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- 2021-06-15 发布
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新疆石河子市第二中学2019-2020学年高一第二学期第一次月考数学试卷
考试时间:120分满分: 150分
注意:本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题,所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效,不予记分。
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1. 数列1,,,,,的一个通项公式可能是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了不完全归纳法求数列的通项公式,做题时要认真观察,找到规律,属于基础题.
根据数列前几项找规律,求出数列的通项公式,
【解答】
解:数列1,,,,中,
分子是连续整数,分母是连续奇数,
故数列1,,,,的一个通项公式可能是,
故选B.
2. 已知向量 , ,则向量在向量方向上的投影为
A. B. C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量的投影.
利用投影的定义,向量在向量方向上的投影为.
【解答】
解:设与的夹角为,
向量在向量方向上的投影为
.
故选B.
3. 若是等差数列的前n项和,,则的值为
A. 12 B. 18 C. 22 D. 44
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的性质,求和公式,属于基础题.
【解答】
解:等差数列中,,
则.
故选C.
1. 已知向量,,且,则
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面向量坐标运算及向量垂直的应用,属于基础题.
先求出,然后利用向量垂直的应用即可求解.
【解答】
解:,
,
又,
,
解得.
故选C.
5.中国古代数学著作张丘建算经成书约公元5世纪卷上二十三“织女问题”今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何其意思为:有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的,已知第一天织五尺,经过一个月按30天计后,共织布九匹三丈,问每天多织布多少尺注:1匹丈,1丈尺
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查等差数列的实际应用,属于基础题.
由题意可得每天的织布数量构成等差数列,由等差数列的求和公式可得答案.
【解答】解:设每天多织布d尺,
由题意,得,
解得,
即每天多织布尺,
故选D.
6.设等差数列的前n项和为若,,则当取最小值时,n等于
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】【分析】
根据等差数列的性质化简,得到的值,然后根据的值,利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值,根据和d的值写出等差数列的通项公式,进而写出等差数列的通项公式,进而写出等差数列的前n项和公式,配方后即可得到取最小值n的值。
本题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值,掌握等差数列的性质,是一道基础题。
【解答】
法一: a a a d d,
d, n.
n nn.
显然,当n时,取得最小值.
法二:由a a a得:a
d,
an d n,
a,a,
当n时,取得最小值.
7. 在中,,,,则
A. 4 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理化简,是基础题.
【解答】
解:由正弦定理得,由余弦定理得,
,,,
.
故选B.
8.公比为的等比数列的各项都是正数,且,则等于
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的性质和通项公式,属于基础题.
利用等比数列的性质求得,进而即可求得.
【解答】
解:由题意得,,
所以,则.
故选B.
9.已知等差数列,的前n项和分别为,,若对于任意的自然数n,都有,则等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
利用等差数列的性质与求和公式即可得出.
【解答】
解:由等差数列的性质
.
故选D.
10.已知等差数列的前n项和为,若,且三点共线为该直线外一点,则等于
A. B. 1008 C. D.
【答案】B
【解析】三点共线,存在实数使得即,为等差数列,故B正确.
11.已知等差数列的前n项和为,且,若数列为递增数列,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质,涉及二次函数的性质和不等式,属中档题.
由等差数列的求和公式可得,由二次函数的性质和单调性,结合题意可得的不等式,解不等式可得.
【解答】
解:在等差数列中,由,得,,
,
其对称轴方程为,
要使数列在为内为递增数列,
则,即,
故选D.
故选A.
12.三角形ABC的三边分别是,若,,且,则有如下四个结论:;的面积为;的周长为;外接圆半径.
这四个结论中一定成立的个数是
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式,考查三角函数的恒等变换,以及化简运算能力,属于中档题.
由正弦定理可得三角形的外接圆的半径;由三角函数的恒等变换化简或,即;分别讨论,结合余弦定理和面积公式,计算可得所求值.
【解答】
解:,,可得,可得外接圆半径,正确;
,即为
,
即有,
则,即或,即;
若,,,可得,可能成立;
由可得,,则三角形的周长为;面积为;
则可能成立;
若,由,
可得,,
则三角形的周长为;面积为;
则可能成立;
综上可得一定成立.
