【数学】2021届一轮复习北师大版（理）40归纳与类比作业 8页

归纳与类比 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．下面四个推理，属于合情推理的是(　　)‎ A．因为函数y＝sin x(x∈R)的值域为[－1,1]，2x－1∈R，所以y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域也为[－1,1]‎ B．昆虫都有6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿 C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此 D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地面的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 C　[C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都不是合情推理．]‎ ‎2．(2019·北京模拟)2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体， 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体， 数学家欧拉发现了它的顶点数、棱数与面数存在一定的数量关系．‎ 凸多面体 顶点数 棱数 面数 三棱柱 ‎6‎ ‎9‎ ‎5‎ 四棱柱 ‎8‎ ‎12‎ ‎6‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎10‎ ‎6‎ 六棱锥 ‎7‎ ‎12‎ ‎7‎ 根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是 ‎(　　)‎ A．14　　　　　　 B．16‎ C．18 D．20‎ C　[由题意易知同一凸多面体顶点数、棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C.]‎ ‎3．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7 738可用算筹表示为.‎ ‎1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则3log264的运算结果可用算筹表示为(　　)‎ A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D D　[根据题意，3log264＝36＝729，‎ 用算筹记数表示为，故选D.]‎ ‎4．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N＋)，观察下列运算：‎ a1·a2＝log23·log34＝·＝2；‎ a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78‎ ‎＝··…·＝3；…‎ 若a1·a2·a3·…·ak(k∈N＋)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2 019时，“企盼数”k为(　　)‎ A．22 019 ＋2 B．22 019‎ C．22 019－2 D．22 019－4‎ C　[a1·a2·a3·…·ak＝＝2 019，lg(k＋2)＝lg 22 019，故k＝22 019－2.]‎ ‎5．甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级．老师说：“你们四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级，给丙看丁的成绩等级”．看后甲对大家说：‎ ‎“我知道我的成绩等级了”．根据以上信息，则(　　)‎ A．甲、乙的成绩等级相同 B．丁可以知道四人的成绩等级 C．乙、丙的成绩等级相同 D．乙可以知道四人的成绩等级 D　[由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成绩等级不一定是相同的，所以A是不对的，乙、丙的成绩等级不一定是相同的，所以C是不正确的，丁没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B是不对的，只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D是正确的．]‎ ‎6．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为(　　)‎ ‎ 图一　　　 　图二　　 图三 A．n B．n2‎ C．n－1 D．n＋1‎ D　[最大的正方形面积为1，当n＝1时，由勾股定理及图二知上面两小正方形面积和等于下面正方形面积1，∴正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为n＋1，故选D.]‎ ‎7．为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设原信息为a‎1a2a3，传输信息为h‎1a1a2a3h2，其中h1＝a1⊕a2，h2＝h1⊕a3，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是(　　)‎ A．01100 B．11010‎ C．10110 D．11000‎ D　[A选项原信息为110，则h1＝a1⊕a2＝1⊕1＝0，h2＝h1⊕a3＝0⊕0＝0，所以传输信息为01100，A选项正确；‎ B选项原信息为101，则h1＝a1⊕a2＝1⊕0＝1，h2＝h1⊕a3＝1⊕1＝0，所以传输信息为11010，B选项正确；‎ C选项原信息为011，则h1＝a1⊕a2＝0⊕1＝1，h2＝h1⊕a3＝1⊕1＝0，所以传输信息为10110，C选项正确；‎ D选项原信息为100，则h1＝a1⊕a2＝1⊕0＝1，h2＝h1⊕a3＝1⊕0＝1，所以传输信息为11001，D选项错误．故选D.]‎ 二、填空题 ‎8．将正奇数按如图所示的规律排列：‎ ‎1‎ ‎3　 5　 7‎ ‎9　 11　 13　 15　 17‎ ‎19　21　 23　 25　 27　 29　 31‎ ‎……‎ 则2 019在第________行，从左向右第________个数．‎ ‎32　49　[根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第2行有3个奇数，第3行有5个奇数……‎ 可得第n行有2n－1个奇数，前n行总共有＝n2个奇数，当n＝31时，共有n2＝961个奇数，当n＝32时，共有n2＝1 024个奇数，所以2 019是第1 010个奇数，在第32行第49个数．]