2012年高考数学真题分类汇编C　三角函数（理科） 24页

C　三角函数 C1 角的概念及任意角的三角函数 9．B9、C1[2012·湖北卷] 函数 f(x)＝xcosx2 在区间[0,4]上的零点个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 9. C　[解析] 令 f(x)＝0，得 x＝0 或 cosx 2＝0，由 x∈[0，4 ]，得 x2∈[0，16].因为 cos ( π 2＋kπ)＝0(k ∈ Z)，故方程 cosx2＝0 中 x2 的解只能取 x2＝π 2，3π 2 ，5π 2 ，7π 2 ，9π 2 ∈[0，16].所以零 点个数为 6.故选 C. C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 7．C2[2012·辽宁卷] 已知 sinα－cosα＝ 2，α∈(0，π)，则 tanα＝(　　) A．－1 B．－ 2 2 C. 2 2 D．1 7．A　[解析] 本小题主要考查同角三角函数基本关系的应用．解题的突破口为灵活应 用同角三角函数基本关系． ∵sinα－cosα＝ 2⇒(sinα－cosα)2＝2⇒1－2sinαcosα＝2⇒sinαcosα＝－ 1 2⇒ sinαcosα sin2α＋cos2α ＝－1 2⇒ tanα tan2α＋1＝－1 2⇒tanα＝－1. 故答案选 A. 17．C2、C5、C6[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值 都等于同一个常数： (1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； (2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； (3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； (4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； (5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 17．解：解法一： (1)选择(2)式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－1 2sin30°＝1－1 4＝3 4. (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝3 4. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝sin2α＋3 4cos2α＋ 3 2 sinαcosα＋1 4sin2α－ 3 2 sinαcosα－1 2sin2α ＝3 4sin2α＋3 4cos2α＝3 4. 解法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝3 4. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝1－cos2α 2 ＋1＋cos(60°－2α) 2 －sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝1 2－1 2cos2α＋1 2＋1 2(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－ 3 2 sinαcosα－1 2sin2α ＝1 2－1 2cos2α＋1 2＋1 4cos2α＋ 3 4 sin2α－ 3 4 sin2α－1 4(1－cos2α) ＝1－1 4cos2α－1 4＋1 4cos2α＝3 4. 18．C5、C2、C3[2012·重庆卷] 设 f(x)＝4cos(ωx－π 6)sinωx－cos(2ωx＋π)，其中 ω＞0. (1)求函数 y＝f(x)的值域； (2)若 f(x)在区间[－3π 2 ，π 2]上为增函数，求 ω 的最大值． 18．解：(1)f(x)＝4( 3 2 cosωx＋1 2sinωx)sinωx＋cos2ωx ＝2 3sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx ＝ 3sin2ωx＋1. 因－1≤sin2ωx≤1，所以函数 y＝f(x)的值域为[1－ 3，1＋ 3]． (2)因 y＝sinx 在每个闭区间[2kπ－π 2，2kπ＋π 2](k∈Z)上为增函数，故 f(x)＝ 3sin2ωx＋ 1(ω＞0)在每个闭区间[ kπ ω－ π 4ω，kπ ω＋ π 4ω](k∈Z)上为增函数． 依题意知[－3π 2 ，π 2]⊆[ kπ ω－ π 4ω，kπ ω＋ π 4ω]对某个 k∈Z 成立，此时必有 k＝0，于是 Error! 解得 ω≤1 6，故 ω 的最大值为1 6. C3 三角函数的图象与性质 16．C3、C5[2012·广东卷] 已知函数 f(x)＝2cos(ωx＋π 6)(其中 ω>0，x∈R)的最小正周期 为 10π. (1)求 ω 的值； (2)设 α，β∈[0，π 2 ]，f(5α＋5 3π)＝－6 5，f(5β－5 6π)＝16 17，求 cos(α＋β)的值． 16．解：(1)由2π ω＝10π 得 ω＝1 5. (2)∵－6 5＝f(5α＋5 3π)＝2cos( 1 5(5α＋5 3π)＋π 6)＝2cos(α＋π 2 )＝－2sinα， 16 17＝f(5β－5 6π)＝ 2cos( 1 5(5β－5 6π)＋π 6)＝2cosβ， ∴sinα＝3 5，cosβ＝ 8 17. ∵α，β∈[0，π 2 ]， ∴cosα＝ 1－sin2α＝ 1－( 3 5 )2＝4 5， sinβ＝ 1－cos2β＝ 1－( 8 17 )2＝15 17. ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝4 5× 8 17－3 5×15 17＝－13 85. 15．C3、K3[2012·湖南卷] 函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数 y＝f′(x)的部分图象如图 1－ 5 所示，其中，P 为图象与 y 轴的交点，A，C 为图象与 x 轴的两个交点，B 为图象的最低 点． (1)若 φ＝π 6，点 P 的坐标为(0，3 3 2 )，则 ω＝________； (2)若在曲线段ABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 ________． 