2005年河南省高考数学试卷Ⅰ（理）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2005年河南省高考数学试卷Ⅰ（理）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 复数‎2‎‎-‎i‎3‎‎1-‎2‎⋅i‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎-i B.i C.‎2‎2‎-i D.‎‎-2‎2‎+i ‎2. 设I为全集，S‎1‎、S‎2‎、S‎3‎是I的三个非空子集，且S‎1‎‎∪S‎2‎∪S‎3‎=I，则下面论断正确的是（ ）‎ A.‎∁‎IS‎1‎‎∩(S‎2‎∪S‎3‎)=⌀‎ B.‎S‎1‎‎⊆(‎∁‎IS‎2‎∩‎∁‎IS‎3‎)‎ C.‎∁‎IS‎1‎‎∩‎∁‎IS‎2‎∩‎∁‎IS‎3‎=⌀‎ D.‎S‎1‎‎⊆(‎∁‎IS‎2‎∪‎∁‎IS‎3‎)‎ ‎3. 用与球心距离为‎1‎的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(        )‎ A.‎8π‎3‎ B.‎8‎2‎π‎3‎ C.‎8‎2‎π D.‎‎32π‎3‎ ‎4. 已知直线l过点‎(-2, 0)‎，当直线l与圆x‎2‎‎+y‎2‎=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）‎ A.‎(-2‎2‎，2‎2‎)‎ B.‎(-‎2‎，‎2‎)‎ C.‎(-‎2‎‎4‎，‎2‎‎4‎)‎ D.‎‎(-‎1‎‎8‎，‎1‎‎8‎)‎ ‎5. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为‎1‎的正方形，且‎△ADE，‎△BCF均为正三角形，EF // AB，EF=2‎，则该多面体的体积为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎6. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎=1(a>0)‎的一条准线与抛物线y‎2‎‎=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎6‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎7. 当‎00‎，二次函数y=ax‎2‎+bx+a‎2‎-1‎的图象为下列之一，则a的值为（ ）‎ A.‎1‎ B.‎-1‎ C.‎-1-‎‎5‎‎2‎ D.‎‎-1+‎‎5‎‎2‎ ‎9. 设‎00(n=1, 2‎,…‎)‎．‎ ‎（1）求q的取值范围；‎ ‎（2）设bn‎=an+2‎-‎‎3‎‎2‎an+1‎，记‎{bn}‎的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．‎ ‎20. ‎9‎粒种子分种在‎3‎个坑内，每坑‎3‎粒，每粒种子发芽的概率为‎0.5‎，若一个坑内至少有‎1‎粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种‎1‎个坑需‎10‎元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到‎0.01‎）‎ ‎21. 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为‎1‎且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA‎→‎‎+‎OB‎→‎与a‎→‎‎=(3, -1)‎共线．‎ ‎(I)‎求椭圆的离心率；‎ ‎(II)‎设M为椭圆上任意一点，且OM‎→‎‎=λOA‎→‎+μOB‎→‎(λ, μ∈R)‎，证明λ‎2‎‎+‎μ‎2‎为定值．‎ ‎22. 为了了解某校‎2000‎名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．‎ ‎（1）指出这个问题中的总体；‎ ‎（2）求竞赛成绩在‎79.5∼89.5‎这一小组的频率；‎ ‎（3）如果竞赛成绩在‎90‎分以上（含‎90‎分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年河南省高考数学试卷Ⅰ（理）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.B ‎2.C ‎3.B ‎4.C ‎5.A ‎6.D ‎7.C ‎8.B ‎9.C ‎10.C ‎11.B ‎12.D 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎155‎ ‎14.‎‎672‎ ‎15.‎‎115‎ ‎16.①③④‎ 三、解答题（共6小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分74分）‎ ‎17.解：‎(1)‎∵ x=‎π‎8‎是函数y=f(x)‎的图象的对称轴，‎ ‎∴ sin(2×π‎8‎+φ)=±1‎，‎ ‎∴ π‎4‎‎+φ=kπ+‎π‎2‎，k∈Z．‎ ‎∵ ‎-π<φ<0，φ=-‎‎3π‎4‎．‎ 由y=sin2x向右平移‎3π‎8‎得到．‎ ‎(2)‎由‎(1)‎知φ=-‎‎3π‎4‎，因此y=sin(2x-‎3π‎4‎)‎．‎ 由题意得‎2kπ-π‎2‎≤2x-‎3π‎4‎≤2kπ+‎π‎2‎，k∈Z．‎ 所以函数y=sin(2x-‎3π‎4‎)‎的单调增区间为‎[kπ+π‎8‎，kπ+‎5π‎8‎]‎，k∈Z．‎ ‎(3)‎由y=sin(2x-‎3π‎4‎)‎知 ‎ ‎x ‎ ‎‎0‎ ‎ ‎π‎8‎ ‎ ‎‎3π‎8‎ ‎ ‎‎5π‎8‎ ‎ ‎‎7π‎8‎ ‎ ‎π ‎ ‎y ‎-‎‎2‎‎2‎ ‎-1‎ ‎ ‎‎0‎ ‎ ‎‎1‎ ‎ ‎‎0‎ ‎-‎‎2‎‎2‎ 故函数y=f(x)‎在区间‎[0, π]‎上图象是 ‎18.