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- 2021-06-15 发布
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1.3.1 二项式定理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是( )
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
解析:根据二项式定理可知,展开式共有2n+1项.
答案:B
2.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( )
A.(2x+2)5 B.2x5
C.(2x-1)5 D.32x5
解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
答案:D
3.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )
A.-4 B.-3
C.-2 D.-1
解析:先求出(1+x)5含有x与x2的项的系数,从而得到展开式中x2的系数.(1+x)5中含有x与x2的项为T2=Cx=5x,T3=Cx2=10x2,∴x2的系数为10+5a=5,∴a=-1,故选D.
答案:D
4.使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:Tr+1=C(3x)n-rr=C3n-rx,当Tr+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时成立.
答案:B
5.(x2+2)(-1)5的展开式的常数项是( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
解析:(-1)5的展开式的通项为Tr+1=C()5-r·(-1)r,r=0,1,2,3,4,5.
4
当因式(x2+2)提供x2时,则取r=4;当因式(x2+2)提供2时,则取r=5.
所以(x2+2)(-1)5的展开式的常数项是5-2=3.
答案:D
6.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)
解析:利用二项展开式的通项公式求解.
x2y7=x·(xy7),其系数为C,
x2y7=y·(x2y6),其系数为-C,
∴x2y7的系数为C-C=8-28=-20.
答案:-20
7.在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有________项.
解析:二项展开式的通项公式Tk+1=Cx20-k·(y)k=C()kx20-kyk(0≤k≤20).要使系数为有理数,则k必为4的倍数,所以k可为0,4,8,12,16,20共6项,故系数为有理数的项共有6项.
答案:6
8.已知n的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14∶3,则展开式中的常数项为________.
解析:由已知条件得:C∶C=14∶3,整理得:n2-5n-50=0,
所以n=10,所以展开式的通项为:
Tk+1=C()10-k·k
=C·2k·x,
令=0,得k=2,
所以常数项为第三项T3=22C=180.
答案:180
9.用二项式定理证明1110-1能被100整除.
证明:∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C×109+…+C×10+1)-1
=1010+C×109+C×108+…+102
=100×(108+C×107+C×106+…+1),
∴1110-1能被100整除.
10.n展开式第9项与第10项二项式系数相等,求x的一次项系数.
解析:由题意知C=C,
4
∴n=17,Tr+1=Cx·2r·x,
∴-=1,
∴r=9,
∴Tr+1=C·x4·29·x-3,
∴T10=C·29·x,
其一次项系数为C29.
[B组 能力提升]
1.若二项式7的展开式中的系数是84,则实数a=( )
A.2 B.
C.1 D.
解析:Tr+1=C·(2x)7-r·r=27-rCar·.令2r-7=3,则r=5.由22·Ca5=84得a=1.故选C.
答案:C
2.(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中,若x5与x6的系数相等,则n=( )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:二项式(1+3x)n的展开式的通项是Tr+1=C1n-r·(3x)r=C·3r·xr.依题意得C·35=C·36,即=3×(n≥6),得n=7.
答案:B
3.若(+a)5的展开式中的第四项是10a2(a为大于0的常数),则x=________.
解析:∵T4=C()2·a3=10x·a3,
∴10xa3=10a2(a>0),∴x=.
答案:
4.(2015年高考福建卷)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于________(用数字作答).
解析:Tr+1=Cx5-r·2r,令5-r=2,得r=3,所以x2的系数为C×23=80.
答案:80
5.若二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,求a
4
的值.
解析:∵Tr+1=Cx6-rr=(-a)rCx,
令r=2,得A=C·a2=15a2;
令r=4,得B=C·a4=15a4.
由B=4A可得a2=4,又a>0,
所以a=2.
6.在二项式n的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式的第四项;
(2)求展开式的常数项.
解析:Tr+1=C()n-rr
=rCx.
由前三项系数的绝对值成等差数列,
得C+2C=2×C,
解这个方程得n=8或n=1(舍去).
(1)展开式的第4项为:
T4=3Cx=-7.
(2)当-r=0,
即r=4时,常数项为4C=.
4
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