高中数学人教a版选修2-3章末综合测评1word版含解析 8页

章末综合测评(一) 计数原理 (时间 120分钟，满分 150分) 一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2016·银川一中检测)C910＋C 810等于( ) A．45 B．55 C．65 D．以上都不对 【解析】 C910＋C810＝C110＋C210＝55，故选 B. 【答案】 B 2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组， 则不同的报名方法共有( ) A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【解析】 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个 小组，则不同的报名方法共有 25＝32种，故选 D. 【答案】 D 3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中 x的系数为( ) A．140 B．240 C．360 D．800 【解析】 由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中 x的系数为 C45，常数项为 1，(x＋2)5的展开式中 x的系数为 C45·24，常数项为 25.因此原式中 x的系数为 C45·25＋C45·24＝240. 【答案】 B 4．某外商计划在 4个候选城市投资 3个不同的项目，且在同一个城市投资 的项目不超过 2个，则该外商不同的投资方案有( ) A．16种 B．36种 C．42种 D．60种 【解析】 分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有 A34＝24种；第二 类：一个城市 2个项目，另一个城市 1个项目，有 C23·C24·A22＝36种，则共有 36 ＋24＝60种． 【答案】 D 5．(2016·广州高二检测)5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有( ) A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【解析】 首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有 3 种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有 2种可能， 最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是 A33＝6， 所以 3×2×6＝36(种)，故答案为 C. 【答案】 C 6．关于(a－b)10的说法，错误的是( ) A．展开式中的二项式系数之和为 1 024 B．展开式中第 6项的二项式系数最大 C．展开式中第 5项和第 7项的二项式系数最大 D．展开式中第 6项的系数最小 【解析】 由二项式系数的性质知，二项式系数之和为 210＝1 024，故 A正 确；当 n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B正确，C错误；D也 是正确的，因为展开式中第 6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最 小的． 【答案】 C 7. 图 1 (2016·潍坊高二检测)如图 1，用五种不同的颜色给图中的 A，B，C，D，E， F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不 同的颜色，则不同的涂色方法共( ) A．1 240种 B．360种 C．1 920种 D．264种 【解析】 由于 A和 E或 F可以同色，B和 D或 F可以同色，C和 D或 E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有 C13C12A 55种；当五种颜色选择四种 时，选法有 C45C13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有 C35×2×A 33种，所 以不同的涂色方法共 C13C12A55＋C45C13×3×A44＋C35×2×A33＝1 920.故选 C. 【答案】 C 8．某计算机商店有 6台不同的品牌机和 5台不同的兼容机，从中选购 5台， 且至少有品牌机和兼容机各 2 台，则不同的选购方法有( ) 【导学号： 97270029】 A．1 050种 B．700种 C．350种 D．200种 【解析】 分两类：(1)从 6 台不同的品牌机中选 3台和从 5 台不同的兼容 机中选 2台； (2)从 6台不同的品牌机中选 2台和从 5台不同的兼容机中选 3台． 所以不同的选购方法有 C36C25＋C26C35＝350种． 【答案】 C 9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为 ( ) A．29 B．49 C．39 D．59 【解析】 由于 a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令 x ＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选 B. 【答案】 B 10．(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线 与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含 有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A．60 B．48 C．36 D．24 【解析】 在长方体中，对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面 (对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行，可构成 3×12＝36个 “平行线面组”，对每一条面对角线，都有一个面与它平行，可组成 12个“平 行线面组”，所以“平行线面组”的个数为 36＋12＝48，故选 B. 【答案】 B 11．(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的 QQ号的后六位，但记得 QQ号后六位是由一个 1，一个 2，两个 5和两个 8组成的，于是用这六个数随 意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的 QQ 号最多尝试次数为 ( ) A．96 B．180 C．360 D．720 【解析】 由这 6个数字组成的六位数个数为 A66 A22A22 ＝180，即最多尝试次数 为 180.故选 B. 【答案】 B 12．