【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第7章第2节基本不等式学案 13页

第二节　基本不等式 [最新考纲]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最 大(小)值问题． 1．基本不等式： ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． (3)其中a＋b 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均 数． 2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤(a＋b 2 )2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知 x≥0，y≥0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记： 积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是s2 4(简记：和 定积最大)． [常用结论] 1．b a ＋a b ≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2．ab≤(a＋b 2 )2≤a2＋b2 2 . 3． 2 1 a ＋1 b ≤ ab≤a＋b 2 ≤ a2＋b2 2 (a＞0，b＞0)． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋b 2 ≥ ab成立的条件是相同的．(　　) (2)若 a>0，则 a3＋ 1 a2 的最小值为 2 a.(　　) (3)函数 f(x)＝sin x＋ 4 sin x ，x∈(0，π)的最小值为 4.(　　) (4)x＞0 且 y＞0 是x y ＋y x ≥2 的充要条件．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改编 1．设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为(　　) A．80　　　　　　 B．77 C．81 D．82 C　[xy≤(x＋y 2 )2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立．故选 C.] 2．若 x<0，则 x＋1 x(　　) A．有最小值，且最小值为 2 B．有最大值，且最大值为 2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 D　[因为 x<0， 所以－x>0，－x＋ 1 －x ≥2 1＝2， 当且仅当 x＝－1 时，等号成立， 所以 x＋1 x ≤－2.] 3．函数 f(x)＝x＋ 1 x－2(x>2)的最小值为________． 4　[当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋ 1 x－2 ＋2≥ 2 (x－2) × 1 x－2 ＋2＝4，当且仅当 x－2＝ 1 x－2(x>2)，即 x＝3 时取等号．] 4．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 __________m2. 25　[设矩形的一边为 x m，矩形场地的面积为 y， 则另一边为1 2 ×(20－2x)＝(10－x)m， 则 y＝x(10－x)≤[x＋(10－x) 2 ]2＝25， 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.] 考点 1　利用基本不等式求最值 　配凑法求最值 　配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式 进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定 值”的形式(如：凑成 x＋a x(a＞0)，b a ＋a b 的形式等)，然后利用基本不等式求解最 值的方法. 　(1)(2019·大连模拟)已知 a，b 是正数，且 4a＋3b＝6，则 a(a＋3b)的 最大值是(　　) A．9 8 　　　　 B．9 4 C．3 D．9 (2)函数 y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值为________． (3)已知 x>5 4 ，则 y＝4x＋ 1 4x－5 的最小值为________，此时 x＝________. (1)C　(2)2 3＋2　(3)7　3 2 　[(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝1 3·3a(a ＋3b)≤1 3(3a＋a＋3b 2 )2＝1 3 ×(6 2 )2＝3，当且仅当 3a＝a＋3b，即 a＝1，b＝2 3 时， a(a＋3b)的最大值是 3. (2)∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝x2＋2 x－1 ＝ (x2－2x＋1)＋(2x－2)＋3 x－1 ＝ (x－1)2＋2(x－1)＋3 x－1 ＝(x－1)＋ 3 x－1 ＋2≥2 3＋2. 当且仅当 x－1＝ 3 x－1 ，即 x＝ 3＋1 时，等号成立． (3)∵x>5 4 ，∴4x－5>0. y＝4x＋ 1 4x－5 ＝4x－5＋ 1 4x－5 ＋5≥2＋5＝7. 当且仅当 4x－5＝ 1 4x－5 ，即 x＝3 2 时上式“＝”成立． 即 x＝3 2 时，ymin＝7.] [母题探究]　把本例(3)中的条件“x>5 4 ”，改为“x<5 4 ”，则 y＝4x＋ 1 4x－5 的最 大值为________，此时 x＝________. 