图 1－5 15．(1)3　(2) π 4　[解析] 考查三角函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象与解析式，结合导数和几 何概型，在陈题上有了不少的创新．作为填空题，第二问可在第一问的特殊情况下求解． (1)函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)求导得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把 φ＝ π 6和点(0，3 3 2 )代入得 ωcos(0＋π 6 )＝3 3 2 解得 ω＝3. (2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数 f′(x)＝3cos(3x＋π 6)，求得 A( π 9，0 )， B( 5π 18，－3)，C( 4π 9 ，0)，故△ABC 的面积为 S△ABC＝1 2×3π 9 ×3＝π 2，曲线段与 x 轴所围成 的区域的面积 S＝－Error! 4π 9 π 9＝－sin( 4π 3 ＋π 6)＋sin( 3π 9 ＋π 6)＝2，所以该点在△ABC 内的概率 为 P＝S △ ABC S ＝π 4. 15．C3、C4、C5[2012·北京卷] 已知函数 f(x)＝ (sinx－cosx)sin2x sinx . (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间． 15．解：(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z)， 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为 f(x)＝ (sinx－cosx)sin2x sinx ＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1 ＝ 2sin(2x－π 4)－1， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)函数 y＝sinx 的单调递增区间为[2kπ－π 2，2kπ＋π 2](k∈Z)． 由 2kπ－π 2≤2x－π 4≤2kπ＋π 2，x≠kπ(k∈Z)， 得 kπ－π 8≤x≤kπ＋3π 8 ，x≠kπ(k∈Z)． 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－π 8，kπ)和(kπ，kπ＋3π 8 ](k∈Z)． 17．F3、C3[2012·山东卷] 已知向量 m＝(sinx,1)，n＝( 3Acosx，A 2cos2x)(A>0)，函数 f(x) ＝m·n 的最大值为 6. (1)求 A； (2)将函数 y＝f(x)的图象向左平移 π 12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 的1 2倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在[0，5π 24]上的值域． 17．解：(1)f(x)＝m·n ＝ 3Asinxcosx＋A 2cos2x ＝A( 3 2 sin2x＋1 2cos2x)＝Asin(2x＋π 6). 因为 A>0，由题意知，A＝6. (2)由(1)f(x)＝6sin(2x＋π 6). 将函数 y＝f(x)的图象向左平移 π 12个单位后得到 y＝6sin[2(x＋ π 12)＋π 6]＝6sin (2x＋π 3)的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的1 2倍，纵坐标不变，得到 y＝6sin (4x＋π 3)的图 象． 因此，g(x)＝6sin(4x＋π 3). 因为 x∈[0，5π 24]， 所以 4x＋π 3∈[ π 3，7π 6 ]. 故 g(x)在[0，5π 24]上的值域为[－3,6]． 16．C3、C4[2012·陕西卷] 函数 f(x)＝Asin(ωx－π 6)＋1(A>0，ω>0)的最大值为 3，其图像 相邻两条对称轴之间的距离为π 2. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设 α∈(0，π 2 )，f( α 2 )＝2，求 α 的值． 16．解：(1)∵函数 f(x)的最大值为 3，∴A＋1＝3，即 A＝2， ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π 2， ∴最小正周期 T＝π， ∴ω＝2，故函数 f(x)的解析式为 y＝2sin2x－π 6＋1. (2)∵f( α 2 )＝2sin(α－π 6 )＋1＝2， 即 sin(α－π 6 )＝1 2， ∵0<α<π 2，∴－π 6<α－π 6<π 3， ∴α－π 6＝π 6，故 α＝π 3. 3．C3、N2[2012·上海卷] 函数 f(x)＝| 2　　cosx sinx　－1|的值域是________． 3.[－5 2，－3 2]　[解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角 函数的值域，易错点是三角函数的化简． f(x)＝－2－sinxcosx＝－2－1 2sin2x，又－1≤sin2x≤1，所以 f(x)＝－2－1 2sin2x 的值域为 [－5 2，－3 2]. 18．C5、C2、C3[2012·重庆卷] 设 f(x)＝4cos(ωx－π 6)sinωx－cos(2ωx＋π)，其中 ω＞0. (1)求函数 y＝f(x)的值域； (2)若 f(x)在区间[－3π 2 ，π 2]上为增函数，求 ω 的最大值． 18．解：(1)f(x)＝4( 3 2 cosωx＋1 2sinωx)sinωx＋cos2ωx ＝2 3sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx ＝ 3sin2ωx＋1. 因－1≤sin2ωx≤1，所以函数 y＝f(x)的值域为[1－ 3，1＋ 3]． (2)因 y＝sinx 在每个闭区间[2kπ－π 2，2kπ＋π 2](k∈Z)上为增函数，故 f(x)＝ 3sin2ωx＋ 1(ω＞0)在每个闭区间[ kπ ω－ π 4ω，kπ ω＋ π 4ω](k∈Z)上为增函数． 依题意知[－3π 2 ，π 2]⊆[ kπ ω－ π 4ω，kπ ω＋ π 4ω]对某个 k∈Z 成立，此时必有 k＝0，于是 Error! 解得 ω≤1 6，故 ω 的最大值为1 6. C4　函数 的图象与性质 16．