高三数学总复习学案9 9页

学案9　幂函数 导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．‎ 自主梳理 ‎1．幂函数的概念 形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．‎ ‎2．幂函数的性质 ‎(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：‎ 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 y＝x R R 奇 ↗‎ ‎(1,1)‎ y＝x2‎ R ‎[0，＋∞)‎ 偶 ‎[0，＋∞)↗‎ ‎(－∞，0]↙‎ y＝x3‎ R R 奇 ↗‎ y＝‎ ‎[0，＋∞)‎ ‎[0，＋∞)‎ 非奇 非偶 ‎[0，＋∞)↗‎ y＝x－1‎ ‎(－∞，0)‎ ‎∪(0，＋∞)‎ ‎(－∞，0)‎ ‎∪(0，＋∞)‎ 奇 ‎(－∞，0)↙‎ ‎(0，＋∞)↙‎ ‎(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．‎ ‎(3)α>0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点．‎ 自我检测 ‎1．(2011·石家庄月考)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 (　　)‎ A．－2，－，，2‎ B．2，，－，－2‎ C．－，－2,2， D．2，，－2，－ ‎ ‎2．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 (　　)‎ A．②①③④ B．②③①④‎ C．④①③② D．④③①②‎ ‎3．(2011·沧州模拟)设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为 (　　)‎ A．1,3 B．－1,‎1 ‎ C．－1,3 D．－1,1,3‎ ‎4．与函数y＝的图象形状一样的是 (　　)‎ A．y＝2x B．y＝log2x C．y＝ D．y＝x＋1‎ ‎5．已知点(，3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是 (　　)‎ A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x－3‎ C．f(x)＝ D．f(x)＝‎ 探究点一　幂函数的定义与图象 例1　已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，)．‎ ‎(1)求f(x)，g(x)的解析式；‎ ‎(2)求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)f(a－1)的实数a的取值范围．‎ ‎1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．‎ ‎2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．右图是函数y＝ (m，n∈N*，m、n互质)的图象，则 (　　)‎ A．m，n是奇数，且<1‎ B．m是偶数，n是奇数，且>1‎ C．m是偶数，n是奇数，且<1‎ D．m是奇数，n是偶数，且>1‎ ‎2．(2010·陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是 (　　)‎ A．幂函数 B．对数函数 C．指数函数 D．余弦函数 ‎3．下列函数图象中，正确的是 (　　)‎ ‎4．(2010·安徽)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 (　　)‎ A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a ‎5．下列命题中正确的是 (　　)‎ ‎①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；‎ ‎②幂函数的图象不可能在第四象限；‎ ‎③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；‎ ‎④幂函数y＝xn当n>0时是增函数；‎ ‎⑤幂函数y＝xn当n<0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．‎ A．①和④ B．④和⑤‎ C．②和③ D．②和⑤‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2011·邯郸模拟)若幂函数y＝的图象不经过原点，则实数m的值为________．‎ ‎7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________．‎ ‎8．已知函数f(x)＝xα(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若00时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④若0f(x＋3)．‎ ‎11．(14分)(2011·荆州模拟)已知函数f(x)＝(k∈Z)满足f(2)0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．‎ 答案 自主梳理 ‎1．y＝xα　x　α　2.(2)(0，＋∞)　四　(3)(0,0)，(1,1)　增函数　不过 自我检测 ‎1．B　[方法一　由幂函数的图象与性质，n<0时不过原点，故C3，C4对应的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；‎ 由增(减)快慢知n(C1)>n(C2)>n(C3)>n(C4)．‎ 故C1，C2，C3，C4的n值依次为 ‎2，，－，－2.‎ 方法二　作直线x＝2分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为22,，，2－2，故n值分别为2，，－，－2.]‎ ‎2．D　[第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y＝，③y＝x－1恰好符合，‎ ‎∴第二个图象对应③；‎ 第三个图象为指数函数图象，表达式为y＝ax，且a>1，①y＝2x恰好符合，∴第三个图象对应①；‎ 第四个图象为对数函数图象，表达式为y＝logax，且a>1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②.‎ ‎∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.]‎ ‎3．A　4.C　5.B 课堂活动区 例1　解　(1)设f(x)＝xα，‎ ‎∵图象过点(，2)，故2＝()α，‎ 解得α＝2，∴f(x)＝x2.‎ 设g(x)＝xβ，∵图象过点(2，)，‎ ‎∴＝2β，解得β＝－2.‎ ‎∴g(x)＝x－2.‎ ‎(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示．‎ 由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1,1)．‎ ‎∴①当x>1，或x<－1时，f(x)>g(x)；‎ ‎②当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；‎ ‎③当－130.7.‎ ‎(2)函数y＝x3是增函数，∴0.213<0.233.‎ ‎(3)∵，‎ ‎∴.‎ ‎(4)＝1；0<＝1；‎ ‎<0，∴.‎ 变式迁移2　(1)①<　②<‎ ‎(2)m>0‎ 解析　根据幂函数y＝x1.3的图象，‎ 当01时，y>1，∴‎1.30.7‎>1.‎ 于是有0.71.3<‎1.30.7‎.‎ 对于幂函数y＝xm，由(0.71.3)m<(‎1.30.7‎)m知，当x>0时，随着x的增大，函数值也增大，∴m>0.‎ 例3　解　∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，‎ ‎∴m2－‎2m－3<0，解得－13－‎2a>0，‎ 或0>a＋1>3－‎2a，或a＋1<0<3－‎2a，‎ 解得a<－1或f(a－1)得 解得1≤a<.‎ ‎∴a的取值范围为[1，)．‎ 课后练习区 ‎1．C　[由图象知，函数为偶函数，‎ ‎∴m为偶数，n为奇数．‎ 又函数图象在第一限内上凸，∴<1.]‎ ‎2．C　[∵(x＋y)α≠xα·yα，‎ ‎∴幂函数f(x)＝xα不具有此性质．‎ ‎∵loga(x＋y)≠logax·logay，‎ ‎∴对数函数f(x)＝logax不具有此性质．‎ ‎∵ax＋y＝ax·ay，∴指数函数f(x)＝ax具有此性质．‎ ‎∵cos(x＋y)≠cos x·cos y，‎ ‎∴余弦函数y＝cos x不具有此性质．]‎ ‎3．C　[对A、B，由y＝x＋a知a>1，可知A、B图象不正确；‎ D中由y＝x＋a知0c，‎ ‎∵y＝()x在x∈(－∞，＋∞)递减，‎ ‎∴，即c>b，‎ ‎∴a>c>b.]‎ ‎5．D ‎6．1或2‎ 解析　由解得m＝1或2.‎ 经检验m＝1或2都适合．‎ ‎7．cα>.‎ 又∵x∈(0,1)，∴，故④错．‎ ‎9．解　设在[－1,1)中，f(x)＝xn，‎ 由点(，)在函数图象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分)‎ 令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，‎ ‎∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分)‎ 又f(x)周期为2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.‎ 即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分)‎ ‎10．解　由条件知>0，‎ ‎－n2＋2n＋3>0，解得－1f(x＋3)转化为x2－x>x＋3.‎ 解得x<－1或x>3.‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分)‎ ‎11．解　(1)∵f(2)0，解得－10满足题设，由(1)知 g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．‎ ‎∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(，)处取得．‎ ‎……………………………………………………………………………………………(8分)‎ 而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，‎ ‎∴g(x)max＝＝，…………………………………………………………………(12分)‎ g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.‎ 解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．……………………………………………………(14分)‎