3　1　[因为 x<5 4 ，所以 5－4x>0，则 y＝4x＋ 1 4x－5 ＝－(5－4x＋ 1 5－4x)＋5≤－ 2 (5－4x) × 1 5－4x ＋5＝－2＋5＝3. 当且仅当 5－4x＝ 1 5－4x ，即 x＝1 时，等号成立． 故 y＝4x＋ 1 4x－5 的最大值为 3.此时 x＝1.] 　(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a(a ＋3b)≤(a＋a＋3b 2 )2，当且仅当 a＝a＋3b，且 4a＋3b＝6，即 a＝3 2 ，b＝0 时，a(a ＋3b)的最大值为9 4 ，从而错选 B. (2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、 二定、三相等”，如 T(1)，T(2)． 　常数代换法求最值 　常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为 1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形 式． (4)利用基本不等式求解最值． 　已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1 a ＋1 b 的最小值为________． 4　[因为 a＋b＝1，所以1 a ＋1 b ＝(1 a ＋1 b)(a＋b)＝2＋(b a ＋a b)≥2＋2 b a· a b ＝2＋2＝ 4.当且仅当 a＝b 时，等号成立．] [母题探究] 1．若本例条件不变，求(1＋1 a)(1＋1 b)的最小值． [解]　(1＋1 a)(1＋1 b)＝(1＋a＋b a )(1＋a＋b b )＝(2＋b a)·(2＋a b) ＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 当且仅当 a＝b＝1 2 时，等号成立． 2．若将本例条件改为 a＋2b＝3，如何求解1 a ＋1 b 的最小值． [解]　因为 a＋2b＝3，所以 1 3a＋2 3b＝1. 所以1 a ＋1 b ＝(1 a ＋1 b)(1 3a＋2 3b)＝1 3 ＋2 3 ＋ a 3b ＋2b 3a ≥1＋2 a 3b· 2b 3a ＝1＋2 2 3 . 当且仅当 a＝ 2b 时，等号成立． 　常数代换法主要解决形如“已知 x＋y＝t(t 为常数)，求 a x ＋b y 的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为(a x ＋b y)·x＋y t ，再用基本不等式求最值． [教师备选例题] 设 a＋b＝2，b>0，则 1 2|a| ＋|a| b 取最小值时，a 的值为________． －2　[∵a＋b＝2，b>0， ∴ 1 2|a| ＋|a| b ＝ 2 4|a| ＋|a| b ＝a＋b 4|a| ＋|a| b ＝ a 4|a| ＋ b 4|a| ＋|a| b ≥ a 4|a| ＋2 b 4|a| × |a| b ＝ a 4|a| ＋1， 当且仅当 b 4|a| ＝|a| b 时等号成立．又 a＋b＝2，b>0， ∴当 b＝－2a，a＝－2 时， 1 2|a| ＋|a| b 取得最小值．] 　(2019·深圳福田区模拟)已知 a＞1，b＞0，a＋b＝2，则 1 a－1 ＋ 1 2b 的最小值为(　　) A.3 2 ＋ 2 B.3 4 ＋ 2 2 C.3＋2 2 D.1 2 ＋ 2 3 A　[已知 a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1， 又 a－1＞0，则 1 a－1 ＋ 1 2b ＝[(a－1)＋b]( 1 a－1 ＋ 1 2b) ＝1＋1 2 ＋a－1 2b ＋ b a－1 ≥3 2 ＋2 a－1 2b × b a－1 ＝3 2 ＋ 2. 当且仅当a－1 2b ＝ b a－1 ，a＋b＝2 时取等号． 则 1 a－1 ＋ 1 2b 的最小值为3 2 ＋ 2.故选 A.] 　消元法求最值 　对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求 最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系， 然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元， 二元化一元)． 　(2019·嘉兴模拟)已知 a＞0，b＞0，且 2a＋b＝ab－1，则 a＋2b 的最 小值为(　　) A．5＋2 6 B．8 2 C．5 D．9 A　[∵a＞0，b＞0，且 2a＋b＝ab－1， ∴a＝b＋1 b－2 ＞0，∴b＞2， ∴a＋2b＝b＋1 b－2 ＋2b＝2(b－2)＋ 3 b－2 ＋5 ≥5＋2 2(b－2)· 3 b－2 ＝5＋2 6. 当且仅当 2(b－2)＝ 3 b－2 ，即 b＝2＋ 6 2 时取等号． ∴a＋2b 的最小值为 5＋2 6.故选 A.] 　求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为 “a＝b＋1 b－2 ”，然后借助配凑法求最值． 　(2019·新余模拟)已知正实数 a，b，c 满足 a2－2ab＋9b2 －c＝0，则当ab c 取得最大值时，3 a ＋1 b －12 c 的最大值为(　　) A．3 B．9 4 C．1 D．0 C　[由正实数 a，b，c 满足 a2－2ab＋9b2＝c，得ab c ＝ ab a2－2ab＋9b2 ＝ 1 a2－2ab＋9b2 ab ＝ 1 a b ＋9b a －2 ≤1 4 ，当且仅当a b ＝9b a ，即 a＝3b 时，ab c 取最大值1 4. 