大学课件 高等数学 4-1(不定积分的概念与性质) 22页

例 定义： 一、原函数与不定积分的概念 原函数存在定理： 简言之： 连续函数一定有原函数 . 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数的说明： （ 1 ）若 ，则对于任意常数 ， （ 2 ）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 例 1 求 解 解 例 2 求 例 3 设曲线通过点（ 1 ， 2 ），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 . 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（ 1 ， 2 ） 所求曲线方程为 显然，求不定积分得到一积分曲线族 . 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的 . 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式 . 二、 基本积分表 基本积分表  是常数 ); 说明： 简写为 例 4 求积分 解 根据积分公式（ 2 ） 证 等式成立 . （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 三、 不定积分的性质 例 5 求积分 解 例 6 求积分 解 例 7 求积分 解 例 8 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表 . 解 所求曲线方程为 基本积分表 (1) 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 四、 小结 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？ 思考题解答 不存在 . 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数 . 结论 每一个含有 第一类间断点 的函数都没有原函数 .