高三数学总复习学案64 8页

学案64　排列与组合 导学目标： 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题．‎ 自主梳理 ‎1．排列的定义：__________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ 排列数的定义：_____________________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．‎ ‎2．排列数公式的两种形式：(1)A＝n(n－1)…(n－m＋1)，(2)A＝，其中公式(1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程．‎ 说明：①n！＝________________________，叫做n的阶乘；②规定0！＝______；③当m＝n时的排列叫做全排列，全排列数A＝______.‎ ‎3．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做_____________．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用________表示．‎ ‎4．组合数公式的两种形式：‎ ‎(1)C＝＝；‎ ‎(2)C＝，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且m≤的情况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等．‎ ‎5．C＝C⇔______________，m、k∈N，n∈N*.‎ ‎6．组合数的两个性质：(1)C＝__________，(2)C＝____________________.‎ 自我检测 ‎1．(2010·北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为(　　)‎ A．AA B．AC C．AA D．AC ‎2．(2011·广州期末七区联考)2010年上海世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有(　　)‎ A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 ‎3．从4台甲型与5台乙型电视机中任选3台，其中至少要有甲、乙型电视机各一台，则不同的取法共有(　　)‎ A．140种 B．84种 C．70种 D．35种 ‎4．(2011·烟台期末)‎2008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“神舟七号”的论文评选，若三年级文科共4个班，每班评出2名优秀论文(其中男女生各1名)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有(　　)‎ A．576种 B．1 152种 C．720种 D．1 440种 ‎5．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 ‎6．(2010·重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有(　　)‎ A．30种 B．36种 C．42种 D．48种 探究点一　含排列数、组合数的方程或不等式 例1　(1)求等式＝3中的n值；‎ ‎(2)求不等式－<中n的解集．‎ 变式迁移1　(1)解方程：A＝‎140A；‎ ‎(2)解不等式：A>‎6A.‎ 探究点二　排列应用题 例2　(2011·莆田模拟)六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？‎ ‎(1)甲不站两端；　　　　 (2)甲、乙必须相邻；‎ ‎(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人；‎ ‎(5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端．‎ 变式迁移2　用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．‎ 探究点三　组合应用题 例3　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？‎ ‎(1)男运动员3名，女运动员2名；‎ ‎(2)至少有1名女运动员；‎ ‎(3)队长中至少有1人参加；‎ ‎(4)既要有队长，又要有女运动员．‎ 变式迁移3　12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是(　　)‎ A．CA B．CA C．CA D．CA ‎1．解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步．‎ ‎2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．‎ ‎3．关于排列组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2009·湖南)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)‎ A．85 B．‎56 ‎ C．49 D．28‎ ‎2．(2010·全国Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)‎ A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 ‎3．(2010·重庆)某单位安排7位员工在‎10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在‎10月1日，丁不排在‎10月7日，则不同的安排方案共有(　　)‎ A．504种 B．960种 C．1 008种 D．1 108种 ‎4．(2011·济宁月考)6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有(　　)‎ A．13种 B．14种 C．15种 D．16种 ‎5．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是(　　)‎ A．24 B．‎36 ‎ C．48 D．60‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答)‎ ‎7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐3、4名，则大师赛共有________场比赛．‎ ‎8．(2011·马鞍山调研)参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人，其中男同志5人，女同志3人．现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作，要求在选出的3人中男、女同志都有，则不同的选法共有________种(用数字作答)．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(1)计算C＋C199200；‎ ‎(2)求C＋C的值；‎ ‎(3)求证：C＝C＝C.‎ ‎10．(12分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．‎ ‎(1)有女生但人数必须少于男生；‎ ‎(2)某女生一定担任语文课代表；‎ ‎(3)某男生必须包括在内，但不担任语文课代表；‎ ‎(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．‎ ‎11．(14分)从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？‎ 学案64　排列与组合 自主梳理 ‎1．从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列　从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同排列的个数　2.①n·(n－1)·…·2·1　②1　③n！　3.从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数　C　5.m＝k或m＋k＝n　6.(1)C　(2)C＋C 自我检测 ‎1．A　[不相邻问题用插空法，先排学生有A种排法，老师插空有A种方法，所以共有AA种排法．]‎ ‎2．A　[2件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有A种不同排法，让两件绘画作品插空有A种插法，两件书法作品之间的顺序也可交换，因此共有‎2AA＝24(种)．]‎ ‎3．C　[从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，有CC＋CC＝70(种)选法．]‎ ‎4．B　[女生论文有A种展览顺序，男生论文也有A种展览顺序，男生与女生论文可以交换顺序，有A种方法，故总的展览顺序有AAA＝1 152(种)．]‎ ‎5．B　[先将1,2捆绑后放入信封中，有C种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有CC种方法，‎ 所以共有CCC＝18(种)方法．]‎ ‎6．C　[若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C种选法，然后14日、15日有CC种安排方法，共有CCC＝24(种)安排方法；‎ 若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有CCC种安排方法，共有12(种)；‎ 若甲、乙都在15日值班，则共有CC＝6(种)安排方法．‎ 所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．]‎ 课堂活动区 例1　解题导引　(1)在解有关A、C的方程或不等式时要注意运用n≥m且m、n∈N*的条件；(2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的意义化简，然后再根据公式进行计算．注意最后结果都需要检验．‎ 解　(1)原方程可变形为 ＋1＝，C＝C，‎ 即 ‎＝·，‎ 化简整理得n2－3n－54＝0，‎ 解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，‎ ‎∴n＝9.‎ ‎(2)由－ ‎<，‎ 可得n2－11n－12<0，解得－1‎6A，‎ 得>6×，所以>1，‎ 所以－75