高三数学总复习学案54 10页

学案54　直线与圆锥曲线的位置关系 导学目标： 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．‎ 自主梳理 ‎1．直线与椭圆的位置关系的判定方法 ‎(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．‎ ‎(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．‎ ‎②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．‎ ‎(3)直线与抛物线位置关系的判定方法 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎①当a≠0，用Δ判定，方法同上．‎ ‎②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．‎ ‎2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程 ‎(1)AB是椭圆＋＝1 (a>b>0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则kAB＝________，kAB·kOM＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：‎ ‎①将端点坐标代入方程：＋＝1，＋＝1.‎ ‎②两等式对应相减：－＋－＝0.‎ ‎③分解因式整理：kAB＝＝－＝－.‎ ‎(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线－＝1的弦，中点M(x0，y0)，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px (p>0)的弦AB的中点M(x0，y0)，则kAB＝____________.‎ ‎3．弦长公式 直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，‎ 则|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝ 或|AB|＝ |y1－y2|＝ ·.‎ 自我检测 ‎1．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)‎ A．4 B．‎3‎ C．4 D．8‎ ‎2．(2011·中山调研)与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是(　　)‎ A．(1,0) B. C．(－1,0) D. ‎3．(2011·许昌模拟)已知曲线＋＝1和直线ax＋by＋1＝0 (a、b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是(　　)‎ ‎4．(2011·杭州模拟)过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为(　　)‎ A．－ B．－ C．－4 D．无法确定 探究点一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？‎ 变式迁移1　已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ B.∪ C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ 探究点二　圆锥曲线中的弦长问题 例2　如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1交于A、B两点，‎ 记△AOB的面积为S.‎ ‎(1)求在k＝0,0b>0)，双曲线－＝1的两条渐近线为l1，l2，‎ 过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B.‎ ‎(1)当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎(2)求的最大值．‎ ‎【答题模板】‎ 解　(1)双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx＝30°，‎ ‎∴＝tan 30°＝，∴a＝b.又a2＋b2＝22，‎ ‎∴3b2＋b2＝4，[2分]‎ ‎∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆C的方程为＋y2＝1，‎ ‎∴离心率e＝＝.[4分]‎ ‎(2)由已知，l：y＝(x－c)与y＝x联立，‎ 解方程组得P.[6分]‎ 设＝λ，则＝λ，∵F(c,0)，设A(x0，y0)，则(x0－c，y0)＝λ，‎ ‎∴x0＝，y0＝.即A.[8分]‎ 将A点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa2)2＋λ‎2a4＝(1＋λ)‎2a2c2，‎ 等式两边同除以a4，(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0,1)，[10分]‎ ‎∴λ2＝＝－＋3‎ ‎≤－2 ＋3＝3－2＝(－1)2，‎ ‎∴当2－e2＝，即e2＝2－时，λ有最大值－1，即的最大值为－1.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．‎ ‎【易错点剖析】‎ 不能把转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝不会求最值或忽视e2－2<0这个隐含条件．‎ ‎1．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．‎ ‎2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·菏泽调研)F1、F2是椭圆＋＝1 (a>b>0)的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎2．若双曲线－＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px (p>0)通过点A，则p的值为(　　)‎ A. B．‎2 ‎ C. D. ‎3．(2011·武汉月考)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎ C. D. ‎4．已知直线y＝k(x＋2) (k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(　　)‎ A．2 B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2011届合肥期末)若直线y＝kx＋1 (k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则t的范围是______________．‎ ‎7．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．‎ ‎8．(2010·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若A＝M，则p＝________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求|AB ‎|的长．‎ ‎10．(12分)(2010·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4，求y0的值．‎ ‎11．