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  • 2021-06-15 发布

2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业7二次函数与幂函数含解析苏教版

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课时作业7 二次函数与幂函数 一、选择题 ‎1.幂函数y=f(x)经过点(3,),则f(x)是( D )‎ A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 解析:设幂函数的解析式为y=xα,将(3,)代入解析式得3α=,解得α=,所以y=x.故选D.‎ ‎2.若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)( A )‎ A.在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增 B.在(-∞,3)上递增 C.在[1,3]上递增 D.单调性不能确定 解析:由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.‎ ‎3.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( D )‎ 解析:由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以函数图象开口向上,排除A,C.又f(0)=c<0,所以排除B,故选D.‎ 5‎ ‎4.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( A )‎ A.1 B.0‎ C.-1 D.2‎ 解析:f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,‎ ‎∴函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,‎ ‎∴当x=0时,f(x)取得最小值,当x=1时,f(x)取得最大值,‎ ‎∴f(0)=a=-2,f(1)=3+a=3-2=1.‎ ‎5.(2020·山东青岛模拟)若f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则f(-1),f(-),f()的大小关系为( B )‎ A.f()>f(-)>f(-1)‎ B.f()f()>f(),即f()0时,由f(0)=1可知,需满足题意,需得00,即a>0时,f(x)max=f=-6.而g(x)=x+4在(-∞,-1]上单调递增,故g(x)‎ 5‎ max=g(-1)=3.故或解得a≤6,所以a的最大值是6,故选A.‎ 二、填空题 ‎9.(2020·江西九江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f(2)-f(1)=-1.‎ 解析:设幂函数f(x)=xα,则f(9)=9α=3,即32α=3,所以2α=1,α=,所以f(x)=x=,所以f(2)-f(1)=-1.‎ ‎10.(2020·上海普陀一模)设α∈{,,-1,-2,3},若f(x)=xα为偶函数,则α=-2.‎ 解析:由题可知,当α=-2时,f(x)=x-2,满足f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数;当α=,,-1,3时,不满足f(-x)=f(x),故α=-2.‎ ‎11.(2020·河北唐山模拟)已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为,且方程f(x)=0的两个实根之差等于7,则此二次函数的解析式是f(x)=-4x2-12x+40.‎ 解析:设f(x)=a2+49(a≠0),方程a2+49=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=-3,x1x2=+,‎ 则|x1-x2|==2=7,‎ 得a=-4,所以f(x)=-4x2-12x+40.‎ ‎12.设函数f(x)=mx2-x-,若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,则m的取值范围是m<-.‎ 解析:若m=0,则显然不成立;‎ 若m≠0,则解得m<-.‎ 三、解答题 ‎13.已知奇函数y=f(x)的定义域是R,当x≥0时,f(x)=x(1-x).‎ ‎(1)求出函数y=f(x)的解析式;‎ ‎(2)写出函数y=f(x)的单调递增区间.(不用证明,只需直接写出递增区间即可)‎ 解:(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x(1+x).‎ 又因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x(1+x).‎ 综上f(x)= ‎(2)函数y=f(x)的单调递增区间是.‎ ‎14.已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.‎ ‎(1)求f(x)的表达式;‎ ‎(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.‎ 5‎ 解:(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称,‎ 设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0),‎ 由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1,a>0,‎ 根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,‎ ‎∴|x1-x2|===2,‎ 解得a=1,∴f(x)=x2+2x.‎ ‎(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,‎ 又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.‎ ‎∴g(x)图象的对称轴方程为x=,‎ 则≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].‎ ‎15.(2020·安徽合肥模拟)若0aa,babb.故在ab,ba,aa,bb中最大值是ab,故选C.‎ ‎16.(2020·福建莆田模拟)若函数f(x)=ax2-(‎2a+1)x+a+1对于x∈[-1,1]时恒有f(x)≥0,则实数a的取值范围是.‎ 解析:∵f(x)≥0⇔a(x-1)2≥x-1,∴当x=1时,a∈R,当x∈[-1,1)时,a≥恒成立,∴a≥max=-.综上可得a≥-.‎ ‎17.(2020·山西晋中模拟)对于函数f(x)=ax2+(1+b)x+b-1(a≠0),若存在实数x0,使f(x0)=mx0成立,则称x0为f(x)关于参数m的不动点.‎ ‎(1)若a=1,b=-2时,求f(x)关于参数1的不动点;‎ ‎(2)若对于任意实数b,函数f(x)恒有关于参数1的两个不动点,求a的取值范围;‎ ‎(3)当a=1,b=2时,函数f(x)在(0,2]上存在两个关于参数m的不动点,试求参数m的取值范围.‎ 解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,‎ 由题意得x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,‎ 解得x=-1或x=3,‎ 故当a=1,b=-2时,f(x)关于参数1的两个不动点为-1和3.‎ ‎(2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)恒有关于参数1的两个不动点,∴ax2+(b+1)x+b 5‎ ‎-1=x,即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根,‎ ‎∴Δ=b2-4ab+‎4a>0(b∈R)恒成立,‎ 于是Δ′=(-‎4a)2-‎16a<0,解得0