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- 2021-05-14 发布
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13.4 函数的连续性及极限的应用
●知识梳理
1.函数的连续性.
一般地,函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件:
(1)函数f(x)在点x=x0处有定义;(2)f(x)存在;(3)f(x)=f(x0).如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义,而且f(x)=f(x0),就说函数f(x)在点x0处连续.
2.如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值.
3.若f(x)、g(x)都在点x0处连续,则f(x)±g(x),f(x)·g(x),(g(x)≠0)也在点x0处连续.若u(x)在点x0处连续,且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处也连续.
特别提示
(1)连续必有极限,有极限未必连续.
(2)从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的.
●点击双基
1.f(x)在x=x0处连续是f(x)在x=x0处有定义的_________条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分又不必要
解析:f(x)在x=x0处有定义不一定连续.
答案:A
2.f(x)=的不连续点为
A.x=0
B.x=(k=0,±1,±2,…)
C.x=0和x=2kπ(k=0,±1,±2,…)
D.x=0和x=(k=0,±1,±2,…)
解析:由cos=0,得=kπ+(k∈Z),∴x=.
又x=0也不是连续点,故选D
答案:D
3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是
A.① B.②③ C.①④ D.③④
答案:A
4.四个函数:①f(x)=;②g(x)=sinx;③f(x)=|x|;④f(x)=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.(把你认为正确的代号都填上)
答案:②③④
●典例剖析
【例1】 (1)讨论函数f(x)=
(2)讨论函数f(x)=在区间[0,3]上的连续性.
剖析:(1)需判断f(x)=f(x)=f(0).
(2)需判断f(x)在(0,3)上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.
解:(1)∵f(x)=-1, f(x)=1,
f(x)≠f(x),
∴f(x)不存在.∴f(x)在x=0处不连续.
(2)∵f(x)在x=3处无定义,
∴f(x)在x=3处不连续.
∴f(x)在区间[0,3]上不连续.
【例2】 设f(x)=当a为何值时,函数f(x)是连续的.
解:f(x)= (a+x)=a, f(x)=ex=1,而f(0)=a,故当a=1时, f(x)=f(0),
即说明函数f(x)在x=0处连续,而在x≠0时,f(x)显然连续,于是我们可判断当a=1时,
f(x)在(-∞,+∞)内是连续的.
评述:分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.
【例3】 如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转90°,前进a r(0<r<1=个单位,再向左转90°,又前进a r2个单位,…,如此连续下去.
(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?
(2)若其中的r为变量,且0<r<1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?
剖析:(1)小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置.
(2)可先求最终目的地关于r的参数形式的方程.
解:(1)由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q(x,y),则
x=a-ar2+ar4-…==,
y=ar-ar3+ar5-…=,
∴大本营应在点(,)附近去寻找小分队.
(2)由消去r得(x-)2+y2=(其中x>,y>0),
即行动的最终目的地在以(,0)为圆心,为半径的圆上.
●闯关训练
夯实基础
1.函数f(x)=则有
A.f(x)在x=1处不连续
B.f(x)在x=2处不连续
C.f(x)在x=1和x=2处不连续
D.f(x)处处连续
解析:f(x)=0, f(x)=1,
∴f(x)在x=1处不连续.
答案:A
2.若f(x)在定义域[a,b]上有定义,则在该区间上
A.一定连续
B.一定不连续
C.可能连续也可能不连续
D.以上均不正确
解析:有定义不一定连续.
答案:C
3.已知函数f(x)=函数f(x)在哪点连续
A.处处连续 B.x=1
C.x=0 D.x=
解析:f(x)= f(x)=f().
答案:D
4.有以下四个命题:
①f(x)=在[0,1]上连续;
②若f(x)是(a,b)内的连续函数,则f(x)在(a,b)内有最大值和最小值;
③=4;
④若f(x)=则f(x)=0.
其中正确命题的序号是____________.(请把你认为正确命题的序号都填上)
答案:③
5.抛物线y=b()2、x轴及直线AB:x=a围成了如图(1)的阴影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以为底的内接矩形如图(2),阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值,求S.
解:S=[b·()2+b·()2+b·()2+…+b·()2]2·
=·ab
=·ab=ab.
