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- 2021-06-15 发布
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全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
高考在本章一般命制1~2个小题,分值5~10分.
2.考查内容
(1)小题主要考查:一元二次不等式的解法、简单的线性规划中线性目标函数的最值求法、简单的逻辑推理题等.
(2)大题主要考查:应用基本不等式求最值(或范围)、运用演绎推理、直接证明与间接证明以及数学归纳法证明代数或几何问题.
3.备考策略
从2019年高考试题可以看出,高考对简单线性规划的考查会逐渐趋于淡化,对于推理与证明的思想运用会进一步加强.
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[最新考纲] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的算法框图.
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔bb,b>c⇒a>c;
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;
a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;
a>b,c<0⇒acb>0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n≥2,n∈N);
(6)开方法则:a>b>0⇒>(n≥2,n∈N);
(7)倒数性质:设ab>0,则a.
3.“三个二次”的关系
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x10
(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x1b+d D.a+d>b+c
C [由同向不等式具有可加性可知C正确.]
4.若不等式ax2+bx+2>0的解集为,则a+b=________.
-14 [由题意知x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的两个根,
则解得(经检验知满足题意).
∴a+b=-14.]
考点1 比较大小与不等式的性质
比较大小的5种常用方法
(1)作差法:直接作差判断正负即可(常用变形手段:因式分解、配方、有理化、通分等).
(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.
(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较.
(4)不等式的性质法.
(5)特殊值排除法:可以多次取特殊值,根据特殊值比较大小,从而得出结论.
1.若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是( )
A.a+c≥b-c B.(a-b)c2≥0
C.ac>bc D.≤
B [(不等式的性质法)a,b,c∈R,且a>b,可得a-b>0,因为c2≥0,所以(a-b)c2≥0.故选B.]
2.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为( )
A.p
q D.p≥q B [法一: (作差法)p-q=+-a-b =+=(b2-a2)· ==, 因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0. 若a=b,则p-q=0,故p=q; 若a≠b,则p-q<0,故pb时,3a>3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当a>b时,a3>b3,即a3-b3>0,故C正确;当b1. 若a<0,原不等式等价于(x-1)>0, 解得x<或x>1. 若a>0,原不等式等价于(x-1)<0. ①当a=1时,=1,(x-1)<0无解; ②当a>1时,<1,解(x-1)<0得 1,解 (x-1)<0得1 1}; 当01时,解集为. [母题探究] 将本例(2)中不等式改为x2-(a+1)x+a<0(a∈R),求不等式的解集. [解] 原不等式可化为(x-a)(x-1)<0, 当a>1时,原不等式的解集为(1,a); 当a=1时,原不等式的解集为∅; 当a<1时,原不等式的解集为(a,1). 解含参不等式的分类讨论依据 提醒:含参数讨论问题最后要综上所述. [教师备选例题] 解不等式:x2-2ax+2≤0(a∈R). [解] 对于方程x2-2ax+2=0,因为Δ=4a2-8. (1)当Δ<0,即-<a<时,x2-2ax+2=0无实根.又二次函数y=x2-2ax+2的图像开口向上,所以原不等式的解集为∅; (2)当Δ=0,即a=±时,x2-2ax+2=0有两个相等的实根, 当a=时,原不等式的解集为{x|x=}, 当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-}; (3)当Δ>0,即a>或a<-时,x2-2ax+2=0有两个不相等的实根,分别为x1=a-,x2=a+,且x1<x2,所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}. 综上,当a>或a<-时,解集为{x|a-≤x≤a+};当a=时,解集为{x|x=};当a=-时,解集为{x|x=-};当-<a<时,解集为∅. 1.(2019·济南模拟)已知不等式ax2-5x+b>0的解集为 ,则不等式bx2-5x+a>0的解集为( ) A. B. C.{x|-3 2} C [由题意知a>0,且,-是方程ax2-5x+b=0的两根,∴解得 ∴bx2-5x+a=-5x2-5x+30>0, 即x2+x-6<0, 解得-3 a2(a∈R). [解] 原不等式可化为12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, 解得x1=-,x2=. 当a>0时,不等式的解集为∪; 当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞); 当a<0时,不等式的解集为∪. 考点3 一元二次不等式恒成立问题 在R上恒成立,求参数的范围 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2+bx+c>0 a>0,Δ<0 ax2+bx+c≥0 a>0,Δ≤0 ax2+bx+c<0 a<0,Δ<0 ax2+bx+c≤0 a<0,Δ≤0 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________. (-2,2] [当a-2=0,即a=2时,不等式即为-4<0,对一切x∈R恒成立, 当a≠2时,则有 即∴-20时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3),即7m-6<0, 所以m<,所以0 0, 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<. 因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可. 所以m的取值范围是. [母题探究] 若将“f(x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)<5-m成立”,如何求m的取值范围? [解] 由题意知f(x)<5-m有解, 即m<有解,则m 3} [对任意的k∈[-1,1],x2+(k-4)x+4-2k>0恒成立,即g(k )=(x-2)k+(x2-4x+4)>0,在k∈[-1,1]时恒成立. 只需g(-1)>0且g(1)>0,即 解得x<1或x>3.] 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 函数f(x)=x2+ax+3. (1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围; (2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围; (3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围. [解] (1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立, 需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,解得-6≤a≤2. ∴实数a的取值范围是[-6,2]. (2)当x∈[-2,2]时,设g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图1,当g(x)的图像与x轴不超过1个交点时, 有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2. ②如图2,g(x)的图像与x轴有2个交点, 但当x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0, 即即 可得 解得a∈∅. ③如图3,g(x)的图像与x轴有2个交点, 但当x∈(-∞,2]时,g(x)≥0. 即即 可得∴-7≤a<-6, 综上,实数a的取值范围是[-7,2]. (3)令h(a)=xa+x2+3. 当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立. 只需即 解得x≤-3-或x≥-3+. ∴实数x的取值范围是 (-∞,-3-]∪[-3+,+∞).