人教版高中数学必修二检测：第二章点、直线、平面之间的位置关系课后提升作业九2-1-3&2-1-4含解析 7页

课后提升作业 九 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 (45 分钟 70 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1.(2016·菏泽高一检测)已知直线 a 在平面α外，则 ( ) A.a∥α B.直线 a 与平面α至少有一个公共点 C.a∩α=A D.直线 a 与平面α至多有一个公共点 【解析】选 D.因为 a 在平面α外，所以 a∥α或 a∩α=A，所以直线 a 与平面α至多有一个公共点. 2.(2016·成都高一检测)已知直线 l 和平面α，若 l∥α，P∈α，则过 点 P 且平行于 l 的直线 ( ) A.只有一条，不在平面α内 B.有无数条，一定在平面α内 C.只有一条，且在平面α内 D.有无数条，不一定在平面α内 【解析】选 C.过直线 l 和点 P 作一平面β与α相交于 m，因为 l∥α，所 以 l 与α无公共点，所以 l 与 m 无公共点，又 l⊂β，m⊂β，故 l∥m，又 m⊂α，即 m 是过点 P 且平行于 l 的直线.若 n 也是过 P 且与 l 平行的直线，则 m∥n，这是不可能的.故 C 正确. 3.若直线 l 不平行于平面α，且 l⊄α，则 ( ) A.α内的所有直线与 l 异面 B.α内不存在与 l 平行的直线 C.α内存在唯一的直线与 l 平行 D.α内的直线与 l 都相交 【解析】选 B.因为 l 不平行于α，且 l⊄α，故 l 与α相交，记 l∩α=A. 假设平面α内存在直线 a∥l，过 A 在α内作 b∥a，则 b∥l，这与 b∩l=A 矛盾，故在α内不存在与 l 平行的直线. 4.(2016·成都高一检测)下列说法中，正确的个数是 ( ) (1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有 2 条或 3 条交线. (2)如果 a，b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面. (3)直线 a 不平行于平面α，则 a 不平行于α内任何一条直线. (4)如果α∥β，a∥α，那么 a∥β. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 A.(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可 能有 1 条或 2 条或 3 条交线. (2)错误.如果 a，b 是两条直线，a∥b，那么直线 a 有可能在经过 b 的 平面内. (3)错误.直线 a 不平行于平面α，则 a 有可能在平面α内，此时可以与 平面内无数条直线平行. (4)错误.如果α∥β，a∥α，那么 a∥β或 a⊂β. 5.教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺 所在的直线 ( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.垂直 【解析】选 D.若尺子与地面相交，则地面上不存在直线与直尺所在的直 线平行.故 C 错误.若尺子平行于地面，则 B 不正确.若尺子放在地面上， 则 A 不正确.故选 D. 6.如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，则直线 EF 是平面 ACD1 与 ( ) A.平面 BDB1 的交线 B.平面 BDC1 的交线 C.平面 ACB1 的交线 D.平面 ACC1 的交线 【解析】选 B.连接 BC1.因为 E∈DC1，F∈BD，所以 EF⊂平面 BDC1，故 EF= 平面 ACD1∩平面 BDC1. 7.(2016·嘉兴高二检测)若 a 是平面α外的一条直线，则直线 a 与平面 α内的直线的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面 【解析】选 D.若 a∥α，则 a 与α内的直线平行或异面，若 a 与α相交， 则 a 与α内的直线相交或异面. 8.α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是 ( ) A.平面α内有两条直线 a，b 都与平面β平行，那么α∥β B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C.若直线 a 与平面α和平面β都平行，那么α∥β D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β 【解析】选 D.A，B 都不能保证α，β无公共点，如图 1 所示；C 中当 a ∥α，a∥β时α与β可能相交，如图 2 所示；只有 D 说明α，β一定 无公共点. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 9.若 a，b 是两条异面直线，且 a∥平面α，则 b 与α的位置关系是 ________. 【解析】正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1A 为 a，BC 为 b，若平面 BCC1B1 为α， 则 b⊂α；若平面 CDD1C1 为α，则 b 与α相交；若过 AB，CD，C1D1，A1B1 中点的截面为α，则 b∥α. 答案：b∥α，b⊂α或 b 与α相交 【补偿训练】(2016·成都高一检测)如果空间中的三个平面两两相交， 则下列判断正确的是________(填序号). ①不可能只有两条交线； ②必相交于一点； ③必相交于一条直线； ④必相交于三条平行线. 【解析】三个平面两两相交，所得交线可能有一条；当交线有两条交于 一点时，第三条一定过该点；当交线有两条平行时，那么第三条交线一 定与另外两条平行，故只有①正确. 答案：① 10.平面α∩β=c，直线 a∥α，a 与β相交，则 a 与 c 的位置关系是 ________. 【解析】因为 a∥α，c⊂α， 所以 a 与 c 无公共点，不相交. 若 a∥c，则直线 a∥β或 a⊂β. 这与“a 与β相交”矛盾，所以 a 与 c 异面. 答案：异面 【延伸探究】本题中条件“a 与β相交”，若改为“a⊂β”，则 a 与 c 的位置关系如何？ 【解析】因为α∩β=c，a∥α，故 a 与α没有公共点，又 a⊂β，所以 a 与 c 无公共点，又 a，c 都在β内，故 a∥c. 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 11.(2016·福州高一检测)如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，E，F 分别为 B′C′，A′D′的中点，求证：平面 ABB′A′与平面 CDFE 相交. 【解题指南】要证两平面相交，只要证明它们存在一个公共点即可. 【证明】在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， E 为 B′C′的中点，所以 EC 与 BB′不平行，则延长 CE 与 BB′必相交 于一点 H，所以 H∈EC，H∈B′B， 又 BB′⊂平面 ABB′A′，CE⊂平面 CDFE， 所以 H∈平面 ABB′A′，H∈平面 CDFE， 故平面 ABB′A′与平面 CDFE 相交. 12.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，判断 a 与 b、a 与β的关系并证明你的结论. 【解析】a∥b，a∥β.由α∩γ=a 知 a⊂α且 a⊂γ， 由β∩γ=b 知 b⊂β且 b⊂γ， 所以 a⊂α，b⊂β，又因为α∥β， 所以 a，b 无公共点. 又因为 a⊂γ且 b⊂γ，所以 a∥b. 因为α∥β，所以α与β无公共点， 又 a⊂α，所以 a 与β无公共点，所以 a∥β. 【能力挑战题】 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 AA1 的中点，画出过 D1，C，E 的 平面与平面 ABB1A1 的交线，并说明理由. 【解析】如图，取 AB 的中点 F，连接 EF，A1B，CF. 因为 E 是 AA1 的中点， 所以 EF∥A1B. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， A1D1∥BC，A1D1=BC， 所以四边形 A1BCD1 是平行四边形. 所以 A1B∥CD1， 所以 EF∥CD1， 所以 E，F，C，D1 四点共面. 因为 E∈平面 ABB1A1，E∈平面 D1CE， F∈平面 ABB1A1，F∈平面 D1CE， 所以平面 ABB1A1∩平面 D1CE=EF， 所以过 D1，C，E 的平面与平面 ABB1A1 的交线为 EF.