又因为 a2－2ab＋9b2－c＝0， 所以此时 c＝12b2， 所以3 a ＋1 b －12 c ＝1 b(2－1 b)≤(1 b ＋2－1 b)2 4 ＝1， 故最大值为 1.] 　利用两次基本不等式求最值 　当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基 本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号 成立，并且注意取等号的条件的一致性． 　已知 a＞b＞0，那么 a2＋ 1 b(a－b)的最小值为______． 4　[由题意 a＞b＞0，则 a－b＞0， 所以 b(a－b)≤(b＋a－b 2 )2＝a2 4 ， 所以 a2＋ 1 b(a－b)≥a2＋ 4 a2 ≥2 a2· 4 a2 ＝4， 当且仅当 b＝a－b 且 a2＝ 4 a2 ，即 a＝ 2，b＝ 2 2 时取等号，所以 a2＋ 1 b(a－b) 的最小值为 4.] 　由于 b＋(a－b)为定值，故可求出 b(a－b)的最大值，然后再由基本 不等式求出题中所给代数式的最小值． 　若 a，b∈R，ab＞0，则a4＋4b4＋1 ab 的最小值为____． 4　[因为 ab＞0，所以a4＋4b4＋1 ab ≥2 4a4b4＋1 ab ＝4a2b2＋1 ab ＝4ab＋ 1 ab ≥2 4ab· 1 ab ＝4，当且仅当Error!时取等号，故a4＋4b4＋1 ab 的最小值是 4.] 考点 2　利用基本不等式解决实际问题 　利用基本不等式解决实际问题的 3 个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最 值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范 围)内求解． 　经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(L)与速度 x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为 y＝Error! (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？ (2)已知 A，B 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 A 地驶向 B 地，则汽 车速度为多少时总耗油量最少？ [解]　(1)当 x∈[50,80)时，y＝ 1 75(x2－130x＋4 900)＝ 1 75[(x－65)2＋675]， 所以当 x＝65 时，y 取得最小值，最小值为 1 75 ×675＝9. 当 x∈[80,120]时，函数 y＝12－ x 60 单调递减， 故当 x＝120 时，y 取得最小值，最小值为 12－120 60 ＝10. 因为 9<10，所以当 x＝65，即该型号汽车的速度为 65 km/h 时，可使得每小 时耗油量最少． (2)设总耗油量为 l L，由题意可知 l＝y·120 x ， ①当 x∈[50,80)时，l＝y·120 x ＝8 5(x＋4 900 x －130)≥8 5(2 x· 4 900 x －130)＝16， 当且仅当 x＝4 900 x ，即 x＝70 时，l 取得最小值，最小值为 16. ②当 x∈[80,120]时，l＝y·120 x ＝1 440 x －2 为减函数， 所以当 x＝120 时，l 取得最小值，最小值为 10. 因为 10<16，所以当速度为 120 km/h 时，总耗油量最少． 　当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时， 就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 　(2019·上海模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工 厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经 过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一 个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下： 年存储成本费 T(元)关于每次订货 x(单位)的函数关系 T(x)＝Bx 2 ＋AC x ，其中 A 为年 需求量，B 为 每单位物资的年存储费，C 为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求 量为 6 000 吨，每吨存储费为 120 元/年，每次订货费为 2 500 元． (1)若该化工厂每次订购 300 吨甲醇，求年存储成本费； (2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多 少？ [解]　(1)因为年存储成本费 T(元)关于每次订货 x(单位)的函数关系 T(x)＝Bx 2 ＋AC x ，其中 A 为年需求量，B 为每单位物资的年存储费，C 为每次订货费． 由题意可得：A＝6 000，B＝120，C＝2 500， 所以年存储成本费 T(x)＝60x＋15 000 000 x ， 若该化工厂每次订购 300 吨甲醇， 所以年存储成本费为 T(300)＝60×300＋15 000 000 300 ＝68 000. (2)因为年存储成本费 T(x)＝60x＋15 000 000 x ，x＞0， 所以 T(x)＝60x＋15 000 000 x ≥2 60 × 15 000 000＝60 000， 当且仅当 60x＝15 000 000 x ，即 x＝500 时，取等号． 