C3、C4[2012·陕西卷] 函数 f(x)＝Asin(ωx－π 6)＋1(A>0，ω>0)的最大值为 3，其图像 相邻两条对称轴之间的距离为π 2. (1)求函数 f(x)的解析式； sin( )y A xω ϕ= + (2)设 α∈(0，π 2 )，f( α 2 )＝2，求 α 的值． 16．解：(1)∵函数 f(x)的最大值为 3，∴A＋1＝3，即 A＝2， ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π 2， ∴最小正周期 T＝π， ∴ω＝2，故函数 f(x)的解析式为 y＝2sin2x－π 6＋1. (2)∵f( α 2 )＝2sin(α－π 6 )＋1＝2， 即 sin(α－π 6 )＝1 2， ∵0<α<π 2，∴－π 6<α－π 6<π 3， ∴α－π 6＝π 6，故 α＝π 3. 16．C4、C5、C6、C7[2012·安徽卷] 设函数 f(x)＝ 2 2 cos2x＋π 4＋sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意 x∈R，有 g(x＋π 2 )＝g(x)，且当 x∈[0，π 2 ]时，g(x)＝1 2－f(x)．求 g(x) 在区间[－π，0]上的解析式． 16．解：(1)f(x)＝ 2 2 cos(2x＋π 4)＋sin2x ＝ 2 2 (cos2xcosπ 4－sin2xsinπ 4)＋1－cos2x 2 ＝1 2－1 2sin2x. 故 f(x)的最小正周期为 π. (2)当 x∈[0，π 2 ]时，g(x)＝1 2－f(x)＝1 2sin2x，故 ①当 x∈[－π 2，0]时，x＋π 2∈[0，π 2 ].由于对任意 x∈R，g(x＋π 2 )＝g(x)，从而 g(x)＝g(x＋π 2 )＝1 2sin[2(x＋π 2 )]＝1 2sin(π＋2x)＝－1 2sin2x. ②当 x∈[－π，－π 2)时，x＋π∈[0，π 2 )，从而 g(x)＝g(x＋π)＝1 2sin[2(x＋π)]＝1 2sin2x. 综合①②得 g(x)在[－π，0]上的解析式为 g(x)＝Error! 15．C3、C4、C5[2012·北京卷] 已知函数 f(x)＝ (sinx－cosx)sin2x sinx . (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间． 15．解：(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z)， 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为 f(x)＝ (sinx－cosx)sin2x sinx ＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1 ＝ 2sin(2x－π 4)－1， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)函数 y＝sinx 的单调递增区间为[2kπ－π 2，2kπ＋π 2](k∈Z)． 由 2kπ－π 2≤2x－π 4≤2kπ＋π 2，x≠kπ(k∈Z)， 得 kπ－π 8≤x≤kπ＋3π 8 ，x≠kπ(k∈Z)． 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－π 8，kπ)和(kπ，kπ＋3π 8 ](k∈Z)． 14．C4[2012·全国卷] 当函数 y＝sinx－ 3cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________. 14.5π 6 　[解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突 破口为化为振幅式并注意定义域． 函数可化为 y＝2sin(x－π 3 )，由 x∈[0,2π)得 x－π 3∈[－π 3，5π 3 )，∴x－π 3＝π 2时，即 x＝5π 6 时，函数有最大值 2，故填5π 6 . 17．C4、C6、C7、F3[2012·湖北卷] 已知向量 a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx －sinωx,2 3cosωx)．设函数 f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ 为常 数，且 ω∈( 1 2，1 ). (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)的图象经过点( π 4，0 )，求函数 f(x)在区间[0，3π 5 ]上的取值范围． 17．解：(1)因为 f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sinωx·cosωx＋λ ＝－cos2ωx＋ 3sin2ωx＋λ ＝2sin(2ωx－π 6)＋λ. 由直线 x＝π 是 y＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin(2ωπ－π 6)＝±1， 所以 2ωπ－π 6＝kπ＋π 2(k∈Z)，即 ω＝k 2＋1 3(k∈Z)． 又 ω∈( 1 2，1 )，k∈Z，所以 k＝1，故 ω＝5 6. 所以 f(x)的最小正周期是6π 5 . (2)由 y＝f(x)的图象过点( π 4，0 )，得 f( π 4 )＝0， 即 λ＝－2sin( 5 6 × π 2－π 6)＝－2sinπ 4＝－ 2，即 λ＝－ 2. 故 f(x)＝2sin( 5 3x－π 6)－ 2， 由 0≤x≤3π 5 ，有－π 6≤5 3x－π 6≤5π 6 ， 所以－1 2≤sin( 5 3x－π 6)≤1，得－1－ 2≤2sin5 3x－π 6－ 2≤2－ 2. 故函数 f(x)在[0，3π 5 ]上的取值范围为[－1－ 2，2－ 2]． 9．C4[2012·课标全国卷] 已知 ω>0，函数 f(x)＝sin (ωx＋π 4)在( π 2，π )单调递减，则 ω 的 取值范围是(　　) A.[ 1 2，5 4 ] B.[ 1 2，3 4 ]C.(0，1 2 ] D．(0,2] 9．A　[解析] 因为当 ω＝1 时，函数 y＝sin(ωx＋π 4)＝sin (x＋π 4 )在( π 2，π )上是单调递减 的，故排除 B，C 项；当 ω＝2 时，函数 y＝sin(ωx＋π 4)＝sin (2x＋π 4)在( π 2，π )上不是单调递 减的， 故排除 D 项．故选 A. 4．