高三数学总复习学案17 9页

第四章　三角函数与三角恒等变换 学案17　任意角的三角函数 导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．‎ 自主梳理 ‎1．任意角的概念 角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按______时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________角．‎ ‎(1)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是__________角．‎ ‎(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)‎ 终边在x轴上的角表示为____________________；‎ 终边在y轴上的角表示为__________________________________________；‎ 终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．‎ ‎(3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．‎ ‎(4)弧度制 把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．‎ ‎(5)度与弧度的换算关系 ‎360°＝______ rad；180°＝____ rad；1°＝________ rad；‎ ‎1 rad＝_______________≈57.30°.‎ ‎(6)弧长公式与扇形面积公式 l＝________，即弧长等于_________________________________________________．‎ S扇＝________＝____________.‎ ‎2．三角函数的定义 任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；②____叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；③________叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0)．‎ ‎(1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎(2)三角函数线 下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和____________．‎ 自我检测 ‎1．“α＝”是“cos 2α＝”的 （ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.(2011·济宁模拟)点P(tan 2 009°，cos 2 009°)位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．(2010·山东青岛高三教学质量检测)已知sin α<0且tan α>0，则角α是 （ ）‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎4．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为 (　　)‎ A. B. C. D. 探究点一　角的概念 例1　(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限；‎ ‎(2)写出终边落在直线y＝x上的角的集合；‎ ‎(3)若θ＝168°＋k·360° (k∈Z)，求在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角．‎ 变式迁移1　若α是第二象限的角，试分别确定2α，的终边所在位置．‎ 探究点二　弧长与扇形面积 例2　(2011·金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径是R.‎ ‎(1)若α＝60°，R＝‎10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；‎ ‎(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？‎ 变式迁移2　(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；‎ ‎(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？‎ 探究点三　三角函数的定义 例3　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．‎ 变式迁移3　已知角α的终边经过点P(－‎4a,‎3a) (a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．‎ ‎1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．‎ ‎2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法． ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q，则Q的坐标为 （ ）‎ A．(－，) B．(－，－)‎ C．(－，－) D．(－，)‎ ‎2．若0和cos x<同时成立的x的取值范围是 (　　)‎ A.0 (θ为象限角)，则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上)‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，‎ ‎(1)求的弧长；‎ ‎(2)求弓形OAB的面积．‎ ‎10．(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：‎ ‎(1)sin α≥；‎ ‎(2)cos α≤－.‎ ‎11．(14分)(2011·舟山月考)已知角α终边经过点P(x，－) (x≠0)，且cos α＝x.求sin α＋的值．‎ 答案 自主梳理 ‎1．始边　顶点　终边　逆　顺　零　(1)第几象限 ‎(2){α|α＝kπ，k∈Z}　　　(3){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}　(4)半径　圆心角　弧度制　rad　弧度　(5)2π　π　　°　(6)|α|·r　弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积　lr　|α|r2　2.①y　②x　③　(2)α的正弦线　α的余弦线　α的正切线 自我检测 ‎1．A　2.D　3.C　4.D 课堂活动区 例1　解题导引　(1)一般地，角α与－α终边关于x轴对称；角α与π－α终边关于y轴对称；角α与π＋α终边关于原点对称．‎ ‎(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．‎ ‎(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角．‎ 解　(1)π＋2kπ<α<＋2kπ (k∈Z)，‎ ‎∴－－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)，‎ 即＋2kπ<－α<π＋2kπ (k∈Z)．①‎ ‎∴－α角终边在第二象限．‎ 又由①各边都加上π，得＋2kπ<π－α<2π＋2kπ (k∈Z)．‎ ‎∴π－α是第四象限角．‎ 同理可知，π＋α是第一象限角．‎ ‎(2)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，‎ ‎∴终边在直线y＝x上的角的集合为 .‎ ‎(3)∵θ＝168°＋k·360° (k∈Z)，‎ ‎∴＝56°＋k·120° (k∈Z)．‎ ‎∵0°≤56°＋k·120°<360°，‎ ‎∴k＝0,1,2时，∈[0°，360°)．‎ 故在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角是56°，176°，296°.‎ 变式迁移1　解　∵α是第二象限的角，‎ ‎∴k·360°＋90°<α2π，舍去，∴θ＝.‎ ‎(2)扇形的周长为40，即θR＋2R＝40，‎ S＝lR＝θR2＝θR·2R≤2＝100.‎ 当且仅当θR＝2R，即R＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.‎ 例3　解题导引　某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解．‎ 解　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，‎ ‎∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t) (t≠0)，‎ 则x＝4t，y＝－3t，‎ r＝＝＝5|t|，‎ 当t>0时，r＝5t，‎ sin α＝＝＝－，‎ cos α＝＝＝，‎ tan α＝＝＝－；‎ 当t<0时，r＝－5t，‎ sin α＝＝＝，‎ cos α＝＝＝－，‎ tan α＝＝＝－.‎ 综上可知，t>0时，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－；‎ t<0时，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.‎ 变式迁移3　解　r＝＝5|a|.‎ 若a>0，则r＝‎5a，α角在第二象限，‎ sin α＝＝＝，‎ cos α＝＝＝－，‎ tan α＝＝＝－.‎ 若a<0，则r＝－‎5a，α角在第四象限，‎ sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，‎ tan α＝＝＝－.‎ 课后练习区 ‎1．A　2.B　3.D　4.C　5.C ‎6.∪ 解析　由已知得 ‎∴＋2kπ<α<＋2kπ或π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.‎ ‎∵0≤α≤2π，∴当k＝0时，<α<或π<α<.‎ ‎7.π 解析　由三角函数的定义，tan θ＝＝＝－1.‎ 又∵sin >0，cos <0，∴P在第四象限，∴θ＝.‎ ‎8．③‎ 解析　①中，当α在第三象限时，‎ sin α＝－，故①错．‎ ‎②中，同时满足sin α＝，cos α＝的角为α＝2kπ＋ (k∈Z)，不只有一个，故②错．③正确．④θ可能在第一象限或第四象限，故④错．综上选③.‎ ‎9．解　(1)∵α＝120°＝，r＝6，‎ ‎∴的弧长为l＝αr＝×6＝4π.……………………………………………………(4分)‎ ‎(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，……………………………………………………(7分)‎ S△ABO＝r2·sin ＝×62× ‎＝9，……………………………………………………………………………………(10分)‎ ‎∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9.………………………………………………(12分)‎ ‎10．解　(1)‎ 作直线y＝交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的集合为.…………………………………………………(6分)‎ ‎(2)‎ 作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为 .……………………………………………………(12分)‎ ‎11．解　∵P(x，－) (x≠0)，‎ ‎∴点P到原点的距离r＝.…………………………………………………………(2分)‎ 又cos α＝x，‎ ‎∴cos α＝＝x.∵x≠0，∴x＝±，‎ ‎∴r＝2.…………………………………………………………………………………(6分)‎ 当x＝时，P点坐标为(，－)，‎ 由三角函数的定义，‎ 有sin α＝－，＝－，‎ ‎∴sin α＋＝－－＝－；……………………………………………(10分)‎ 当x＝－时，‎ 同样可求得sin α＋＝.………………………………………………(14分)‎