(14分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.‎ ‎(1)求双曲线的离心率；‎ ‎(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．‎ 学案54　直线与圆锥曲线的位置关系 自主梳理 ‎1．(1)相交　相切　相离　(2)①相交　相切　相离　②一个 ‎(3)②平行　一个　2.(1)－　－　(2)　 自我检测 ‎1．C　2.C　3.C　4.B 课堂活动区 例1　解题导引　用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．‎ 解　由得2x2＋3(kx＋2)2＝6，‎ 即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，‎ Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.‎ 当Δ＝72k2－48>0，即k>或k<－时，直线和曲线有两个公共点；‎ 当Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－时，直线和曲线有一个公共点；‎ 当Δ＝72k2－48<0，即－或t<－.]‎ 例2　解题导引　本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．‎ 解　(1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，由＋y2＝1，解得x1,2＝±2，‎ 所以S＝b|x1－x2|＝2b≤b2＋1－b2＝1.‎ 当且仅当b＝时，S取到最大值1.‎ ‎(2)由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，‎ Δ＝16(4k2－b2＋1)．①‎ ‎|AB|＝|x1－x2|＝·＝2.②‎ 又因为O到AB的距离d＝＝＝1，‎ 所以b2＝k2＋1.③‎ 将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，‎ 解得k2＝，b2＝，代入①式检查，Δ>0.‎ 故直线AB的方程是：y＝x＋或y＝x－或y＝－x＋或y＝－x－.‎ 变式迁移2　解　(1)设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，‎ 则c＝，＝.∴a＝2，b＝1.‎ ‎∴所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由消去y得关于x的方程：‎ ‎5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，‎ 则Δ＝‎64m2‎－80(m2－1)>0，解得m2<5.(*)‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，‎ x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，‎ ‎∴|PQ|＝＝ ‎＝ ＝2，‎ 解得m2＝，满足(*)，∴m＝±.‎ 例3　解题导引　直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．‎ 解　由 (x≤－1)‎ 得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则，∴10，解得k<－或k>.‎ 即k的取值范围为∪.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，‎ 由方程①，x1＋x2＝－.②‎ 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2.③‎ 而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)．‎ 所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，‎ 将②③代入上式，解得k＝.‎ 由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.‎ 课后练习区 ‎1．A　2.C　3.A　4.D　5.C ‎6．[1,5)　7.5　8.2‎ ‎9．解　设直线AB的方程为y＝x＋b，‎ 由消去y得x2＋x＋b－3＝0，(3分)‎ ‎∴x1＋x2＝－1.‎ 于是AB的中点M(－，－＋b)，‎ 且Δ＝1－4(b－3)>0，即b<.(6分)‎ 又M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上，∴b＝1符合．(8分)‎ ‎∴x2＋x－2＝0.由弦长公式可得 ‎|AB|＝＝3.(12分)‎ ‎10．解　(1)由e＝＝，得‎3a2＝‎4c2.‎ 再由c2＝a2－b2，得a＝2b.‎ 由题意可知×‎2a×2b＝4，即ab＝2.‎ 解方程组得 所以椭圆的方程为＋y2＝1.(4分)‎ ‎(2)由(1)可知A(－2,0)，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．‎ 于是A，B两点的坐标满足方程组 由方程组消去y并整理，得 ‎(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.‎ 由根与系数的关系，得－2x1＝，‎ 所以x1＝，从而y1＝.‎ 设线段AB的中点为M，则M的坐标为(－，)．(6分)‎ 以下分两种情况讨论：‎ ‎①当k＝0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．‎ 由·＝4，得y0＝±2.(8分)‎ ‎②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为 y－＝－(x＋)．‎ 令x＝0，解得y0＝－.‎ 由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，‎ ·＝－2x1－y0(y1－y0)‎ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＝4，‎ 整理得7k2＝2，故k＝±.‎ 所以y0＝±.(11分)‎ 综上，y0＝±2或y0＝±.(12分)‎ ‎11．解　(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.‎ 由题意有·＝，(3分)‎ 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.(6分)‎ ‎(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①‎ 设＝(x3，y3)，＝λ＋，‎ 即(9分)‎ 又C为双曲线上一点，‎ 即x－5y＝5b2，有 ‎(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得 λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②‎ 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，‎ 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.(11分)‎ 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)‎ ‎＝－4x1x2＋‎5c(x1＋x2)－‎5c2＝10b2，‎ ‎②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.‎ ‎(14分)‎