C4[2012·浙江卷] 把函数 y＝cos2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是(　　) 图 1－1 4．A　[解析] 本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移问题．考 查函数图象变换方法和技巧． 把函数 y＝cos2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，可得函 数 y＝cos2( 1 2x )＋1＝cosx＋1 的图象；然后向左平移 1 个单位长度得到函数 y＝cos(x＋1) ＋1 的图象；再向下平移 1 个单位长度得到函数 y＝cos(x＋1)＋1－1＝cos(x＋1)的图象；结 合各选项中的图象可知其图象为选项 A 中的图象，故应选 A. C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 5．C5、C7[2012·重庆卷] 设 tanα，tanβ 是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，则 tan(α＋β)的值 为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 5．A　[解析] 因为 tanα，tanβ 是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，所以 tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ ＝2，所以 tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ 1－tanαtanβ＝ 3 1－2＝－3. 17．C8、C5[2012·课标全国卷] 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边， acosC＋ 3asinC－b－c＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b，c. 17．解：(1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝0 及正弦定理得 sinAcosC＋ 3sinAsinC－sinB－sinC＝0. 因为 B＝π－A－C，所以 3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0. 由于 sinC≠0，所以 sin(A－π 6 )＝1 2. 又 00，x∈R)的最小正周期 为 10π. (1)求 ω 的值； (2)设 α，β∈[0，π 2 ]，f(5α＋5 3π)＝－6 5，f(5β－5 6π)＝16 17，求 cos(α＋β)的值． 16．解：(1)由2π ω＝10π 得 ω＝1 5. (2)∵－6 5＝f(5α＋5 3π)＝2cos( 1 5(5α＋5 3π)＋π 6)＝2cos(α＋π 2 )＝－2sinα， 16 17＝f(5β－5 6π)＝ 2cos( 1 5(5β－5 6π)＋π 6)＝2cosβ， ∴sinα＝3 5，cosβ＝ 8 17. ∵α，β∈[0，π 2 ]， ∴cosα＝ 1－sin2α＝ 1－( 3 5 )2＝4 5， sinβ＝ 1－cos2β＝ 1－( 8 17 )2＝15 17. ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝4 5× 8 17－3 5×15 17＝－13 85. 8．F2、C5[2012·安徽卷] 在平面直角坐标系中，点 O(0,0)，P(6,8)，将向量 OP → 绕点 O 按逆时针方向旋转3π 4 后得向量OQ → ，则点 Q 的坐标是(　　) A．(－7 2，－ 2) B．(－7 2， 2) C．(－4 6，－2) D．(－4 6，2) 8．A　[解析] 本题考查三角函数的和角公式，点的坐标． 设∠POx＝α，因为 P(6，8 )，所以OP → ＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝3 5，sinα＝4 5， 则OQ → ＝(10cos(θ＋3π 4 )，10cos(θ＋3π 4 ))＝(－7 2，－ 2)．故答案为 A. 16．C4、C5、C6、C7[2012·安徽卷] 设函数 f(x)＝ 2 2 cos2x＋π 4＋sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意 x∈R，有 g(x＋π 2 )＝g(x)，且当 x∈[0，π 2 ]时，g(x)＝1 2－f(x)．求 g(x) 在区间[－π，0]上的解析式． 16．解：(1)f(x)＝ 2 2 cos(2x＋π 4)＋sin2x ＝ 2 2 (cos2xcosπ 4－sin2xsinπ 4)＋1－cos2x 2 ＝1 2－1 2sin2x. 故 f(x)的最小正周期为 π. (2)当 x∈[0，π 2 ]时，g(x)＝1 2－f(x)＝1 2sin2x，故 ①当 x∈[－π 2，0]时，x＋π 2∈[0，π 2 ].由于对任意 x∈R，g(x＋π 2 )＝g(x)，从而 g(x)＝g(x＋π 2 )＝1 2sin[2(x＋π 2 )]＝1 2sin(π＋2x)＝－1 2sin2x. ②当 x∈[－π，－π 2)时，x＋π∈[0，π 2 )，从而 g(x)＝g(x＋π)＝1 2sin[2(x＋π)]＝1 2sin2x. 综合①②得 g(x)在[－π，0]上的解析式为 g(x)＝Error! 15．C3、C4、C5[2012·北京卷] 已知函数 f(x)＝ (sinx－cosx)sin2x sinx . (1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间． 15．解：(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z)， 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因为 f(x)＝ (sinx－cosx)sin2x sinx ＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1 ＝ 2sin(2x－π 4)－1， 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)函数 y＝sinx 的单调递增区间为[2kπ－π 2，2kπ＋π 2](k∈Z)． 