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- 2021-06-15 发布
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专题六 系列4选讲
第1讲 大题考法——坐标系与参数方程
卷别
年份
考查内容
命题规律及备考策略
全国卷Ⅰ
2018
极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系
坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.由于本部分在高考中考查的知识点较为稳定,在备考时应重点关注极坐标系中直线的方程,或者求解极坐标系中曲线的某个特征值,及已知直线和圆的参数方程判断直线和圆的位置关系,求最值问题等.本部分内容在备考中应注意转化思想的应用,抓住知识,少做难题.
2017
椭圆与直线的参数方程与普通方程的互化、直线与椭圆的位置关系
2016
参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用
全国卷Ⅱ
2018
曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义、直线与椭圆的位置关系及其应用
2017
直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题
2016
极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关系
全国卷Ⅲ
2018
参数方程与直角坐标方程的互化
2017
直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法
2016
参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值
考向 极坐标方程与参数方程的综合应用
【典例】 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的(t为参数),直线l2的(m为参数).
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,
,求M的极径.
[审题指导]
①看到直线l1,l2的方程,想到消参、化为普通方程是常用方法
②看到l1,l2的交点问题时,想到联立方程再求解
③看到l3与C的交点问题,想到先求C的极坐标方程再联立求解
[规范解答] (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 1分
消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 2分
设P(x,y),由题设得
消去k得x2-y2=4(y≠0)❶, 3分
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0). 4分
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 5分
联立❷ 6分
得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-, 7分
从而cos2θ=,sin2θ=. 8分
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5, 9分
所以交点M的极径为. 10分
❶处消去k后,注意等价性,易忽视y≠0而失误.
❷处联立极坐标方程后,注意运算技巧,先求cos2θ,sin2θ,再求ρ.若直接消去θ不太容易做到.
[技法总结] 求解极坐标方程与参数方程综合问题需过“三关”
一是互化关,即会把曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程进行互化;
二是几何意义关,即理解参数方程中的参数的几何意义,在解题中能加快解题速度;
三是运算关,思路流畅,还需运算认真,才能不失分.
[变式提升]
1.(2018·淮北二模)已知直线l的参数方程: (t为参数),曲线C的参数方程:(α为参数),且直线l交曲线C于A,B两点.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并求θ=时,|AB|的长度;
(2)已知点P(1,0),求当直线倾斜角θ变化时,|PA|·|PB|的范围.
解 (1)曲线C的参数方程:(α为参数),
曲线C的普通方程为+y2=1.
当θ=时,直线AB的方程为y=x-1,
代入+y2=1,可得2x2-3x=0,
∴x1=0,x2=.∴|AB|=×|-0|=.
(2)直线参数方程代入+y2=1,得
(cos2 θ+3sin2 θ)t2+2cos θ·t-2=0.
设A,B对应的参数为t1,t2,
∴|PA|·|PB|=-t1·t2==∈.
2.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.
(2)设曲线C上任意一点P到直线l的距离为d,求d的最大值与最小值.
解 (1)曲线C的参数方程(θ为参数),直线l的普通方程2x+y-11=0.
(2)曲线C上任意一点P到直线l的距离 d=|3cos θ+4sin θ-11|,
即d=|5sin(θ+α)-11|,其中α为锐角,且tan α=,
当sin(θ+α)=-1时,最大值为;
当sin(θ+α)=1时,最小值为.