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- 2021-06-15 发布
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椭 圆
(1)第一定义——把椭圆从圆中分离
椭圆从圆(压缩)变形而来,从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长,但又产生了2个新的定点——焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义,是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.
【例1】 若点M到两定点F1(0,-1),F2(0,1)的距离之和为2,则点M的轨迹是 ( )
.椭圆 .直线 .线段 .线段的中垂线.
【解析】注意到且故点M只能在线段上运动,即点M的轨迹就是线段,选C.
【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件,那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点,就会错误地选A.
(2)勾股数组——椭圆方程的几何特征
椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c,满足.在a、b、c三个参数中,只要已知或求出其中的任意两个,便可以求出第3个,继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.
椭圆方程的标准式有明显的几何特征,这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.
【例2】已知圆,圆内一定点(3,0),圆过点且与圆内切,求圆心的轨迹方程.
【解析】如图,设两圆内切于C,动点P(x,y),
则A、P、C共线. 连AC、PB,∵
为定长,而A(-3,0),B(3,0)为定点,∴圆心的
轨迹是椭圆.且.所求轨迹方程为:
.
(3)第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟
如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程,那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释,我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.
【例3】已知椭圆,能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P,使它到左准线的距离是它到两焦点F1,F2距离的比例中项.
【解析】由椭圆方程知:.
椭圆的左准线为:.设存在椭圆上一点P(x,y)
(x<0)符合所设条件.作PH⊥l于H.令
,则有:
.但是
.
∴.又.
这与矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点.
● 通法 特法 妙法
(1)解析法——解析几何存在的理由
解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下,平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之,根据任意一个二元方程,都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线.因此,可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式.
【例4】点P(x,y)在椭圆上,则的最大值为 ( )
A.1 B.-1 C. D.
【解析】设
方程(1)表示过椭圆上一点P(x,y)
和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时,
最大.将方程(1)代入椭圆方程得:
由于直线与椭圆相切,故方程(2)应有相等二实根.由
.∵k>0,∴取,选D.
【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根,因而可转化为其判别式为零处理;同理,直线与曲线相交要求相应的判别式大于零,相离则要求这个判别式小于零.
(2)导数法——把方程与函数链接
由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算,所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算,又能达到解题目的的好方法,导数法就是最为明显的一种.
【例5】求证:过椭圆上一点的切线方程为:.
【证明一】(解析法)设所求切线方程为:,代入椭圆方程:
.化简得:
∵直线与椭圆相切,∴方程(1)有相等二实根.其判别式△=0,即:
.
化简得:
∵点在椭圆上,∴,方程(2)之判别式
.
故方程(2)亦有相等二实根,且其根为:
.则切线方程为:
.再化简即得:.
【证明二】(导数法)对方程两边取导数:
.则切线方程为:
.再化简即得:.
【评注】(1)两种证法的繁简相差多大,一看便知
(2)这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.
(3)几何法——为解析法寻根朔源
减少解析计算的又一个重要手段,是在解题中充分运用平面几何知识.
【例6】(07.湖南文科.9题)设分别是椭圆()的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【解析】如图有,设右准线交x轴于H,
∵
,选D.
【例7】已知椭圆和圆
总有公共点,则实数的取值范围是 ( )
【解析】如右图椭圆的中心在原点,
且长、短半轴分别为a=2,b=1;圆
的圆心为C(a,0)且半径R=1.
显然,当圆C从椭圆左边与之相切右移到椭圆
右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3,故a∈,选C.
在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面,一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能,二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.
(4)转移法——将生疏向熟知化归
做数学题如果题题都从最原始的地方起步,显然是劳神费力且违反数学原则的.不失时机地运用前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体体现.
【例8】(06.全国一卷.20题)在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点,离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程
【分析】点P在已知轨迹(椭圆在第一象限的部分)上,
是主动点;点M在未知轨迹上,且随着点P的运动而运动,是
被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹,适合用坐标
转移法解之.此外,过椭圆上一点P的切线方程,可以直接运用
例5的结论.
【解析】椭圆的半焦距,离心率
.又椭圆的焦点在y轴上,故其
方程为:.
设点P的坐标为那么
过点P的椭圆切线方程为:
在方程(2)中,令y=0,得.
设点M的坐标为.由OM=OA+OBÞ
,代入(1):.
∵,∴所求点M的轨迹方程是:.
转移法求轨迹方程的基本步骤是:(1)在已知轨迹上任取一点M(x0,y0),并写出其满足的已知关系式;(2)设P(x,y)为待求轨迹上一点,并根据题设条件求出两个坐标的关系式;(3)用x,y的代数式分别表示x0,y0,代入(1)中的关系式化简即得.
(5)三角法——与解析法珠联璧合
三角学的资源丰富,方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识,优点多多.例如椭圆方程的三角形式是:,既将点的坐标中的两个变量减少为一个,又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难.
