2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第八章 平面解析几何 第6节 4页

第八章 第6节 ‎1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为(　　 )‎ A.－＝1　　　　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：A　[已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A.]‎ ‎2．(2018·全国Ⅱ卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：A　[∵e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝，因为渐近线方程为y＝±x，所以渐近线方程为y＝±x，故选A.]‎ ‎3．(2020·济南模拟)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF‎1F2＝30° ，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　 )‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D．x2－＝1‎ 解析：D　[由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线定义可得－＝‎2a，即c＝a，又b＝，∴a＝1，b＝，‎ ‎∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D.]‎ ‎4．(2020·烟台模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，第一象限的点M在双曲线C的渐近线上且|OM|＝a，若直线MF的斜率为－，则双曲线C的离心率为(　　 )‎ A. B. C. D. 解析：C　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，第一象限的点M在双曲线C的渐近线上， ‎ 设M，则kMF＝＝－，‎ ‎∴x0＝，故而M，‎ ‎∴|OM|＝＝a，整理得c2＝‎2a2，‎ 即e2＝2，所以e＝.故选C.]‎ ‎5．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　 )‎ A. B．3‎ C．5 D．4 解析：A　[因为抛物线y2＝12x的焦点坐标为(3,0)，‎ 依题意，4＋b2＝9，所以b2＝5，‎ 所以双曲线的方程为－＝1，‎ 所以其渐近线方程为y＝±x，‎ 所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为＝，故选A.]‎ ‎6．若双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为　__________　.‎ 解析：设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，焦距‎2c＝10，c2＝25，‎ 当λ>0时，－＝1，λ＋＝25，∴λ＝20；‎ 当λ<0时，－＝1，－λ＋＝25，‎ ‎∴λ＝－20.‎ 故该双曲线的方程为－＝1或－＝1.‎ 答案：－＝1或－＝1‎ ‎7．(2020·宁德质检)已知点P是以F1，F2为焦点的双曲线C：x2－y2＝1上的一点，且|PF1|＝3|PF2|，则△PF‎1F2的周长为　________　.‎ 解析：根据题意，双曲线C的方程为x2－y2＝1，则a＝1，b＝1，则c＝，‎ 则||PF1|－|PF2||＝‎2a＝2，‎ 又由|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|＝3，|PF2|＝1，‎ 又由c＝，则|F‎1F2|＝‎2c＝2，‎ 则△PF‎1F2的周长l＝|PF1|＋|PF2|＋|F‎1F2|＝4＋2.‎ 答案：4＋2 ‎8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为　________　.‎ 解析：如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，‎ ‎∴点A到l的距离d＝.‎ 又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，‎ ‎∴△MAN为等边三角形，‎ ‎∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2，‎ ‎∴e＝＝＝.‎ 答案： ‎9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．‎ 解：椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.‎ 设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ ‎∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，‎ 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.‎ ‎∴＝3，得a＝3，b＝4，‎ ‎∴双曲线G的方程为－＝1.‎ ‎10．如图，已知F1、F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF‎1F2＝30°.求：‎ ‎(1)双曲线的离心率；‎ ‎(2)双曲线的渐近线方程．‎ 解：(1)∵∠PF‎2F1＝90°，∠PF‎1F2＝30°.‎ 在Rt△PF‎2F1中，|PF1|＝＝＝，|PF2|＝|PF1|＝，‎ 又|PF1|－|PF2|＝‎2a，即c＝‎2a，＝，‎ ‎∴e＝＝.‎ ‎(2)对于双曲线，有c2＝a2＋b2，∴b＝ .‎ ‎∴＝＝ ＝＝.‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