由 2kπ－π 2≤2x－π 4≤2kπ＋π 2，x≠kπ(k∈Z)， 得 kπ－π 8≤x≤kπ＋3π 8 ，x≠kπ(k∈Z)． 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－π 8，kπ)和(kπ，kπ＋3π 8 ](k∈Z)． 17．C2、C5、C6[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值 都等于同一个常数： (1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； (2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； (3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； (4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； (5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 17．解：解法一： (1)选择(2)式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－1 2sin30°＝1－1 4＝3 4. (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝3 4. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝sin2α＋3 4cos2α＋ 3 2 sinαcosα＋1 4sin2α－ 3 2 sinαcosα－1 2sin2α ＝3 4sin2α＋3 4cos2α＝3 4. 解法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝3 4. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝1－cos2α 2 ＋1＋cos(60°－2α) 2 －sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝1 2－1 2cos2α＋1 2＋1 2(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－ 3 2 sinαcosα－1 2sin2α ＝1 2－1 2cos2α＋1 2＋1 4cos2α＋ 3 4 sin2α－ 3 4 sin2α－1 4(1－cos2α) ＝1－1 4cos2α－1 4＋1 4cos2α＝3 4. C6 二倍角公式 11 ． C6[2012· 江 苏 卷 ] 设 α 为 锐 角 ， 若 cos(α＋π 6 )＝ 4 5， 则 sin (2α＋ π 12)的 值 为 ________． 11.17 2 50 　[解析] 本题考查三角函数求值问题．解题突破口为寻找已知角和所求角之间 的整体关系． 由条件得 sin(α＋π 6 )＝3 5，从而 sin[2(α＋π 6 )]＝24 25，cos[2(α＋π 6 )]＝2×16 25－1＝ 7 25， 从而 sin(2α＋ π 12)＝sin(2α＋π 3－π 4)＝24 25× 2 2 － 7 25× 2 2 ＝17 2 50 . 7．C6[2012·全国卷] 已知 α 为第二象限角，sinα＋cosα＝ 3 3 ，则 cos2α＝(　　) A．－ 5 3 B．－ 5 9 C. 5 9 D. 5 3 7．A　[解析] 本小题主要考查三角函数中和角公式与二倍角公式的运用，解题的突破 口为原式两边平方后转化为二倍角结构及任何情况下均要考虑“符号看象限”． 由 sinα＋cosα＝ 3 3 及 α 为第二象限角有 2kπ＋π 2<α<2kπ＋3π 4 (k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋ 3π 2 (k∈Z)．原式两边平方得 2sinαcosα＝sin2α＝－2 3，∴cos2α＝－ 5 3 ，故选 A. 16．C4、C5、C6、C7[2012·安徽卷] 设函数 f(x)＝ 2 2 cos2x＋π 4＋sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意 x∈R，有 g(x＋π 2 )＝g(x)，且当 x∈[0，π 2 ]时，g(x)＝1 2－f(x)．求 g(x) 在区间[－π，0]上的解析式． 16．解：(1)f(x)＝ 2 2 cos(2x＋π 4)＋sin2x ＝ 2 2 (cos2xcosπ 4－sin2xsinπ 4)＋1－cos2x 2 ＝1 2－1 2sin2x. 故 f(x)的最小正周期为 π. (2)当 x∈[0，π 2 ]时，g(x)＝1 2－f(x)＝1 2sin2x，故 ①当 x∈[－π 2，0]时，x＋π 2∈[0，π 2 ].由于对任意 x∈R，g(x＋π 2 )＝g(x)，从而 g(x)＝g(x＋π 2 )＝1 2sin[2(x＋π 2 )]＝1 2sin(π＋2x)＝－1 2sin2x. ②当 x∈[－π，－π 2)时，x＋π∈[0，π 2 )，从而 g(x)＝g(x＋π)＝1 2sin[2(x＋π)]＝1 2sin2x. 综合①②得 g(x)在[－π，0]上的解析式为 g(x)＝Error! 17．C2、C5、C6[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值 都等于同一个常数： (1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； (2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； (3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； (4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； (5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 17．解：解法一： (1)选择(2)式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－1 2sin30°＝1－1 4＝3 4. (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝3 4. