【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第四章　第6讲　第2课时　正、余弦定理的综合问题学案 11页

第2课时　正、余弦定理的综合问题 ‎　　　　　　与三角形面积有关的问题(多维探究)‎ 角度一　计算三角形的面积 ‎ (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为 ．‎ ‎(2)(2020·河南开封模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为 ．‎ ‎【解析】　(1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.‎ 法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.‎ ‎(2)因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2sin＝.‎ ‎【答案】　(1)6　(2) 求三角形面积的方法 ‎(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；‎ ‎(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．‎ 角度二　已知三角形的面积解三角形 ‎ (2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则ab＝ ，a＋b＝ ．‎ ‎【解析】　因为(3b－a)cos C＝ccos A，所以利用正弦定理可得3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B．又因为sin B≠0，所以cos C＝，则C为锐角，所以sin C＝.由△ABC的面积为3，可得absin C＝3，所以ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，所以(a＋b)2＝ab＝33，所以a＋b＝.‎ ‎【答案】　9　 已知三角形面积求边、角的方法 ‎(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；‎ ‎(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．‎ ‎[注意]　正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．‎ ‎1．(2020·江西九江模拟考试)在△ABC中，AC＝，BC＝，cos A＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B．5‎ C．10 D． 解析：选A.由AC＝，BC＝，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcos A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝＝，故S△ABC＝×5××＝.选A.‎ ‎2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csin.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，周长为8，求a.‎ 解：(1)由题设得asin C＝ccos，‎ 由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos，‎ 所以sin A＝cos ，‎ 所以2sincos＝cos，所以sin＝，‎ 所以A＝60°.‎ ‎(2)由题设得bcsin A＝，从而bc＝4.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝(b＋c)2－12.‎ 又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝.‎ ‎　　　　　三角形面积或周长的最值(范围)问题(师生共研)‎ ‎ (2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．‎ ‎【解】　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.‎ 因为sin A≠0，所以sin＝sin B.‎ 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.‎ 因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.‎ ‎(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.‎ 由正弦定理得a＝＝＝＋.‎ 由于△ABC为锐角三角形，故0°