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- 2021-06-15 发布
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课时作业66 参数方程
1.已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
解:(1)由已知,点M的极角为,且点M的极径等于,
故点M的极坐标为.
(2)由(1)知点M的直角坐标为,A(1,0).
故直线AM的参数方程为(t为参数).
2.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.
当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,
当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0. ①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.
3.(2020·石家庄教学质量检测)已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,以极点O为直角坐标原点,以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy,将曲线C1向左平移2个单位长度,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得到曲线C2.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)已知直线l的参数方程为(t为参数),点Q为曲线C2上的动点,求点Q到直线l距离的最大值.
3
解:(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,
所以曲线C1的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
设曲线C1上任意一点的坐标为(x,y),变换后对应的点的坐标为(x′,y′),则即
代入曲线C1的直角坐标方程(x-2)2+y2=4中,整理得x′2+=1,所以曲线C2的直角坐标方程为x2+=1.
(2)设Q(cosθ1,2sinθ1),由直线l的参数方程得直线l的普通方程为3x-2y-8=0,则Q到直线l的距离d=
=(tanα=),
当cos(θ1+α)=-1时,d取得最大值,为,
所以点Q到直线l距离的最大值为.
4.(2020·福州市质量检测)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,a∈R).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,射线θ=(ρ≥0)与曲线C交于O,P两点,直线l与曲线C交于A,B两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)当|AB|=|OP|时,求a的值.
解:(1)将直线l的参数方程化为普通方程,得x+y-a=0.
由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,从而x2+y2=4x,即曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0.
(2)由得P(2,).
所以|OP|=2,将直线l的参数方程代入圆的方程x2-4x+y2=0中,得t2+(2+a)t+a2=0,
由Δ>0,得2-4
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