【例9】若P是椭圆上的点,F1和F2是焦点,则的最大值和最小值分别是
【解析】椭圆的长、短半轴分别为a=2,b=,∴半焦距c=1.焦点坐标分别为:F1(-1,0),F2(1,0).设椭圆上一点为,那么
.
同理;.于是
故所求最大值为4,最小值是3.
【例10】如图1,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x = 12。(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上任取三个不同点,
使,证明
为定值,并求此定值.
【分析】本题选自07.重庆卷.22题,是压轴题.
难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径,
否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.
有关的3条线段都是焦半径,企图用椭圆的
第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确
的解题途径是:(1)利用椭圆的第二定义;(2)
题中有3个相等的角度,应不失时机地引入三角
知识.
【解析】椭圆的半焦距c=3,右准线x = 12
图2
.
故椭圆方程为:,其离心率.
如图2设为椭圆上符合条件的三点,令.作P1H1⊥于H1,令,
设∠P1Fx=θ则∠P2Fx=θ+120°∠P3Fx= 120°-θ.于是,而
.
同理:.于是
,故为定值.
如果读者有极坐标的有关知识,则本题的解法将更为简洁
圆锥曲线的极坐标方程是:.其中e是椭圆的离心率,p是相应焦点到准线的距离,θ是极径与极轴的夹角.
巧用定义求椭圆中四类最值问题
圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据,又是用来解决一些问题的重要方法,一般情况下,当问题涉及焦点或准线,且用其它方法不易求解时,可考虑运用定义求解,下面以椭圆为例归纳四类最值问题。
一、的最值
若A为椭圆内一定点(异于焦点),P是C上的一个动点,F是C的一个焦点,e是C的离心率,求的最小值。
例1. 已知椭圆内有一点A(2,1),F是椭圆C的左焦点,P为椭圆C上的动点,求的最小值。
分析:注意到式中的数值“”恰为,则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过,这里不再重复,答案为。
二、的最值
若A为椭圆C内一定点(异于焦点),P为C上的一个动点,F是C的一个焦点,求的最值。
例2. 已知椭圆内有一点A(2,1),F为椭圆的左焦点,P是椭圆上动点,求的最大值与最小值。
解:如图1,设椭圆的右焦点为,可知其坐标为(3,0)
图1
由椭圆的第一定义得:
可知,当P为的延长线与椭圆的交点时,最大,最大值为,当P为的延长线与椭圆的交点时,最小,最小值为。
故的最大值为,最小值为。
三、的最值
若A为椭圆C外一定点,为C的一条准线,P为C上的一个动点,P到的距离为d,求的最小值。
例3. 已知椭圆外一点A(5,6),为椭圆的左准线,P为椭圆上动点,点P到的距离为d,求的最小值。
解:如图2,设F为椭圆的左焦点,可知其坐标为
图2
根据椭圆的第二定义有:,即
可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时,最小,最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值
例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动,求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解:设F为椭圆的右焦点,如图3,作于A”,BB”⊥于B”,MM”⊥于M”
图3
则
当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注:是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值,是AB能过焦点的充要条件。
椭圆中减少运算量的主要方法
椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法,以下的四种主要方法比较常用,能够有效地减少运算量,希望同学们切实掌握。
一、追根溯源,回归定义
椭圆中许多性质都是由定义派生出来的,如果能够从其定义出发,挖掘它的性质,把定量的计算和定性的分析有机地结合起来,则可以大大地减少运算量。
例1. (全国高中数学联赛)给定A(-2,2),已知B是椭圆上的动点,F是左焦点,当取得最小值时,求B点坐标。
分析:如果设点B的坐标,再求则计算量相当大,而如果利用椭圆的第二定义,把转化为B点到左准线的距离就简单的多。
解:由已知椭圆方程得:,左准线为。如图1,过B点作左准线的垂线,垂足为N。过A点作此准线的垂线,垂足为M。根据椭圆的第二定义得:
则(为定值)
当且仅当B点是线段AM与椭圆的交点时等号成立。
可解得B点的坐标是
二、充分运用平面几何性质
结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题,也是避免繁杂运算的有效途径之一。
例2. 椭圆的焦点为,点P为其上的动点。当为钝角时,点P的横坐标的取值范围是____________。
分析:用为钝角的充要条件和焦半径公式以及余弦定理解题,最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。而充分运用平面几何性质则会得以简解。
解:依题意
以原点为圆心,为半径作圆,则是圆的直径。
若P点在圆外,则为锐角;若P点在圆上,则为直角;若P点在圆内,则为钝角。
联立
消去得:
故即为所求。
三、利用图形的性质化繁为简
细观题意,察看图形特征,从中找出解题突破口,也可以避免大量的运算。
例3. (四川高中数学竞赛)已知P点在圆上移动,Q点在椭圆上移动,求的最大值。
分析:如图2,本题如能从图形出发,看到的最大值,等于的最大值与圆的半径之和,则可避免大量的运算。
图2
解:设,则,即
的最大值为
四、利用“点差法”,设而不求
与弦中点的有关问题,主要有三种题型:求平行弦的中点轨迹;求过定点的弦中点的轨迹;求被定点平分的弦所在直线的方程,都可用“点差法”减少运算量。
例4. 椭圆中,过点P(1,1)的弦AB恰被点P平分,求弦AB所在的直线方程。
解:设,则
由<1>-<2>得:
则直线AB的斜率为:
故弦AB所在直线的方程为:
即
