【数学】2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第四节基本不等式教案 8页

第四节　基本不等式 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解基本不等式的证明过程；‎ ‎2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。‎ ‎2014，福建卷，13,4分(基本不等式的实际应用)‎ ‎2013，天津卷，14,5分(基本不等式求最值)‎ ‎2013，山东卷，12,5分(基本不等式求最值)‎ 从近五年的高考试题来看，利用基本不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档。主要考查最值、转化与化归思想。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)。‎ ‎2．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0；‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；‎ ‎(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数。‎ ‎3．利用基本不等式求最大、最小值问题 ‎(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值2。(简记：“积定和最小”)‎ ‎(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值。(简记：“和定积最大”)‎ ‎4．常用的几个重要不等式 ‎(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)。‎ ‎(2)ab≤2(a，b∈R)。‎ ‎(3)2≤(a，b∈R)。‎ ‎(4)＋≥2(a，b同号)。‎ 以上不等式等号成立的条件均为a＝b。‎ 微点提醒 ‎1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。忽略某个条件，就会出错。‎ ‎2．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系。‎ ‎3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修5P‎100A组T1(2)改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)‎ A．80 B．77‎ C．81 D．82‎ ‎【解析】　xy≤2＝2＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．(必修5P100练习T3改编)若把总长为‎20 m的篱芭围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是______。‎ ‎【解析】　设矩形的一边为x m，‎ 则另一边为×(20－2x)＝(10－x) m，所以S＝x(10－x)＝－(x－5)2＋25(00，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ A.≤ B.＋≤1‎ C.≥2 D．a2＋b2≥8‎ ‎【解析】　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)‎ A．1＋ B．1＋ ‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C。‎ ‎【答案】　C ‎4．若x＞1，则x＋的最小值为__________。‎ ‎【解析】　x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5(x>1)。‎ 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立。‎ ‎【答案】　5‎ ‎5．已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝＋的最小值为__________。‎ ‎【解析】　由已知条件lgx＋lgy＝1，可知xy＝10。‎ 则＋≥2＝2，故min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号。又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立。‎ ‎【答案】　2‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 利用基本不等式证明不等式 ‎【典例1】　(1)设f(x)＝lnx,0p C．p＝rq ‎(2)已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8。‎ ‎【解析】　(1)由条件可得p＝f()＝ln(ab)＝ln(ab)＝(lna＋lnb)，‎ r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝p，‎ 由不等式的性质：在0，且函数f(x)＝lnx是增函数，‎ 所以p＝f()，①‎ －1＝＝>，②‎ －1＝＝>，③‎ 又x，y，z为正数，由①×②×③，‎ 得>8。‎ ‎【答案】　(1)C　(2)见解析 反思归纳　利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等。‎ ‎【变式训练】　设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2。‎ ‎【证明】　由于a，b均为正实数，‎ 所以＋≥2 ＝，‎ 当且仅当＝，即a＝b时等号成立，‎ 又因为＋ab≥2 ＝2，‎ 当且仅当＝ab时等号成立，‎ 所以＋＋ab≥＋ab≥2，‎ 当且仅当即a＝b＝时取等号。‎ 考点二 ‎ 利用基本不等式求最值…………多维探究 角度一：配凑法求最值 ‎【典例2】　(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________。‎ ‎(2)函数y＝(x>1)的最小值为________。‎ ‎【解析】　(1)因为x<，所以5－4x>0，‎ 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1。‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立。‎ 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1。‎ ‎(2)y＝＝ ‎＝ ‎＝(x－1)＋＋2≥2＋2(x>1)。‎ 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立。‎ ‎【答案】　(1)1　(2)2＋2‎ 角度二：常数代换法求最值 ‎【典例3】　已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________。‎ ‎【解析】　∵a>0，b>0，a＋b＝1，‎ ‎∴＋＝＋＝2＋＋ ‎≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立。‎ ‎【答案】　4‎ ‎【母题变式】　1.本典例的条件不变，则 的最小值为________。‎ ‎【解析】　＝ ‎＝·＝5＋2≥5＋4＝9。当且仅当a＝b＝时，取等号。‎ ‎【答案】　9‎ ‎2．本典例的条件和结论互换即：已知a>0，b>0，＋＝4，则a＋b的最小值为________。‎ ‎【解析】　由＋＝4，得＋＝1。‎ ‎∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2 ＝1。‎ 当且仅当a＝b＝时取等号。‎ ‎【答案】　1‎ 角度三：消元法求最值 ‎【典例4】　已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________。‎ ‎【解析】　因为xy＋2x＋y＝4，所以x＝。由x＝>0，得－20，则00，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元。‎ ‎【答案】　8‎ 微考场　新提升 ‎1．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥‎2”‎成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥‎2”‎的必要不充分条件。故选B。‎ 答案　B ‎2．(2017·青岛模拟)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 解析　因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，‎ 所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，‎ 当且仅当＝，即x＝，y＝时，取等号。故选C。‎ 答案　C ‎3．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析　因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)所以＋＝1，所以1＝＋≥2 ＝(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以≥2。又a＋b≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以a＋b≥4(当且仅当a＝b＝2时取等号)。故选C。‎ 答案　C ‎4．(2016·鄂州一模)已知x>0，则的最大值为________。‎ 解析　因为＝，又x>0时，x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以0<≤，即的最大值为。‎ 答案　 ‎5．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________。‎ 解析　依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20。‎ 答案　20‎