所以每次需订购 500 吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为 60 000 元． 考点 3　基本不等式的综合应用 　基本不等式的综合应用的 2 类问题 (1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为 载体，以基本不等式为解题工具，求解最值或取值范围． (2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式 确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围． 　(1)(2019·台州模拟)若两个正实数 x，y 满足1 x ＋4 y ＝1，且存在这样的 x，y 使不等式 x＋y 4 ＜m2＋3m 有解，则实数 m 的取值范围是(　　) A．(－1,4) B．(－4,1) C．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，＋∞) (2)(2019·衡阳一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数 学王子”的称号．函数 y＝[x](x∈R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过 x 的最大 整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数 f(x)＝ 2x＋1 1＋22x ，则函数 y＝[f(x)]的 值域是(　　) A．{0,1} B．(0,1] C．(0,1) D．{－1,0,1} (3)(2019·定远模拟)已知在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，若 2bcos C＝ccos B，则 1 tan A ＋ 1 tan B ＋ 1 tan C 的最小值为(　　) A.2 7 3 B. 5 C. 7 3 D.2 5 (1)C　(2)A　(3)A　[(1)∵正实数 x，y 满足1 x ＋4 y ＝1， ∴x＋y 4 ＝(x＋y 4)(1 x ＋4 y)＝2＋4x y ＋ y 4x ≥2＋2 4x y · y 4x ＝4， 当且仅当4x y ＝ y 4x 且1 x ＋4 y ＝1，即 x＝2，y＝8 时取等号，∵存在 x，y 使不等式 x＋y 4 ＜m2＋3m 有解， ∴4＜m2＋3m，解得 m＞1 或 m＜－4，故选 C. (2)f(x)＝ 2x＋1 1＋22x ＝ 2 2x＋1 2x ， ∵2x＋1 2x ≥2，∴0＜f(x)≤1， 则函数 y＝[f(x)]的值域为{0,1}，故选 A. (3)∵2bcos C＝ccos B， ∴2sin Bcos C＝sin Ccos B， ∴tan C＝2tan B．又 A＋B＋C＝π， ∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C) ＝－ tan B＋tan C 1－tan Btan C ＝－ 3tan B 1－2tan2B ＝ 3tan B 2tan2B－1 ， ∴ 1 tan A ＋ 1 tan B ＋ 1 tan C ＝2tan2B－1 3tan B ＋ 1 tan B ＋ 1 2tan B ＝2 3tan B＋ 7 6tan B. 又∵在锐角△ABC 中，tan B＞0， ∴2 3tan B＋ 7 6tan B ≥2 2 3tan B × 7 6tan B ＝2 7 3 ， 当且仅当 tan B＝ 7 2 时取等号， ∴( 1 tan A ＋ 1 tan B ＋ 1 tan C)min＝2 7 3 ，故选 A.] 　条件不等式的最值问题，常通过条件转化成能利用基本不等式的形 式求解．在转化过程中相应知识起到穿针连线的作用． 　1.已知 a＞0，b＞0，若不等式3 a ＋1 b ≥ m a＋3b 恒成立，则 m 的最大值 为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 B　[由3 a ＋1 b ≥ m a＋3b ， 得 m≤(a＋3b)(3 a ＋1 b)＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋a b ＋6≥2 9＋6＝12(当且仅当9b a ＝a b ，即 a＝3b 时等号成立)， ∴m≤12，∴m 的最大值为 12.] 2．两圆 x2＋y2－2my＋m2－1＝0 和 x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0 恰有一条公切线， 若 m∈R，n∈R，且 mn≠0，则 4 m2 ＋ 1 n2 的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　[由题意可知两圆内切，x2＋y2－2my＋m2－1＝0 化为 x2＋(y－m)2＝1，x2 ＋y2－4nx＋4n2－9＝0 化为(x－2n)2＋y2＝9，故 4n2＋m2＝3－1＝2，即 4n2＋m2 ＝4， 4 m2 ＋ 1 n2 ＝1 4( 4 m2＋ 1 n2)(4n2＋m2)＝2＋4n2 m2 ＋m2 4n2 ≥2＋2 4n2 m2 · m2 4n2 ＝4.] 3．设等差数列{an}的公差是 d，其前 n 项和是 Sn(n∈N＋)，若 a1＝d＝1，则 Sn＋8 an 的最小值是________． 9 2 　[an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n(1＋n) 2 ， ∴Sn＋8 an ＝ n(1＋n) 2 ＋8 n ＝1 2(n＋16 n ＋1)≥1 2(2 n· 16 n ＋1)＝9 2 ， 当且仅当 n＝4 时取等号． ∴Sn＋8 an 的最小值是9 2.]