故选:C.
二、 填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知 , ,且、的夹角为,则 ______.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的模长.
要求 ,应对其平方利用向量的数量积运算再开方求解.
【解答】
解:由已知 .
故答案为.
14.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则________.
【答案】
【解析】【分析】本题考查正弦定理,考查学生转化与化归的能力,属于基础题关键是根据条件求出三角形的三个内角,再利用正弦定理求解.
【解答】解:在中,,
内角A,B,C分别为,,,
.
15. 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,三角形的面积为,则sinAsinC 的值为______.
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,考查三角形面积公式,考查同角三角函数间的关系式,属于中档题.
由三角形的面积公式结合同角三角函数间的关系式可得tanB,进而得B,再根据余弦定理由得到,再由正弦定理,可得sinAsinB的值.
【解答】
解:,可得,又B为三角形内角,则,
,
由余弦定理,可得,
,
,.
由正弦定理可得,
16.若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于__________________
【答案】9
【解析】
试题分析:由韦达定理得,,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故,.当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,,解得,;当是等差中项时,,解得,,综上所述,,所以.
考点:等差中项和等比中项.
三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)
17.已知两个非零向量与不共线,.
若,求k 的值;
若A ,B ,C 三点共线,求k 的值.
【答案】解:
,.
由,
,
又A,B,C三点共线,则,
,
解得.
【解析】本题考查了平面向量的基本定理和向量的运算,考查了向量共线的充要条件,属于简单题.
根据已知条件用向量与代入表示,可得k的值;
由A,B,C三点共线,则,然后得到关于k的方程组,解方程组即可.
18.已知在,且.
求角B的大小;
若.
【答案】【解答】
解:由正弦定理得,
,
,
;
由余弦定理,
,
当,
当.
【解析】【分析】
本题考查正弦定理,余弦定理以及三角形面积公式的应用,属基础题.
利用正弦定理,由得,得,可得
利用余弦定理可得或,分别求出两种情况下三角形面积即可.
19. 已知各项均为正数的数列满足,且.
求;
设,证明:数列为等差数列;
求数列的通项公式.
【答案】解:由题得,,
证明:由题知:的各项均为正数,
,
可得为等差数列,
即为等差数列,以为首项,1为公差的等差数列;
由得,
可得,
故
【解析】本题考查递推数列、等差数列的判断及通项公式问题,属于中档题.
取值代入求出、;
对条件关系式变形即可证明数列为等差数列;
利用求出数列的通项公式.
20.在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,已知,,.
求b的值;
求的值.
【答案】解:在中,有正弦定理,
可得,
又,可得,
又,所以,
由余弦定理可知:,
,
即,
可得.
由,
可得,
所以,
,
所以
.
【解析】本题考查余弦定理,正弦定理以及二倍角三角函数公式,两角和与差的三角函数,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力,属于中档题.
直接利用正弦定理推出,结合已知条件求出c,利用余弦定理直接求b的值;
利用求出角B的正弦函数值,然后利用二倍角公式和两角差的正弦函数公式直接求解的值.
21.数列的前n项和记为,,.
求的通项公式;
等差数列的各项为正,其前n项和为,且,又,,成等比数列,求.
【答案】解:由可得,
两式相减得,.
又,.
故是首项为1,公比为3的等比数列,
;
设的公差为d,
由得,可得,
故可设,,
又,,,
由题意可得,
解得,.
等差数列的各项为正,,
.
22.已知是公差为正数的等差数列,且,.
求数列的通项公式;
若,求数列的前n项和.
【答案】解:设等差数列的公差为d,
则依题意可知,由,
得,
由,得,
由联立方程求得
得,或,排除,
;
因为,
所以
,
两式相减,得,则,
当时,,
所以
所以当时,.
又时,,适合上式.
所以.
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的求和,考查了学生的计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力.
设等差数列的公差为d,分别表示出,联立方程求得d和,进而根据等差数列通项公式求得;
根据题意可得,进而利用等差数列的求和公式即可求得结