【数学】2019届一轮复习北师大版同角三角函数的基本关系与诱导公式学案 10页

第18讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.‎ ‎2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，5‎ ‎2016·四川卷，11‎ ‎2015·重庆卷，9‎ 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及恒等变换；解决三角形内的相关问题.‎ 分值：4～5分 ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：__sin2α＋cos2α＝1__.‎ ‎(2)商数关系：__tan α＝__.‎ ‎2．三角函数的诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝__cos_α__，‎ tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.‎ 公式二：sin(π＋α)＝__－sin_α__，cos(π＋α)＝__－cos_α__，‎ tan(π＋α)＝__tan_α__.‎ 公式三：sin(－α)＝__－sin_α__，cos(－α)＝__cos_α__，‎ tan(－α)＝__－tan_α__.‎ 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝__－cos_α__，‎ tan(π－α)＝－tan α.‎ 公式五：sin＝__cos_α__，cos＝__sin_α__.‎ 公式六：sin＝__cos_α__，cos＝__－sin_α__.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)120°角的正弦值是，余弦值是－.(　×　)‎ ‎(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．(　×　)‎ ‎(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　×　)‎ ‎(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　√　)‎ 解析　(1)错误．sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝，‎ cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.‎ ‎(2)错误．在tan α＝中α≠kπ＋，k∈Z.‎ ‎(3)错误．对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于正切的诱导公式α≠＋kπ，k∈Z.‎ ‎(4)正确．诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号，因而与α的大小无关. ‎ ‎2．tan 330°＝(　D　)‎ A．　　 B．－　　‎ C．　　 D．－ 解析　tan 330°＝tan(360°－30°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　A　)‎ A．－　　 B．－　　‎ C．　　 D． 解析　将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－.故选A．‎ ‎4．若tan α＝2，则的值为(　C　)‎ A．－　　 B．－　　‎ C．　　 D． 解析　＝＝＝.‎ ‎5．cos－sin＝____.‎ 解析　cos－sin＝cos＋sin＝cos＋sin＝cos＋sin＝＋ ‎＝.‎ 一　同角三角函数关系及其应用 同角三角函数关系在解题中的应用 ‎(1)利用方程思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．‎ ‎(2)利用方程思想，对于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”．‎ ‎(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“‎1”‎，利用“sin2α＋cos2α＝‎1”‎代换后转化为“切”求解．‎ ‎【例1】 (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　D　)‎ A．　　 B．－　　‎ C．　　 D．－ ‎(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝____.‎ 解析　(1)因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.‎ ‎(2)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝＋＝.‎ ‎【例2】 (1)已知tan α＝2，求值：‎ ‎①；②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.‎ ‎(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值．‎ 解析　(1)①＝＝＝－1.‎ ‎②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α ‎＝＝ ‎＝＝1.‎ ‎(2)∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin θcos θ＝－<0.‎ ‎∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0>cos θ，sin θ－cos θ>0.‎ 由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，‎ 得sin θ－cos θ＝.‎ 二　诱导公式及应用 ‎(1)学会诱导公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y＝sin＝sin，将y＝sin中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．