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝sin2α＋3 4cos2α＋ 3 2 sinαcosα＋1 4sin2α－ 3 2 sinαcosα－1 2sin2α ＝3 4sin2α＋3 4cos2α＝3 4. 解法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝3 4. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝1－cos2α 2 ＋1＋cos(60°－2α) 2 －sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) ＝1 2－1 2cos2α＋1 2＋1 2(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－ 3 2 sinαcosα－1 2sin2α ＝1 2－1 2cos2α＋1 2＋1 4cos2α＋ 3 4 sin2α－ 3 4 sin2α－1 4(1－cos2α) ＝1－1 4cos2α－1 4＋1 4cos2α＝3 4. 17．C4、C6、C7、F3[2012·湖北卷] 已知向量 a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx －sinωx,2 3cosωx)．设函数 f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ 为常 数，且 ω∈( 1 2，1 ). (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)的图象经过点( π 4，0 )，求函数 f(x)在区间[0，3π 5 ]上的取值范围． 17．解：(1)因为 f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sinωx·cosωx＋λ ＝－cos2ωx＋ 3sin2ωx＋λ ＝2sin(2ωx－π 6)＋λ. 由直线 x＝π 是 y＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin(2ωπ－π 6)＝±1， 所以 2ωπ－π 6＝kπ＋π 2(k∈Z)，即 ω＝k 2＋1 3(k∈Z)． 又 ω∈( 1 2，1 )，k∈Z，所以 k＝1，故 ω＝5 6. 所以 f(x)的最小正周期是6π 5 . (2)由 y＝f(x)的图象过点( π 4，0 )，得 f( π 4 )＝0， 即 λ＝－2sin( 5 6 × π 2－π 6)＝－2sinπ 4＝－ 2，即 λ＝－ 2. 故 f(x)＝2sin( 5 3x－π 6)－ 2， 由 0≤x≤3π 5 ，有－π 6≤5 3x－π 6≤5π 6 ， 所以－1 2≤sin( 5 3x－π 6)≤1，得－1－ 2≤2sin5 3x－π 6－ 2≤2－ 2. 故函数 f(x)在[0，3π 5 ]上的取值范围为[－1－ 2，2－ 2]． 7．C6[2012·山东卷] 若 θ∈[ π 4，π 2 ]，sin2θ＝3 7 8 ，则 sinθ＝(　　) A.3 5 B.4 5 C. 7 4 D.3 4 7．D　[解析] 本题考查三角函数的二倍角公式，考查运算求解能力，中档题． 法一：∵θ∈[ π 4，π 2 ]，sin2θ＝3 7 8 ， ∴cos2θ＝－ 1－( 3 7 8 )2＝1－2sin2θ，解之得 sinθ＝3 4. 法二：联立Error!解之得 sinθ＝3 4. C7 三角函数的求值、化简与证明 6．C7[2012·湖南卷] 函数 f(x)＝sinx－cos (x＋π 6 )的值域为(　　) A．[－2,2] B．[－ 3， 3] C．[－1,1] D.[－ 3 2 ， 3 2 ] 6．B　[解析] 考查三角函数化简求值，关键是三角函数的化简，三角公式的识记． 函数 f(x)＝sinx－cos(x＋π 6 )＝3 2sinx－ 3 2 cosx＝ 3sin(x－π 6 )，所以函数 f(x)＝sinx－cos (x＋π 6 )的值域为[－ 3， 3]，故选 B. 16．C4、C5、C6、C7[2012·安徽卷] 设函数 f(x)＝ 2 2 cos2x＋π 4＋sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意 x∈R，有 g(x＋π 2 )＝g(x)，且当 x∈[0，π 2 ]时，g(x)＝1 2－f(x)．求 g(x) 在区间[－π，0]上的解析式． 16．解：(1)f(x)＝ 2 2 cos(2x＋π 4)＋sin2x ＝ 2 2 (cos2xcosπ 4－sin2xsinπ 4)＋1－cos2x 2 ＝1 2－1 2sin2x. 故 f(x)的最小正周期为 π. (2)当 x∈[0，π 2 ]时，g(x)＝1 2－f(x)＝1 2sin2x，故 ①当 x∈[－π 2，0]时，x＋π 2∈[0，π 2 ].由于对任意 x∈R，g(x＋π 2 )＝g(x)，从而 g(x)＝g(x＋π 2 )＝1 2sin[2(x＋π 2 )]＝1 2sin(π＋2x)＝－1 2sin2x. ②当 x∈[－π，－π 2)时，x＋π∈[0，π 2 )，从而 g(x)＝g(x＋π)＝1 2sin[2(x＋π)]＝1 2sin2x. 综合①②得 g(x)在[－π，0]上的解析式为 g(x)＝Error! 17．C4、C6、C7、F3[2012·湖北卷] 已知向量 a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx －sinωx,2 3cosωx)．设函数 f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ 为常 数，且 ω∈( 1 2，1 ). (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)的图象经过点( π 4，0 )，求函数 f(x)在区间[0，3π 5 ]上的取值范围． 17．解：(1)因为 f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sinωx·cosωx＋λ ＝－cos2ωx＋ 3sin2ωx＋λ ＝2sin(2ωx－π 6)＋λ. 由直线 x＝π 是 y＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin(2ωπ－π 6)＝±1， 所以 2ωπ－π 6＝kπ＋π 2(k∈Z)，即 ω＝k 2＋1 3(k∈Z)． 