利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角换元等方法也能起到减少运算量、提高计算速度的作用,在此就不再赘述了。
椭圆
1已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程
解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n-1=0,
Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即m+n-mn>0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,将m+n=2,代入得m·n=②
由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1
2
圆中,求面积最小的圆的半径长。
解:
(III)面积最小的圆的半径应是点F到直线l的距离,设为r
3已知、是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足为坐标原点),,若椭圆的离心率等于
(Ⅰ)求直线AB的方程; (Ⅱ)若的面积等于,求椭圆的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,椭圆上是否存在点M使得的面积等于?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
解: (Ⅰ)由知直线AB经过原点,又由
因为椭圆离心率等于,故
椭圆方程可以写成, 设所以,
故直线AB的斜率,因此直线AB的方程为
(Ⅱ)连接AF1、BF1,由椭圆的对称性可知,
所以故椭圆方程为
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以求得
假设在椭圆上存在点M使得的面积等于,设点M到直线AB的距离为d,则应有,所以
设M所在直线方程为与椭圆方程联立消去x得方程
即故在椭圆上不存在点M使得的面积等于
4已知F1、F2是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足(O是坐标原点),若椭圆的离心率等于 (1)求直线AB的方程;
(2)若三角形ABF2的面积等于,求椭圆的方程;
.解:(1)由知,由直AB经过原点,
又由,因为椭圆的离心率等于,
所以,故椭圆方程 设A (x,y),由,知x = c,
∴A (c,y),代入椭圆方程得, 故直线AB的斜率
因此直线AB的方程为
(2)连结AF1、BF1、AF2、BF2,由椭圆的对称性可知,
所以,又由,解得,故椭圆的方程为
5 已知椭圆,它的上下顶点分别是A、B,点M是椭圆上的动点(不与A、B重合),直线AM交直线y=2于点N,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若斜率为1的直线l交椭圆于P、Q两点,求证:与向量a=(-3,1)共线(其中O为坐标原点).
.解:(I)由题意,A(0,1),B(0,-1),设M(x0,y0),x0≠0.
∴则直线AM的方程为
①, 又∵M(x0,y0)在椭圆上, ②
①、②联立并消去y0,得 ∴椭圆方程为
(II)解法一:设直线PQ方程为y=x+b.
解法二:设①, ②.
①-②,得,
6已知直线相交于A、B两点,且(I)求椭圆C的离心率;
(II)若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆上,求椭圆C的方程.
解:(I)设.
由.
该方程的两根为,由韦达定理,得
,
(II)设椭圆的右焦点为F(c,0),F关于直线l的对称点为,
则
故所求椭圆方程为.
7已知定点A(-2,0),动点B是圆(F为圆心)上一点,线段AB的垂直平分线交BF于P。
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)直线交P点的轨迹于M,N两点,若P点的轨迹上存在点C,使求实数m的值;
解:(1)由题意:∵|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8∴|PA|+|PF|=8>|AF|∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆
设方程为
(2)设
………………………………14分
8已知椭圆一个顶点为A(0,1),且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过A点且斜率为k的直线与椭圆相交于A、B两点,点M在椭圆上,并且满足,求k的值.
解:(Ⅰ)∵双曲线∴椭圆的离心率为。
∵椭圆的一个顶点为A(0,1),∴b=1
(Ⅱ)过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1,代入到椭圆方程中,消去y并整理得
显然这个方程有两解。设
即A(0,1),B
将E点的坐标代入到椭圆方程中,并去坟墓可得
展开整理得
方法二:
(Ⅱ)过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1,代入到椭圆方程中,消去y并整理得
①显然这个方程有两解。设
∵点M在C上,
②
又由①式知:
代入到②式得
9 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,经过点的直线l与向量(-2,)平行且通过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于A、B两点,又 (1)求直线l的方程; (2)求椭圆C的方程.
(1)直线l过点且与向量(-2,)平行
则l方程为:化简为:
(2)设直线与椭圆交于A(
由
将中整理得
由韦达定理可知:………………9分
由①2/②知32b2=(4b2+5a2)(a2-1) 又=1,故可求得 因此所求椭圆方程为:
10已知椭圆的右焦点为F,短轴长,直线轴相交于点A,且,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若以PQ为直径的圆恰好经过原点,求直线PQ的方程。
解:(Ⅰ)由已知得 解得 ∴ 椭圆的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得A(3,0) 设直线PQ的方程为 由方程组
得
依题意 得
设
∵解得 ∴直线PQ的方程为
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