‎ ‎(2)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍，如＋＝，－＝.‎ ‎【例3】 (1)计算：2sin＋cos 12π＋tan＝__1__.‎ ‎(2)已知cos＝，则sin＝__－__.‎ ‎(3)已知f(x)＝，则f＝__－1__.‎ 解析　(1)原式＝2sin＋cos 0＋tan ‎＝2sinπ＋1－tan＝2sin＋1－1＝2sin＝1.‎ ‎(2)因为＋＝－，‎ 所以sin＝sin ‎＝－sin＝－cos＝－.‎ ‎(3)因为f(x)＝ ‎＝＝＝－tan2x，‎ 所以f＝－tan2＝－tan2 ‎＝－tan2＝－tan2＝－1.‎ ‎【例4】 (1)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求的值．‎ ‎(2)已知sin＝a(a≠±1，a≠0)，求cos·tan＋的值．‎ 解析　(1)∵方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－，由题知cos α＝－，∴sin α＝－，tan α＝.‎ ‎∴原式＝＝tan2α＝.‎ ‎(2)cos·tan＋ ‎＝－cos·tan＋ ‎＝－sin－＝－a－＝.‎ ‎1．若点(16，tan θ)在函数y＝log2x的图象上，则＝(　D　)‎ A．2　　 B．‎4　‎　‎ C．6　　 D．8‎ 解析　由题意知tan θ＝log216＝4，所以＝＝2tan θ＝8.故选D．‎ ‎2．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④.其中是负数的是(　C　)‎ A．①　　 B．②　　‎ C．③　　 D．④‎ 解析　sin(－1 000°)＝sin 80°>0，cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0，tan(－10)＝－tan 10<0，＝，∵sin>0，tan<0，∴>0.‎ ‎3．若cos(π－α)＝，且α∈，则sin(π＋α)＝(　B　)‎ A．－　　 B．－　　‎ C．－　　 D．± 解析　cos(π－α)＝－cos α＝，∴cos α＝－.‎ 又∵α∈，∴sin α＝＝＝，‎ ‎∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.故选B．‎ ‎4．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，则m的值为(　B　)‎ A．1＋　　 B．1－ C．1±　　 D．－1－ 解析　由题意得sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝.‎ 又∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，∴＝1＋，解得m＝1±.又∵Δ＝‎4m2‎－‎16m≥0，解得m≤0或m≥4，∴m＝1－.故选B．‎ 易错点　忽视隐含的平方关系 错因分析：忽视含有参数的同一个角的正余弦值受到“sin2θ＋cos2θ＝‎1”‎的限制．‎ ‎【例1】 若sin θ＝，cos θ＝，<θ<π，则m满足的条件是(　　)‎ A．33　　 D．m<9‎ 解析　 由已知得0<<1且－1<<0，解得3，‎ ‎∴A>－B>0，B>－A>0，‎ ‎∴sin A>sin＝cos B，sin B>sin＝cos A，‎ ‎∴cos B－sin A<0，sin B－cos A>0，‎ ‎∴点P在第二象限．故选B．‎ ‎5．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　A　)‎ A．　　 B．　　‎ C．0　　 D．－ 解析　f＝f＋sin＝f＋sin＋sin＝f＋sin＋sin＋sin eq f(5π,6)＝sin ＋sin＋sin＝－＋＝.‎ ‎6．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是(　C　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析　由已知得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得 tan α＝3，故sin α＝.‎ 二、填空题 ‎7．已知tan α＝－，<α<π，则sin α＝____.‎ 解析　∵α为第二象限角，tan α＝－，∴设α终边上一点P(x，y)，O为坐标原点，令x＝－2，y＝1，则|OP|＝，∴sin α＝.‎ ‎8．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝__－__.‎ 解析　f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)‎ ‎＝－cos 30°＝－.‎ ‎9．函数y＝的最大值为____.‎ 解析　设t＝cos x＋sin x，则t∈[－，－1)∪(－1，]．‎ 于是y＝＝，当t＝时，y取最大值.‎ 三、解答题 ‎10．已知cos＝，α∈，求的值．‎ 解析　∵α∈，∴－α∈，‎ 又cos＝，∴sin＝，‎ ‎∴＝＝(cos α－sin α)＝2sin＝.‎ ‎11．已知sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝，求tan α的值．‎ 解析　由已知得＝，且cos α≠0，‎ 所以＝，整理得tan2α＋5tan α－14＝0，‎ 解得tan α＝2或tan α＝－7.‎ ‎12．已知sin(3π＋α)＝lg，cos(π－α)>0.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求sin2－cos2的值．‎ 解析　因为sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α，‎ lg＝lg 10－＝－，‎ 所以－sin α＝－，即sin α＝.‎ 又因为cos(π－α)＝－cos α>0，即cos α<0，‎ 所以cos α＝－＝－，‎ ‎(1)＝＝3－2.‎ ‎(2)sin2－cos2＝cos2α－sin2α＝2－2＝.‎