又 ω∈( 1 2，1 )，k∈Z，所以 k＝1，故 ω＝5 6. 所以 f(x)的最小正周期是6π 5 . (2)由 y＝f(x)的图象过点( π 4，0 )，得 f( π 4 )＝0， 即 λ＝－2sin( 5 6 × π 2－π 6)＝－2sinπ 4＝－ 2，即 λ＝－ 2. 故 f(x)＝2sin( 5 3x－π 6)－ 2， 由 0≤x≤3π 5 ，有－π 6≤5 3x－π 6≤5π 6 ， 所以－1 2≤sin( 5 3x－π 6)≤1，得－1－ 2≤2sin5 3x－π 6－ 2≤2－ 2. 故函数 f(x)在[0，3π 5 ]上的取值范围为[－1－ 2，2－ 2]． 4．C7[2012·江西卷] 若 tanθ＋ 1 tanθ＝4，则 sin2θ＝(　　) A.1 5 B.1 4 C.1 3 D.1 2 4．D　[解析] 考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方 法．解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以 cosθ 达到化切 目的．∵tanθ＋ 1 tanθ＝tan2θ＋1 tanθ ＝4，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝ 2sinθcosθ sin2θ＋cos2θ＝ 2tanθ tan2θ＋1＝2 4＝1 2，故 选 D. 5．C5、C7[2012·重庆卷] 设 tanα，tanβ 是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，则 tan(α＋β)的值 为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 5．A　[解析] 因为 tanα，tanβ 是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，所以 tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ ＝2，所以 tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ 1－tanαtanβ＝ 3 1－2＝－3. C8　解三角形 13．C8[2012·重庆卷] 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 cosA＝3 5， cosB＝ 5 13，b＝3，则 c＝________. 13.14 5 　[解析] 因为 cosA＝3 5，cosB＝ 5 13，所以 sinA＝4 5，sinB＝12 13，因为 sinC＝sin[180° －(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝4 5× 5 13＋3 5×12 13＝56 65，由正弦定理知 c sinC＝ b sinB， 即 c 56 65 ＝ 3 12 13 ，解得 c＝14 5 . 4．C8[2012·四川卷] 如图 1－1 所示，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE ＝1，连结 EC、ED，则 sin∠CED＝(　　) 图 1－1 A.3 10 10 B. 10 10 C. 5 10 D. 5 15 4．B　[解析] 法一：由已知，∠CED＝∠BED－∠BEC＝45°－∠BEC， 而结合图形可知 tan∠BEC＝1 2， ∴tan∠CED＝tan(45°－∠BEC) ＝ 1－1 2 1＋1 2 ＝1 3， ∴sin∠CED＝ 10 10 . 法二：由已知，利用勾股定理可得 DE＝ 2，CE＝ 5，又 CD＝1， 利用余弦定理得：cos∠CED＝ 2＋5－1 2 × 2 × 5 ＝3 10 10 ， ∴sin∠CED＝ 10 10 . 法三：同法二，得 DE＝ 2，CE＝ 5，又 CD＝1， 有 S△CED＝1 2CD·AD＝1 2， 又 S△CED＝1 2CE·EDsin∠CED＝ 10 2 sin∠CED， 对比得 sin∠CED＝ 10 10 . 16．C8[2012·上海卷] 在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC 的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 16．C　[解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用 正弦定理，把角转化边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状． 由正弦定理可把不等式转化为 a2＋b2c2，则 C<π 3； ②若 a＋b>2c，则 C<π 3； ③若 a3＋b3＝c3，则 C<π 2； ④若(a＋b)c<2ab，则 C>π 2； ⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则 C>π 3. 15．①②③　[解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本 不等式等． 对于①，由 c2＝a2＋b2－2abcosCa2＋b2 ab ＝b a＋a b≥2，则 cosC>1 2，因为 03 (a2＋b2)即 8cosC＋2>3( a b＋b a )≥6，则 cosC>1 2，因为 01 a＋1 b≥ 2 ab ，可得 ab>c，所以 ab>c2，因为 a2＋ b2≥2ab>ab>c2，所以 C<π 2，④错误； 对于⑤，(a2＋b2)c2<2a2b2 可变为 1 a2＋ 1 b2<2 c2，即1 c2> 1 ab，所以 c2 a2＋b2 2 2ab ≥1 2，所以 C<π 3，故⑤错误．故答案为①②③. 13．C8[2012·福建卷] 已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列，则其最大角的余 弦值为________． 13．－ 2 4 　[解析] 根据题意设三角形的三边分别是： 2 2 a、a、 2a，最大角所对的边 是 2a，根据大边对大角定理结合余弦定理得：cosα＝ a2＋( 2 2 a )2－( 2a)2 2 × 2 2 a × a ＝－ 2 4 ，所以最 大角的余弦值是－ 2 4 . 6．C8[2012·天津卷] 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 8b＝ 5c，C＝2B，则 cosC＝(　　) A. 7 25 B．