‎(1)‎证明：如图，‎ ‎∵ PA⊥‎面ABCD，CD⊥AD，‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴ 由三垂线定理得：CD⊥PD．‎ 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，‎ ‎∴ CD⊥‎面PAD．‎ 又CD⊂‎面PCD，‎ ‎∴ 面PAD⊥‎面PCD．‎ ‎(2)‎解：过点B作BE // CA，且BE=CA，‎ 则‎∠PBE是AC与PB所成的角．‎ 连接AE，可知AC=CB=BE=AE=‎‎2‎，又AB=2‎，‎ 所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥‎面ABCD得‎∠PEB=‎‎90‎‎∘‎ 在Rt△PEB中BE=a‎2‎=3‎b‎2‎，PB=‎‎5‎，‎ ‎∴ cos∠PBE=BEPB=‎‎10‎‎5‎．‎ ‎∴ AC与PB所成的角为arccos‎10‎‎5‎．‎ ‎(3)‎解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．‎ 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，‎ ‎∴ ‎△AMC≅△BMC，‎ ‎∴ BN⊥CM，故‎∠ANB为所求二面角的平面角 ‎∵ CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，‎ 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．‎ 在等腰三角形AMC中，AN⋅MC=‎CM‎2‎-(AC‎2‎‎)‎‎2‎⋅AC，‎ ‎∴ AN=‎3‎‎2‎‎×‎‎2‎‎5‎‎2‎=‎‎6‎‎5‎．‎ ‎∴ AB=2‎，‎ ‎∴ ‎cos∠ANB=AN‎2‎+BN‎2‎-AB‎2‎‎2×AN×BN=-‎‎2‎‎3‎ 故所求的二面角为arccos(-‎2‎‎3‎)‎．‎ ‎19.解：（1）设等比数列通式an‎=‎a‎1‎q‎（n-1）‎ 根据Sn‎>0‎，显然a‎1‎‎>0‎，‎ 当q不等于‎1‎时，前n项和sn‎=‎a‎1‎‎(1-qn)‎‎1-q 所以‎(1-qn)‎‎1-q‎>0‎ 所以‎-11‎ 当q=1‎时 仍满足条件 综上q>0‎或‎-10‎，且‎-10‎，‎ 所以，当‎-12‎时，Tn‎-Sn>0‎，即Tn‎>‎Sn；‎ 当‎-‎1‎‎2‎b>0)，F(c,0)‎ 则直线AB的方程为y=x-c，代入x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎，‎ 化简得‎(a‎2‎+b‎2‎)x‎2‎-2a‎2‎cx+a‎2‎c‎2‎-a‎2‎b‎2‎=0‎．‎ 令A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎b‎2‎，x‎1‎x‎2‎=‎a‎2‎c‎2‎‎-‎a‎2‎b‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎．‎ ‎∵ OA‎→‎‎+OB‎→‎=(x‎1‎+x‎2‎,y‎1‎+y‎2‎)，a‎→‎=(3,-1)，OA‎→‎+‎OB‎→‎与a‎→‎共线，‎ ‎∴ ‎3(y‎1‎+y‎2‎)+(x‎1‎+x‎2‎)=0‎，又y‎1‎‎=x‎1‎-c，y‎2‎‎=x‎2‎-c，‎ ‎∴ ‎3(x‎1‎+x‎2‎-2c)+(x‎1‎+x‎2‎)=0‎，‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=‎3‎‎2‎c．‎ 即‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎3c‎2‎，‎ 所以a‎2‎‎=3‎b‎2‎．‎ ‎∴ c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=‎‎6‎a‎3‎，‎ 故离心率e=ca=‎‎6‎‎3‎．‎ ‎(II)‎证明：由‎(1)‎知a‎2‎‎=3‎b‎2‎，‎ 所以椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)，F(c,0)‎可化为x‎2‎‎+3y‎2‎=3‎b‎2‎．‎ 设M(x, y)‎，‎ 由已知得‎(x, y)=λ(x‎1‎, y‎1‎)+μ(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ ‎∴ ‎x=λx‎1‎+μx‎2‎y=λy‎1‎+μy‎2‎ ‎∵ M(x, y)‎在椭圆上，‎ ‎∴ ‎(λx‎1‎+μx‎2‎‎)‎‎2‎+3(λy‎1‎+μy‎2‎‎)‎‎2‎=3‎b‎2‎．‎ 即λ‎2‎‎(x‎1‎‎2‎+3y‎1‎‎2‎)+μ‎2‎(x‎2‎‎2‎+3y‎2‎‎2‎)+2λμ(x‎1‎x‎2‎+3y‎1‎y‎2‎)=3‎b‎2‎．①‎ 由‎(1)‎知a‎2‎‎=‎3‎‎2‎c‎2‎，b‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎．‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎3c‎2‎，‎x‎1‎x‎2‎‎=a‎2‎c‎2‎‎-‎a‎2‎b‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎‎3‎‎8‎c‎2‎ ‎∴ x‎1‎x‎2‎‎+3y‎1‎y‎2‎=x‎1‎x‎2‎+3(x‎1‎-c)(x‎2‎-c)=4x‎1‎x‎2‎-3(x‎1‎+x‎2‎)c+3c‎2‎=‎3‎‎2‎c‎2‎-‎9‎‎2‎c‎2‎+3c‎2‎=0‎．‎ 又x‎1‎‎2‎‎+3y‎1‎‎2‎=3‎b‎2‎，x‎2‎‎2‎‎+3y‎2‎‎2‎=3‎b‎2‎，‎ 代入①得λ‎2‎‎+μ‎2‎=1‎．‎ 故λ‎2‎‎+‎μ‎2‎为定值，定值为‎1‎．‎ ‎22.竞赛成绩在‎79.5∼89.5‎这一小组的频率为‎0.25‎．‎ ‎（3）‎9‎‎6+9+12+15+18‎‎×2000=300‎，‎ 答：估计全校约有‎300‎人获得奖励．‎ ‎ 6 / 6‎