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若 a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系 数最大项是( ) A．15x3 B．20x3 C．21x3 D．35x3 【解析】 令 x＝0，得 a0＝1， 再令 x＝1，得 2n＝64，所以 n＝6， 故展开式中系数最大项是 T4＝C36x3＝20x3.故选 B. 【答案】 B 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．将答案填在题中的横 线上) 13．某科技小组有女同学 2名、男同学 x名，现从中选出 3名去参加展览．若 恰有 1 名女生入选时的不同选法有 20 种，则该科技小组中男生的人数为 ________． 【解析】 由题意得 C12·C2x＝20，解得 x＝5. 【答案】 5 14．(1.05)6的计算结果精确到 0.01的近似值是________． 【解析】 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＝ 1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34. 【答案】 1.34 15．(2015·山东高考)观察下列各式： C01＝40； C03＋C13＝41； C05＋C15＋C25＝42； C07＋C17＋C27＋C37＝43； …… 照此规律，当 n∈N*时， C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝________. 【解析】 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为 4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有 C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋… ＋Cn－12n－1＝4n－1. 【答案】 4n－1 16．(2014·安徽高考)设 a≠0，n是大于 1 的自然数， 1＋x a n的展开式为 a0 ＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点 Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图 2所示，则 a＝________. 图 2 【解析】 由题意知 A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)． 故 a0＝1，a1＝3，a2＝4. 由 1＋x a n的展开式的通项公式知 Tr＋1＝Crn x a r(r＝0,1,2，…，n)．故 C1n a ＝3， C2n a2 ＝4，解得 a＝3. 【答案】 3 三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．(本小题满分 10分)已知 Cxn＝C2xn ， Cx＋1n ＝ 11 3 Cx－1n ， 试求 x，n的值. 【导学号： 97270030】 【解】 ∵Cxn＝Cn－xn ＝C2xn ，∴n－x＝2x或 x＝2x(舍去)，∴n＝3x. 由 Cx＋1n ＝ 11 3 Cx－1n ，得 n！ x＋1！n－x－1！ ＝ 11 3 · n！ x－1！n－x＋1！ ， 整理得 3(x－1)！(n－x＋1)！＝11(x＋1)！(n－x－1)！， 3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x. 将 n＝3x代入，整理得 6(2x＋1)＝11(x＋1)， ∴x＝5，n＝3x＝15. 18．(本小题满分 12 分)利用二项式定理证明：49n＋16n－1(n∈N*)能被 16 整除． 【证明】 49n＋16n－1＝(48＋1)n＋16n－1 ＝C0n·48n＋C1n·48n－1＋…＋Cn－1n ·48＋Cnn＋16n－1 ＝16(C0n·3×48n－1＋C1n·3×48n－2＋…＋Cn－1n ·3＋n)． 所以 49n＋16n－1能被 16整除． 19．(本小题满分 12分)一个口袋内有 4个不同的红球，6个不同的白球， (1)从中任取 4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ (2)若取一个红球记 2 分，取一个白球记 1分，从中任取 5个球，使总分不 少于 7分的取法有多少种？ 【解】 (1)将取出 4个球分成三类情况： ①取 4个红球，没有白球，有 C 44种； ②取 3个红球 1个白球，有 C34C 16种； ③取 2个红球 2个白球，有 C24C 26种， 故有 C44＋C34C16＋C24C26＝115种． (2)设取 x个红球，y个白球， 则 x＋y＝5，0≤x≤4， 2x＋y≥7，0≤y≤6， 故 x＝2， y＝3 或 x＝3， y＝2 或 x＝4， y＝1. 因此，符合题意的取法共有 C24C36＋C34C26＋C44C16＝186种． 20．(本小题满分 12分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式 的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a10； (2)a6. 【解】 (1)令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1. (2)a6即为含 x6项的系数，Tr＋1＝Cr10(2x)10－r·(－1)r＝Cr10(－1)r210－r·x10－r，所以 当 r＝4时，T5＝C410(－1)426x6＝13 440x6，即 a6＝13 440. 21．(本小题满分 12分)有 3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同 的排列方法总数． (1)排成前后两排，前排 3人，后排 4人； (2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾； (3)全体站成一排，女生必须站在一起； (4)全体站成一排，男生互不相邻． 【解】 (1)共有 A77＝5 040种方法． (2)甲为特殊元素．先排甲，有 5种方法，其余 6人有 A 66种方法，故共有 5×A66 ＝3 600种方法． (3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3名男生在一起进行全排列，有 A 44种 方法，再将 4名女生进行全排列，有 A 44种方法，故共有 A44×A44＝576种方法． (4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有 A 44种方法， 再在女生之间及首尾空出的 5个空位中任选 3个空位排男生，有 A 35种方法，故 共有 A44×A35＝1 440种方法． 22．(本小题满分 12分)已知集合 A＝{x|1