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  • 2021-06-15 发布

2020_2021学年新教材高中数学第8章函数应用8

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‎8.2 函数与数学模型 ‎8.2.1 ‎几个函数模型的比较 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义.(重点)‎ ‎2.区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异.(易混点)‎ ‎3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.(难点)‎ 借助三个函数模型的增长特征,培养学生数学运算、数学建模的核心素养.‎ 我们看到,一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上,这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此,如果把握了不同函数增长方式的差异,那么就可以根据现实问题的增长情况,选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.尝试完成下表.‎ 三种函数模型的性质 y=ax(a>1)‎ y=logax(a>1)‎ y=kx+b(k>0)‎ 在(0,+∞)上的增减性 图象的变化趋势 增长速度 三种函数模型的性质 y=ax(a>1)‎ y=logax(a>1)‎ y=kx(k>0)‎ 在(0,+∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 ‎①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度越来越快,会远远大于y=kx(k>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度越来越慢 - 6 -‎ ‎;在描述现实问题的变化规律时,常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式 ‎②当x足够大时,总有ax>kx>logax ‎1.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是(  )‎ A.y减少1个单位 B.y增加1个单位 C.y减少2个单位 D.y增加2个单位 C [结合函数y=1+2x的变化特征可知C正确.]‎ ‎2.下列函数中,随x的增大而增大且速度最快的是(  )‎ A.y=ex B.y=ln x C.y=2x D.y=e-x A [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确.]‎ ‎3.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.‎ 以下四种说法:‎ ‎①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变.‎ 其中说法正确的序号是________.‎ ‎②③ [结合图象可知②③正确,故填②③.]‎ 几类函数模型的增长差异 ‎【例1】 (1)下列函数中,增长速度最快的是(  )‎ A.y=2 019x       B.y=2019‎ C.y=log2 019x D.y=2 019x ‎(2)下面对函数f(x)=logx,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是(  )‎ A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢 - 6 -‎ B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快 C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变 D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快 ‎(1)A (2)C [(1)指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度越快,应选A.‎ ‎(2)观察函数f(x)=logx,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:‎ 函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢,同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.]‎ 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型,一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.‎ (2)指数函数模型,指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.‎ (3)对数函数模型,对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.‎ ‎1.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:‎ x ‎1‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ y1‎ ‎2‎ ‎26‎ ‎101‎ ‎226‎ ‎401‎ ‎626‎ ‎901‎ y2‎ ‎2‎ ‎32‎ ‎1 024‎ ‎37 768‎ ‎1.05×106‎ ‎3.36×107‎ ‎1.07×109‎ y3‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ y4‎ ‎2‎ ‎4.332‎ ‎5.322‎ ‎5.907‎ ‎6.322‎ ‎6.644‎ ‎6.907‎ 关于x呈指数函数变化的变量是________.‎ y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4‎ - 6 -‎ 均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.故填y2.]‎ 指数函数、对数函数与一次函数模型的比较 ‎【例2】 函数f(x)=2x和g(x)=2x的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.‎ ‎(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;‎ ‎(2)结合函数图象,判断f与g,f(2 020)与g(2 020)的大小.‎ ‎[解] (1)C1对应的函数为g(x)=2x,C2对应的函数为f(x)=2x.‎ ‎(2)∵f(1)=g(1),f(2)=g(2),‎ 从图象上可以看出,当1<x<2时,f(x)<g(x),‎ ‎∴f<g;‎ 当x>2时,f(x)>g(x),‎ ‎∴f(2 020)>g(2 020).‎ 由图象判断指数函数、一次函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数.‎ ‎2.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.‎ ‎(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;‎ ‎(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).‎ - 6 -‎ ‎[解] (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.‎ ‎(2)当xf(x);当x1g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).‎ 直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线y=kx+b(k≥0)、指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logbx(b>1),当自变量变得很大时,指数函数比一次函数增长得快,一次函数比对数函数增长得快,并且直线上升,其增长量固定不变.‎ ‎1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y=2x比y=2x增长的速度更快些. (  )‎ ‎(2)当a>1,k>0时,在区间(0,+∞)上,对任意的x,总有logaxg(x);‎ 当x=4时,f(x)=g(x);‎ - 6 -‎ 当x>4时,f(x)