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  • 2021-06-15 发布

2020年高中数学第一章计数原理1

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‎1.3.1‎‎ 二项式定理 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是(  )‎ A.2n B.2n+1‎ C.2n-1 D.2(n+1)‎ 解析:根据二项式定理可知,展开式共有2n+1项.‎ 答案:B ‎2.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(  )‎ A.(2x+2)5 B.2x5‎ C.(2x-1)5 D.32x5‎ 解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.‎ 答案:D ‎3.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=(  )‎ A.-4 B.-3‎ C.-2 D.-1‎ 解析:先求出(1+x)5含有x与x2的项的系数,从而得到展开式中x2的系数.(1+x)5中含有x与x2的项为T2=Cx=5x,T3=Cx2=10x2,∴x2的系数为10+‎5a=5,∴a=-1,故选D.‎ 答案:D ‎4.使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(  )‎ A.4 B.5‎ C.6 D.7‎ 解析:Tr+1=C(3x)n-rr=C3n-rx,当Tr+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时成立.‎ 答案:B ‎5.(x2+2)(-1)5的展开式的常数项是(  )‎ A.-3 B.-2‎ C.2 D.3‎ 解析:(-1)5的展开式的通项为Tr+1=C()5-r·(-1)r,r=0,1,2,3,4,5.‎ 4‎ 当因式(x2+2)提供x2时,则取r=4;当因式(x2+2)提供2时,则取r=5.‎ 所以(x2+2)(-1)5的展开式的常数项是5-2=3.‎ 答案:D ‎6.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)‎ 解析:利用二项展开式的通项公式求解.‎ x2y7=x·(xy7),其系数为C,‎ x2y7=y·(x2y6),其系数为-C,‎ ‎∴x2y7的系数为C-C=8-28=-20.‎ 答案:-20‎ ‎7.在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有________项.‎ 解析:二项展开式的通项公式Tk+1=Cx20-k·(y)k=C()kx20-kyk(0≤k≤20).要使系数为有理数,则k必为4的倍数,所以k可为0,4,8,12,16,20共6项,故系数为有理数的项共有6项.‎ 答案:6‎ ‎8.已知n的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14∶3,则展开式中的常数项为________.‎ 解析:由已知条件得:C∶C=14∶3,整理得:n2-5n-50=0,‎ 所以n=10,所以展开式的通项为:‎ Tk+1=C()10-k·k ‎=C·2k·x,‎ 令=0,得k=2,‎ 所以常数项为第三项T3=‎22C=180.‎ 答案:180‎ ‎9.用二项式定理证明1110-1能被100整除.‎ 证明:∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C×109+…+C×10+1)-1‎ ‎=1010+C×109+C×108+…+102‎ ‎=100×(108+C×107+C×106+…+1),‎ ‎∴1110-1能被100整除.‎ ‎10.n展开式第9项与第10项二项式系数相等,求x的一次项系数.‎ 解析:由题意知C=C,‎ 4‎ ‎∴n=17,Tr+1=Cx·2r·x,‎ ‎∴-=1,‎ ‎∴r=9,‎ ‎∴Tr+1=C·x4·29·x-3,‎ ‎∴T10=C·29·x,‎ 其一次项系数为C29.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.若二项式7的展开式中的系数是84,则实数a=(  )‎ A.2 B. C.1 D. 解析:Tr+1=C·(2x)7-r·r=27-rCar·.令2r-7=3,则r=5.由22·Ca5=84得a=1.故选C.‎ 答案:C ‎2.(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中,若x5与x6的系数相等,则n=(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ 解析:二项式(1+3x)n的展开式的通项是Tr+1=C1n-r·(3x)r=C·3r·xr.依题意得C·35=C·36,即=3×(n≥6),得n=7.‎ 答案:B ‎3.若(+a)5的展开式中的第四项是‎10a2(a为大于0的常数),则x=________.‎ 解析:∵T4=C()2·a3=10x·a3,‎ ‎∴10xa3=‎10a2(a>0),∴x=.‎ 答案: ‎4.(2015年高考福建卷)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于________(用数字作答).‎ 解析:Tr+1=Cx5-r·2r,令5-r=2,得r=3,所以x2的系数为C×23=80.‎ 答案:80‎ ‎5.若二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=‎4A,求a 4‎ 的值.‎ 解析:∵Tr+1=Cx6-rr=(-a)rCx,‎ 令r=2,得A=C·a2=‎15a2;‎ 令r=4,得B=C·a4=‎15a4.‎ 由B=‎4A可得a2=4,又a>0,‎ 所以a=2.‎ ‎6.在二项式n的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.‎ ‎(1)求展开式的第四项;‎ ‎(2)求展开式的常数项.‎ 解析:Tr+1=C()n-rr ‎=rCx.‎ 由前三项系数的绝对值成等差数列,‎ 得C+‎2C=2×C,‎ 解这个方程得n=8或n=1(舍去).‎ ‎(1)展开式的第4项为:‎ T4=‎3Cx=-7.‎ ‎(2)当-r=0,‎ 即r=4时,常数项为‎4C=.‎ 4‎