培养能力
6.求y=f(x)=的不连续点.
解:易求f(x)的定义域为{x|x≠-1,0,1},所以f(x)的不连续点为x=-1,x=0和x=1.
7.(2002年春季上海)某公司全年的纯利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到n排序,第1位职工得奖金元,然后将余额除以n发给第2位职工,按此方案将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额,试求a2、a3,并用k、n和b表示ak(不必证明);
(2)证明:ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;
(3)发展基金与n和b有关,记为Pn(b).对常数b,当n变化时,求Pn(b)(可用公式 (1-)n=).
(1)解:a1=,a2=(1-)·b,a3=(1-)2·b,…,ak=(1-)k-1·b.
(2)证明:ak-ak+1=(1-)k-1·b>0,此奖金分配方案体现了按劳分配的原则.
(3)解:设fk(b)表示发给第k位职工后所剩余额,则f1(b)=(1-)·b,f2(b)=(1-)2·b,…,f k(b)=(1-)k·b,
得Pn(b)=fn(b)=(1-)n·b,
故Pn(b)=.
探究创新
8.(2003年北京)如图,在边长为l的等边△ABC中,圆O1为△ABC的内切圆,圆O2与圆O1外切,且与AB、BC相切,…,圆On+1与圆On外切,且与AB、BC相切,如此无限继续下去,记圆On的面积为an(n∈N*).
(1)证明{an}是等比数列;
(2)求(a1+a2+…+an)的值.
(1)证明:记rn为圆On的半径,
则r1=tan30°=l.
=sin30°=,∴rn=rn-1(n≥2).
于是a1=πr12=,=()2=,
∴{an}成等比数列.
(2)解:因为an=()n-1·a1(n∈N*),
所以(a1+a2+…+an)==.
●思悟小结
1.函数f(x)在点x0处连续反映到函数f(x)的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数f(x)在点x0处不连续(间断)大致有以下几种情况(如下图所示).
图甲表示的是f(x)在点x0处的左、右极限存在但不相等,即f(x)不存在.
图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于f(x)不存在的情况.
图丙表示的是f(x)存在,但函数f(x)在点x0处没有定义.
图丁表示的是f(x)存在,但它不等于函数在这一点处的函数值f(x0).
●教师下载中心
教学点睛
1.函数f(x)在点x0处连续与f(x)在点x 0处有极限的联系与区别:
其联系是:f(x)在点x0处连续是依据f(x)在点x0处的极限来定义的,它要求f(x)存在.
其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,f(x)在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于f(x)的定义域,也可以不属于f(x)的定义域,即与f(x0)是否有意义无关,而f(x)在点x0处连续,要求f(x)在点x0及其附近都有定义;其次,f(x)在点x0处的极限(值)与f(x)在点x0处的函数值f(x0)可以无关,而f(x)在点x0处连续,要求f(x)在点x0处的极限(值)等于它在这一点的函数值f(x0).
我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.
2.函数f(x)在点x0处连续必须具备以下三个条件:
函数f(x)在点x=x0处有定义;
函数f(x)在点x=x0处有极限;
函数f(x)在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值,即f(x)=f(x0).
这三个条件缺一不可,是我们判断函数在一点处是否连续的重要工具.
●拓展题例
【例题】 一弹性小球自h0=5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的,不计每次碰撞时间,计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间.
解:设小球第一次落地时速度为v0,则有v0==10(m/s),那么第二,第三,…,第n+1次落地速度分别为v1=v0,v2=()2v0,…,vn=()nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L1=2×=10×(.
小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L2,则L2=2×=10×()4.
由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为Ln=10×()2n.
故从第一次到第n+1次所经过的路程为
Sn+1=h0+L1+L2+…+Ln,则整个过程总路程为
S=Sn+1=5+10×=5+10=20.3(m),小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t0==1(s).
小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t1=2×=2×,同理可得
tn=2×()n,tn+1=t0+t1+t2+…+tn,则t=tn+1=1+2×=8(s).
上例是借助数学工具来解决物理问题,这样有利于学生对数学知识的进一步理解,增强学生对数学的应用意识,培养学生的数学应用能力.
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