18.(本题满分16分)‎ 已知曲线C:.‎ ‎ (1)证明:不论取何实数,曲线C必过定点;‎ ‎ (2)当时,若曲线C与直线相切,求的值.;‎ ‎ (3)对所有的且,是否存在直线与曲线C总相切?如果存在,求出的方程;如果不存在,请说明理由.‎ ‎19.(本题满分16分)‎ 各项均为正数的数列中,前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若恒成立,求k的取值范围;‎ ‎(3)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.‎ ‎20.(本题满分16分)‎ 设函数是奇函数,且当时,取得极小值.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)求使得方程仅有整数根的所有正实数的值;‎ ‎(3)设,(),求的最大值.‎ ‎ ‎ 武进区2012~2013学年度第一学期期中调研测试 高三文科数学试题评分标准 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)‎ ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. ‎ ‎7. 8. 9. 10. ‎ ‎11. 12. 13.(2)、(3) 14.420 ‎ 二、解答题:(本大题共6道题,计90分)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 解:(1)∵是函数的图象的对称轴,‎ ‎∴,∴,………………2分 ‎∵-,∴, ………………4分 故 ………………6分 ‎(2)因为,‎ 所以, ………………8分 故 ‎= ………………11分 而 ‎=.‎ 所以,. ………………14分 ‎16.(本题满分14分)‎ 证明:⑴ 取中点,连接、.‎ ‎、分别是和的中点,,,………………2分 ‎,,四边形是平行四边形,,…………5分 又,. ………………………7分 ‎ ⑵,,,,‎ ‎, ‎ ‎,,‎ ‎,, ………………10分 又长方体,,‎ ‎,,‎ ‎,,………………12分 又,,‎ 面.………………………14分 ‎17.(本题满分14分)‎ 解:(1) …………………………2分 ‎∴当时,,此时为单调递减;‎ 当时,,此时为单调递增. ………………4分 ‎∴当的极小值为,无极大值………………………………6分 ‎(2)法一:∵,‎ ‎∴在上恒成立,‎ 即在上恒成立,………………8分 令,,‎ ‎∴………………10分 令,则,‎ 当时,,此时为单调递增,‎ 当时,,此时为单调递减, ………………12分 ‎∴,‎ ‎∴. ………………14分 法二:由条件:在上恒成立 令,,, ………………8分 时,恒成立,∴在上递减,‎ ‎∴;‎ 由条件知∴ 与矛盾. ………………10分 时,令,∴‎ 当时,,此时为单调递增,‎ 当时,,此时为单调递减,‎ ‎,‎ ‎∴ ………………12分 即. ………………14分 ‎18.(本题满分16分)‎ 解:(1)证明:曲线C的方程可变形为,‎ 由, ………………2分 解得,点满足C的方程,‎ 故曲线C过定点. ………………4分 ‎(2)原方程配方得;由于,所以,‎ 所以C的方程表示圆心是,半径是的圆. ………………6分 由题意得圆心到直线距离, ………………8分 ‎∴,解得. ………………10分 ‎(3)法一:由(2)知曲线C表示圆设圆心坐标为,则有,‎ 消去得,故圆心必在直线上.‎ 又曲线C过定点,所以存在直线与曲线C总相切, ………………12分 直线过点且与直线垂直;‎ ‎∴方程为即. ………………16分 法二:假设存在直线满足条件,显然不垂直于轴,设,‎ 圆心到直线距离,‎ ‎ ∴对所有的且都成立,………………12分 即恒成立 ‎∴ ∴‎ ‎∴存在直线:即与曲线C总相切. ………………16分 ‎19.(本题满分16分)‎ 解:(1) ,,‎ 两式相减得, ………………2分 整理得, ‎ 数列的各项均为正数,,‎ 是公差为的等差数列, ………………4分 又得,. ………………5分 ‎(2)由题意得,‎ ‎,‎ ‎ ………………8分 ‎ ………………10分 ‎ (3)对任意,,则,‎ 而,由题意可知, ………………12分 于是 ‎ ‎, ‎ 即. ………………16分 ‎20.(本题满分16分)‎ 解:(1)为奇函数,, ………………2分 又由及,得, ‎ ‎; ………………4分 ‎ 当时,,当时,‎ 在时取得极小值,为所求 ………………5分 ‎(2)方程化简得: ,‎ 因为方程仅有整数解,故为整数,‎ 又由及知,. ………………7分 又,故为16的正约数, ………………9分 所以,进而得到. ………………10分 ‎(3)因为是偶函数,所以只要求出在上的最大值即可.记,,‎ ‎(1)时,,在上单调增且.‎ ‎∴,故; ………………12分 ‎(2)时,由得,和,‎ ‎①当即时,在[0,1]上单调减,‎ ‎∴,故,‎ ‎; ………………14分 ‎②当即时,在单调减,单调增,‎ ‎(Ⅰ)当,即时,,∴,‎ ‎(Ⅱ)当,即时,,∴,‎ 综上可知,. ………………16分