‎ ‎9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则________成等比数列．‎ T4，，，　[利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．]‎ ‎10．(2019·延安模拟)甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A，B，C，已知：‎ ‎①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；‎ ‎②在延安工作的教师不教C学科；‎ ‎③在咸阳工作的教师教A学科；‎ ‎④乙不教B学科．‎ 可以判断乙工作的地方和教的学科分别是________，________.‎ 宝鸡　C　[由③得在咸阳工作的教师教A学科；又由①得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；由④得乙不教B学科，结合③乙不教A学科，可得乙必教C学科，所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作，综上，乙工作的地方和教的学科分别是宝鸡和C学科. ]‎ ‎1. 二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝(　　)‎ A．2πr4 B．3πr4‎ C．4πr4 D．6πr4‎ A　[二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，‎ ′＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，∵(2πr4)′＝8πr3，∴“超球”的四维测度W＝2πr4.故选A.]‎ ‎2．(2019·雅礼中学模拟)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，……，以此类推，则标2 0192的格点的坐标为(　　)‎ A．(1 010,1 009) B．(1 009,1 008)‎ C．(2 019,2 018) D．(2 018,2 017)‎ A　[点(1,0)处标1，即12；点(2,1)处标9，即32；点(3,2)处标25，即52；……，由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2，当2n＋1＝2 019时，n＝1 0‎ ‎09，故标2 0192的格点的坐标为(1 010,1 009)．故选A.]‎ ‎3．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：‎ ‎[]＋[]＋[]＝3，‎ ‎[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，‎ ‎[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，‎ ‎……‎ 按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．‎ ‎2n2＋n　[因为[]＋[]＋[]＝1×3，‎ ‎[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5，‎ ‎[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.]‎ ‎4．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，则函数f(x)的对称中心为________，f＋f＋f＋f＋…＋f＝________.‎ 　2 018　[f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，‎ 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.‎ f＝×3－×2＋3×－＝1.‎ 由题中给出的结论，‎ 可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.‎ 所以f＋f＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.‎ 故f＋f＝2，f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ ‎……，‎ f＋f＝2.‎ 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 018＝2 018.]‎ ‎1．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c(a>b>c且a，b，c∈N＋)，选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙都有可能 B　[因为只有甲、乙、丙三人参赛，故 射击 击剑 游泳 马术 越野跑 总分 甲 ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎22‎ 乙 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎9‎ 丙 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎9‎ 总分为5(a＋b＋c)＝22＋9＋9＝40，所以a＋b＋c＝8，只有两种可能5>2>1或4>3>1.显然4>3>1不符，因为即使五个第一名也不够22分．所以a＝5，b＝2，c＝1.所以由上面可知，甲马术第二名，其余四个选项都是第一名，总共22分．由于丙马术第三名，记1分，所以其余四项均第二名，记2分，共9分．乙马术第一名，记5分，其余四项均第三名，记1分，共9分．所以选B.]‎ ‎2．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．‎ ‎(1)n级分形图中共有________条线段；‎ ‎(2)n级分形图中所有线段长度之和为________．‎ ‎(1)3×2n－3(n∈N＋)　(2)9－9×n(n∈N＋)　[(1)由题图知，一级分形图中的线段条数为3＝3×2－3，二级分形图中的线段条数为9＝3×22－3，三级分形图中的线段条数为21＝3×23－3，按此规律，n级分形图中的线段条数为an＝3×2n－3(n∈N＋)．‎ ‎(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度和为bn＝3×n－1(n∈N＋)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×0＋3×1＋…＋3×n－1＝3×＝9－9×n(n∈N＋)．]‎