－ 7 25 C．± 7 25 D.24 25 6．A　[解析] 本题考查三角函数的倍角公式及正弦、余弦定理，考查运算求解能力， 中档题． 由正弦定理得 8sinB＝5sinC，∵C＝2B，∴cosB＝ 4 5，∴cosC＝cos2B＝2cos 2B－1＝2 ( 4 5 )2－1＝ 7 25. C9 单元综合 15．C9[2012·天津卷] 已知函数 f(x)＝sin(2x＋π 3)＋sin(2x－π 3)＋2 cos2x－1，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)在区间[－π 4，π 4]上的最大值和最小值． 15．解：(1)f(x)＝sin2x·cosπ 3＋cos2x·sinπ 3＋sin2x·cosπ 3－cos2x·sinπ 3＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝ 2sin(2x＋π 4). 所以，f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)因为 f(x)在区间[－π 4，π 8]上是增函数，在区间[ π 8，π 4 ]上是减函数，又 f(－π 4 )＝－1， f( π 8 )＝ 2，f( π 4 )＝1，故函数 f(x)在区间[－π 4，π 4]上的最大值为 2，最小值为－1. 18．C9[2012·四川卷] 函数 f(x)＝6cos2ωx 2 ＋ 3sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图 1－5 所示，A 为图象的最高点，B、C 为图象与 x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． 图 1－5 (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域； (2)若 f(x0)＝8 3 5 ，且 x0∈(－10 3 ，2 3)，求 f(x0＋1)的值． 18．解： (1)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋ 3sinωx＝2 3sin(ωx＋π 3). 又正三角形 ABC 的高为 2 3，从而 BC＝4. 所以函数 f(x)的周期 T＝4×2＝8，即2π ω＝8，ω＝π 4. 函数 f(x)的值域为[－2 3，2 3]． (2)因为 f(x0)＝8 3 5 ，由(1)有 f(x0)＝2 3sin( πx0 4 ＋π 3)＝8 3 5 ，即 sin( πx0 4 ＋π 3)＝4 5. 由 x0∈(－10 3 ，2 3)，知πx0 4 ＋π 3∈(－π 2，π 2). 所以 cos( πx0 4 ＋π 3)＝ 1－( 4 5 )2＝3 5. 故 f(x0＋1)＝2 3sin( πx0 4 ＋π 4＋π 3)＝2 3sin[( πx0 4 ＋π 3)＋π 4]＝2 3[sin( πx0 4 ＋π 3)cosπ 4＋cos( πx0 4 ＋π 3)sinπ 4]＝2 3( 4 5 × 2 2 ＋3 5 × 2 2 )＝7 6 5 . 15．C9[2012·江苏卷] 在△ABC 中，已知AB → ·AC → ＝3BA → ·BC → . (1)求证：tanB＝3tanA； (2)若 cosC＝ 5 5 ，求 A 的值． 15．解：(1)证明：因为AB → ·AC → ＝3BA → ·BC → ， 所以 AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB， 即 AC·cosA＝3BC·cosB， 由正弦定理知 AC sinB＝ BC sinA， 从而 sinBcosA＝3sinAcosB， 又因为 00，cosB>0， 所以 tanB＝3tanA. (2)因为 cosC＝ 5 5 ，00，故 tanA＝1，所以 A＝π 4. 图 1－4 18．C8、C9[2012·浙江卷] 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 cosA ＝2 3，sinB＝ 5cosC. (1)求 tanC 的值； (2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积． 18．解：(1)因为 0＜A＜π，cosA＝2 3，得 sinA＝ 1－cos2A＝ 5 3 . 又 5cosC＝sinB＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋cosAsinC ＝ 5 3 cosC＋2 3sinC， 所以 tanC＝ 5. (2)由 tanC＝ 5，得 sinC＝ 5 6 ，cosC＝ 1 6 ， 于是 sinB＝ 5cosC＝ 5 6. 由 a＝ 2及正弦定理 a sinA＝ c sinC，得 c＝ 3. 设△ABC 的面积为 S，则 S＝1 2acsinB＝ 5 2 . 9．C8、C9[2012·陕西卷] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，若 a2 ＋b2＝2c2，则 cosC 的最小值为(　　) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D．－1 2 9．C　[解析] 本小题主要考查余弦定理和不等式的知识，解题的突破口为利用余弦定 理写出 cosC 的表达式，然后用基本不等式去计算即可． cosC＝a2＋b2－c2 2ab ＝a2＋b2 4ab ≥2ab 4ab＝1 2.故选 C. 16．C9、F4[2012·山东卷] 如图 1－4 所示，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆 心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到 圆心位于(2,1)时，OP → 的坐标为________． 图 1－4 16．(2－sin2,1－cos2)　[解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力 与创新意识，偏难． 根据题意可知圆滚动了 2 个单位弧长，点 P 旋转了 2 弧度．结合图象，设滚动后圆与 x 轴的交点为 Q，圆心为 C2，作 C2M⊥y 轴于 M，∠PC2Q＝2，∠PC2M＝2－π 2，∴点 P 的横 坐标为 2－1×cos(2－π 2 )＝2－sin2，点 P 的纵坐标为 1＋1×sin(2－π 2 )＝1－cos2.